1、第八章 平面解析几何 第六节 双曲线 第八章 平面解析几何 主干知识梳理 一、双曲线的定义 平面内与定点F1、F2的距离的等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的，两焦点间的距离叫做双曲线的差的绝对值焦点焦距第八章 平面解析几何 二、双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2y2b21(a0，b0)y2a2x2b21(a0，b0)图形 第八章 平面解析几何 性质范围对称性对称轴：对称中心：对称轴：对称中心：顶点A1，A2A1 ，A2xa或xaya或ya坐标轴原点坐标轴原点(a，0)(a，0)(0，a)(0，a)第八章 平面解析几何 渐近线ybaxyabx性质离心
2、率eca，e(1，)，其中 c a2b2 第八章 平面解析几何 性质实虚轴线段叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|；线段叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|；叫做双曲线的实半轴长，叫做双曲线的虚半轴长A1A22aB1B22bab第八章 平面解析几何 性质 通径过焦点垂直于实轴的弦叫通径，其长为2b2a a、b、c 的关系c2a2b2(ca0，cb0)第八章 平面解析几何 基础自测自评1(教材习题改编)若双曲线方程为 x22y21，则它的左焦点的坐标为()A.22，0 B.52，0C.62，0D.3，0第八章 平面解析几何 C 双曲线方程可化为 x2y2121，a21，b212.c2a2b232
3、，c 62.左焦点坐标为 62，0.第八章 平面解析几何 2(2013广东高考)已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F(3，0)，离心率等于32，则 C 的方程是()A.x24 y251 B.x24y251C.x22y251 D.x22 y251第八章 平面解析几何 B 由题意可知 c3，a2，b c2a2 3222 5，故双曲线的方程为x24y251.第八章 平面解析几何 3设 F1，F2 是双曲线 x2y2241 的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且 3|PF1|4|PF2|，则PF1F2 的面积等于()A4 2B8 3C24 D48C 由 P 是双曲线上的一点和 3|PF1|4|PF
4、2|可知，|PF1|PF2|2，解得|PF1|8，|PF2|6.又|F1F2|2c10，所以PF1F2为直角三角形，所以PF1F2 的面积 S126824.第八章 平面解析几何 4双曲线x2a2y21(a0)的离心率为 2，则该双曲线的渐近线方程为_解析 由题意知 a21a11a22，解得 a 33，故该双曲线的渐近线方程是 3xy0，即 y 3x.答案 y 3x第八章 平面解析几何 5已知F1(0，5)，F2(0，5)，一曲线上任意一点M满足|MF1|MF2|8，若该曲线的一条渐近线的斜率为k，该曲线的离心率为e，则|k|e_第八章 平面解析几何 解析 根据双曲线的定义可知，该曲线为焦点在
5、y 轴上的双曲线的上支，c5，a4，b3，eca54，|k|43.|k|e435453.答案 53第八章 平面解析几何 关键要点点拨1区分双曲线与椭圆中 a、b、c 的关系，在椭圆中 a2b2c2，而在双曲线中 c2a2b2.双曲线的离心率 e1；椭圆的离心率e(0，1)2渐近线与离心率：x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线的斜率为bab2a2c2a2a2 e21.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小第八章 平面解析几何 注意 当 ab0 时，双曲线的离心率满足 1e0 时，e 2(亦称为等轴双曲线)；当 ba0 时，e 2.第八章 平面解析几何 3直线与双曲线
6、交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点第八章 平面解析几何 典题导入(1)(2012湖南高考)已知双曲线 C：x2a2y2b21 的焦距为10，点 P(2，1)在 C 的渐近线上，则 C 的方程为()A.x220y251 B.x25y2201C.x280y2201 D.x220y2801双曲线的定义及标准方程 第八章 平面解析几何 听课记录 x2a2y2b21 的焦距为 10，c5 a2b2.又双曲线渐近线方程为 ybax，且 P(2，1)在渐近线上，2ba 1，即 a2b.由解得 a
