1、3.4生活中的优化问题举例教学教法分析(教师用书独具)三维目标 1.知识与技能通过用料最省，利润最高等优化问题，使学生体会导数在解决实际问题中的作用，并且会利用导数解决简单的实际生活优化问题2过程与方法让学生参与问题的分析，探究解决过程，体会数学建模，从而掌握用导数法解决优化问题的方法3情感、态度与价值观形成数学建模思想，培养学生应用数学意识，进一步体会导数作为解决函数问题的工具性激发学生学习热情，培养学生解决问题的能力和创新能力重点、难点重点：利用导数解决生活中的一些优化问题难点：优化问题的数学建模与求解方法的掌握教学方法设计(教师用书独具)教学建议 教学中，先给出一些有背景的问题，让学生从
2、生活经验角度思考问题，在此基础上，逐步引入的数学问题，按照学生的思维过程，逐步展开问题、解决问题，然后再给出一些有思维价值的题目，让学生在分析问题、解决问题的过程中，体会数学建模的过程，培养应用数学的意识和能力，同时化解了本节的重点，突破了难点教学流程引导学生分析用导数求最值问题，发现其为解决优化问题提供了思路课前自主导学(对应学生用书第64页)课标解读1.掌握应用导数解决实际问题的基本思路(重点)2灵活用导数解决实际生活中的优化问题，提高分析问题，解决问题的能力(难点)知识点1导数在实际问题中的应用生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题【问题导思】优化问
3、题实际上就是寻求最佳方案或策略，而实际问题中的利润、用料、效率等问题常能用函数关系式表达，那么优化问题与函数的什么性质联系密切？【提示】函数的最大、最小值知识点2解决优化问题的基本思路上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程课堂互动探究(对应学生用书第64页)类型1面积体积的最值问题例题1 用长为90 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器先在四角分别截掉一个大小相同的小正方形，然后把四边翻折90，再焊接而成则该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？【思路探究】设自变量(高)为x【自主解答】设容器的高为x cm，容器的容积为V(x)cm3，则V(x)x(902x)(
4、482x)4x3276x24 320x(0x24)所以V(x)12x2552x4 32012(x246x360)12(x10)(x36)令V(x)0，得x10或x36(舍去)当0x10时，V(x)0，即V(x)是增加的；当10x24时，V(x)0，即V(x)是减少的因此，在定义域(0,24)内，函数V(x)只有当x10时取得最大值，其最大值为V(10)19 600(cm3)因此当容器的高为10 cm时，容器的容积最大，最大容积为19 600 cm3.规律方法1求几何体面积或体积的最值问题，关键是分析几何体的几何特征，根据题意选择适当的量建立面积或体积的函数，然后再用导数求最值2实际问题中函数定
5、义域确定的方法：(1)根据图形确定定义域，如本例中长方体的长宽、高都大于零(2)根据问题的实际意义确定定义域如人数必须为整数，销售单价大于成本价、销售量大于零等变式训练将一段长为100 cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，则如何截可使正方形与圆的面积之和最小？【解】设弯成圆的一段铁丝长为x cm，则另一段长为(100x) cm，正方形的边长为acm，圆的半径r cm.记正方形与圆的面积之和为S，S()2()2x2x625(0x100)又Sx，令S0，则x.S是关于x的二次函数，由其性质可知当xcm时，面积之和最小类型2用料最省、费用最低问题图341例题2 某单位用木料制作如图341
6、所示的框架，框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8 m2，问x、y分别为多少时用料最省？(精确到0.001 m)【思路探究】(1)根据题意，你能找出x、y之间的关系式吗？能把框架的周长表示成x的函数吗？(2)你能确定上函数的定义域并用导数求出最小值吗？【自主解答】依题意，有xyx8，所以y(0x4)，于是框架用料长度为l2x2y2()()x.l.令l0，即0，解得x184，x248(舍去)当0x84时，l0；当84x4时，l0，所以当x84时，l取得最小值此时，x842.343 m，y2.828 m.即当x为2.343 m，y为2.828
7、 m时，用料最省规律方法1本题是用料最省问题，此种类型也可以用不等式解决，但有时运算量较大，用导数解决较为合理2用料最省、费用最低问题出现的形式多与几何体有关，解题时根据题意明确哪一项指标最省(往往要从几何体的面积、体积入手)，将这一指标表示为自变量x的函数，利用导数或其他方法求出最值，但一定要注意自变量的取值范围变式训练某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房，经测算，如果将楼房建为x(x10)层，则每平方米的平均建筑费用为56048x(单位：元)为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用平均建筑费用平
8、均购地费用，平均购地费用)【解】设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，则f(x)(56048x)56048x(x10，xN*)，f(x)48，令f(x)0得x15，当x15时，f(x)0；当0x15时，f(x)0，因此当x15时，f(x)取最小值f(15)2 000.故为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层类型3利润最大问题例题3 某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为Q(x0)，已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品需再投入32万元若每件售价为“年平均每件成本的150%”与“年平
9、均每件所占广告费的50%”之和(1)试将利润y(万元)表示为年广告费x(万元)的函数如果年广告费收入100万元，企业是亏损还是盈利？(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？【思路探究】(1)在本例中如何求企业的年利润？怎样判断企业是亏损还是盈利？(2)如何用导数法求最大利润？【自主解答】(1)由题意，每年产销Q万件，共计成本为(32Q3)万元销售收入是(32Q3)150%x50%，年利润y年收入年成本年广告费(32Q3x)(323x)(x0)，所求的函数关系式为y(x0)当x100时，y0；x(7，)时，f(x)0，f(x)极大值f(7)42.又在(0，)上只有一个极值点，f(x)ma
10、xf(x)极大值f(7)42.故当年广告费投入7万元时，企业年利润最大规律方法1利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润收入成本”建立函数关系式，再用导数求最大值商品的价格要高于生产商品的成本，否则会亏本2解答此类问题时，要认真理解相应的概念，如：成本、利润、单价、销售量、广告费等等，以免因概念不清而导致解题