7、2 5，b 5.答案 A第八章 平面解析几何(2)(2012辽宁高考)已知双曲线 x2y21，点 F1，F2 为其两个焦点，点 P 为双曲线上一点，若 PF1PF2，则|PF1|PF2|的值为_听课记录 不妨设点 P 在双曲线的右支上，因为 PF1PF2，所以(2 2)2|PF1|2|PF2|2，又因为|PF1|PF2|2，所以(|PF1|PF2|)24，可得 2|PF1|PF2|4，第八章 平面解析几何 则(|PF1|PF2|)2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|12，所以|PF1|PF2|2 3.答案 2 3第八章 平面解析几何 规律方法1应用双曲线的定义需注意的问题在双曲线的定
8、义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支第八章 平面解析几何 2双曲线方程的求法(1)若不能明确焦点在哪条坐标轴上，设双曲线方程为 mx2ny21(mn0)(2)与双曲线x2a2y2b21 有共同渐近线的双曲线方程可设为x2a2y2b2(0)(3)若已知渐近线方程为 mxny0，则双曲线方程可设为 m2x2n2y2(0)第八章 平面解析几何 跟踪训练1(1)(2014江南十校开学第一考)已知双曲线x29y2161 上一点 M到 A(5，0)的距离为 3，则 M 到
9、左焦点的距离等于()A6 B7C8 D9第八章 平面解析几何 D x29y2161 的焦点为 A(5，0)，F(5，0)，故由双曲线的定义得，|MF|MA|6|MF|9.选 D.第八章 平面解析几何(2)(2014惠州调研)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一个焦点与抛物线 y24 10 x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于 103，则该双曲线的方程为_第八章 平面解析几何 解析 由已知可得抛物线 y24 10 x 的焦点坐标为(10，0)，a2b210.又双曲线的离心率 e 10a 103，a3，b1，双曲线的方程为x29y21.答案 x29y21第八章 平面解析几何 典题导入(1
10、)(2012浙江高考)如图，F1，F2分别是双曲线 C：x2a2y2b21(a，b0)的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线 F1B与 C 的两条渐近线分别交于 P，Q 两点，线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交于点 M.若|MF2|F1F2|，则 C 的离心率是()双曲线的几何性质 第八章 平面解析几何 A.2 33 B.62C.2D.3第八章 平面解析几何 听课记录 设双曲线的焦点坐标为 F1(c，0)，F2(c，0)B(0，b)，F1B 所在的直线为xcyb1.双曲线渐近线为 ybax，由ybax，xcyb1，得 Qacca，bcca.由ybax，xcyb1，得 P acac，bcac，第
11、八章 平面解析几何 PQ 的中点坐标为a2cc2a2，bc2c2a2.由 a2b2c2 得，PQ 的中点坐标可化为a2cb2，c2b.直线 F1B 的斜率为 kbc，PQ 的垂直平分线为 yc2bcbxa2cb2.令 y0，得 xa2cb2 c，Ma2cb2 c，0，|F2M|a2cb2.第八章 平面解析几何 由|MF2|F1F2|得a2cb2 a2cc2a22c，即 3a22c2，e232，e 62.答案 B第八章 平面解析几何(2)(2013新课标全国高考)已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 52，则 C 的渐近线方程为()Ay14x By13xCy12x Dyx第
12、八章 平面解析几何 听课记录 因为双曲线x2a2y2b21 的焦点在 x 轴上，所以双曲线的渐近线方程为 ybax.又离心率为 eca a2b2a1ba2 52，所以ba12，所以双曲线的渐近线方程为 y12x，选择 C.答案 C第八章 平面解析几何 互动探究若本例(1)条件变为“此双曲线的一条渐近线与 x 轴的夹角为，且4 3”，求双曲线的离心率的取值范围解析 根据题意知 1ba 3，即 1 e213.所以 2e2.即离心率的取值范围为(2，2)第八章 平面解析几何 规律方法1已知渐近线方程 ymx，求离心率时，若焦点位置不确定时，mba(m0)或 mab，故离心率有两种可能 2解决与双曲线
13、几何性质相关的问题时，要注意数形结合思想的应用第八章 平面解析几何 跟踪训练2(理)(2013湖北高考)已知 04，则双曲线 C1：x2cos2 y2sin21 与 C2：y2sin2 x2sin2 tan2 1 的()A实轴长相等B虚轴长相等C焦距相等D离心率相等第八章 平面解析几何 D 双曲线 C1 的离心率 e1c1a1a21b21a21cos2sin2cos21cos ，双 曲 线C2的 离 心 率e2 c2a2 a22b22a22sin2sin2tan2sin2 1tan21sin2cos21cos，所以e1e2，而双曲线 C1 的实轴长为 2a12cos，虚轴长为 2b12sin，
14、焦距为 2c12 a21b212，双曲线 C2的实轴长为 2a22sin，虚 轴 长 为 2b2 2sin tan ，焦 距 为 2c2 2 a22b22 2 sin2sin2tan22tan，所以 A、B、C 均不对，故选 D.第八章 平面解析几何 2(文)(2013湖北高考)已知 04，则双曲线 C1：x2sin2 y2cos21 与 C2：y2cos2 x2sin2 1 的()A实轴长相等 B虚轴长相等C离心率相等 D焦距相等第八章 平面解析几何 D 由双曲线 C1 知：a2sin2，b2cos2c21，由双曲线C2 知：a2cos2，b2sin2c21，故选 D.第八章 平面解析几何
15、典题导入(2013大纲版全国高考)已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1、F2，离心率为 3，直线 y2 与 C的两个交点间的距离为 6.(1)求 a、b；(2)设过 F2 的直线 l 与 C 的左、右两支分别交于 A、B 两点，且|AF1|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列直线与双曲线的位置关系 第八章 平面解析几何 听课记录(1)由题设知ca3，即a2b2a29，故 b28a2.所以 C 的方程为 8x2y28a2.将 y2 代入上式，求得 x a212.由题设知，2 a212 6，解得 a21.所以 a1，b2 2.第八章 平面解
16、析几何(2)证明：由(1)知，F1(3，0)，F2(3，0)，C 的方程为 8x2y28.由题意可设 l 的方程为 yk(x3)，|k|2 2，代入并化简得(k28)x26k2x9k280.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x11，x21，x1x2 6k2k28，x1x29k28k28.于是|AF1|（x13）2y21（x13）28x218(3x11)，第八章 平面解析几何|BF1|（x23）2y22（x23）28x2283x21.由|AF1|BF1|得(3x11)3x21，即 x1x223.故 6k2k2823，解得 k245，从而 x1x2199.由于|AF2|（x13）2y21
17、（x13）28x22813x1，|BF2|（x23）2y22（x23）28x2183x21，第八章 平面解析几何 故|AB|AF2|BF2|23(x1x2)4，|AF2|BF2|3(x1x2)9x1x2116.因而|AF2|BF2|AB|2，所以|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列第八章 平面解析几何 规律方法1解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程利用根与系数的关系，整体代入2与中点有关的问题常用点差法注意 根据直线的斜率k与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系第八章 平面解析几何 跟踪
18、训练3(2014长春模拟)F1，F2 分别为双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左，右焦点，过点 F2 作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M，满足|MF1,|3|MF2,|，则此双曲线的渐近线方程为_第八章 平面解析几何 第八章 平面解析几何 即ba 22，故此双曲线的渐近线方程为 y 22 x.答案 y 22 x第八章 平面解析几何【创新探究】方程思想在求解离心率(范围)中的应用(1)(2014兰州名校检测)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1、F2，离心率为 e.直线 l：yexa 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B，M 是直线 l 与椭圆 C 的一个公
19、共点，设|AM|e|AB|，则该椭圆的离心率 e_第八章 平面解析几何【解析】因为点 A、B 分别是直线 l：yexa 与 x 轴、y 轴的交点，所以点 A、B 的坐标分别是ae，0、(0，a)设点 M 的坐标是(x0，y0)，由|AM|e|AB|，得x0ae（e1）y0ea，(*)因为点 M 在椭圆上，所以x20a2y20b21，第八章 平面解析几何 将(*)式代入，得（e1）2e2e2a2b2 1，整理得，e2e10，解得 e 512.【答案】512第八章 平面解析几何(2)(2014湖南六校联考)椭圆x2a2y2b21(ab0)的右焦点为 F，其右准线与 x 轴的交点为 A，在椭圆上存在
20、点 P 满足 AP 的垂直平分线过点 F，则椭圆离心率的取值范围是()A.0，22 B.0，12C.12，1D 21，1)第八章 平面解析几何【解析】在椭圆上存在点 P 满足 AP 的垂直平分线过点 F，存在点 P 满足|FP|FA|.设点 P 的坐标为(x0，y0)，则|FP|a2c cb2c，又|FP|ea2c x0，x0c2aca2ec，由题意可得ax0a，第八章 平面解析几何 ac2aca2eca，c2c2aca2c2，e2e2e1e2.解之得12e1.故选 C.答案 C第八章 平面解析几何【高手支招】离心率是圆锥曲线的重要几何性质，求解椭圆或者双曲线的离心率的关键是建立一个关于a，b
21、，c的方程(不等式)，通过这个方程(不等式)和b与a，c的关系消掉b后，建立a，c之间的方程(不等式)，只要能通过这个方程求出即可，不一定具体求出a，c的数值第八章 平面解析几何 体验高考1(2013北京高考)双曲线 x2y2m1 的离心率大于 2的充分必要条件是()Am12Bm1Cm1 Dm2C 该双曲线线离心率 e 1m1，由已知 1m 2，故 m1，故选 C.第八章 平面解析几何 2(理)(2013福建高考)双曲线x24y21 的顶点到其渐近线的距离等于()A.25B.45C.2 55D.4 55C 双曲线x24y21 的渐近线方程为 yx2，即 x2y0，所以双曲线的顶点(2，0)到其
22、渐近线距离为 252 55.第八章 平面解析几何 2(文)(2013福建高考)双曲线 x2y21 的顶点到其渐近线的距离等于()A.12B.22C1 D.2B x2y21 的渐近线方程为 yx，顶点坐标为(1，0)，点(1，0)到 yx 的距离为|1|2 12 22.第八章 平面解析几何 3(2013大纲版全国高考)已知 F1，F2 为双曲线 C：x2y22 的左、右焦点，点 P 在 C 上，|PF1|2|PF2|，则 cosF1PF2()A.14B.35C.34D.45第八章 平面解析几何 C 设|PF2|m，则|PF1|2m，由双曲线定义：|PF1|PF2|2a，得 2mm2 2，m2 2
23、.又 2c2 a2b2224，由余弦定理可得：cosF1PF2|PF1|2|PF2|24c22|PF1|PF2|34.第八章 平面解析几何 4(2013重庆高考)设双曲线 C 的中心为点 O，若有且只有一对相交于点 O，所成的角为 60的直线 A1B1 和 A2B2，使|A1B1|A2B2|，其中 A1，B1 和 A2，B2 分别是这对直线与双曲线 C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是()A.2 33，2B.2 33，2C.2 33，D.2 33，第八章 平面解析几何 A 不妨令双曲线的方程为x2a2y2b21(a0，b0)，由|A1B1|A2B2|及双曲线的对称性知 A1，A2，B1，
24、B2 关于 x 轴对称，如图 又满足条件的直线只有一对，tan 30batan 60，即 33 ba 3.第八章 平面解析几何 13b2a23.b2c2a2，13c2a2a23，即43e24.2 33 e2，即 e2 33，2.故选 A.第八章 平面解析几何 5(2013辽宁高考)已知 F 为双曲线 C：x29y2161 的左焦点，P，Q 为 C 上的点若 PQ 的长等于虚轴长的 2 倍，点 A(5，0)在线段 PQ 上，则PQF 的周长为_第八章 平面解析几何 解析 如图所示，设双曲线右焦点为F1，则F1与A重合，坐标为(5，0)，则|PF|PF1|2a，|QF|QF1|2a，所以|PF|QF|PQ|4a4b4a28，PQF周长为284b44.答案 44第八章 平面解析几何 课时作业
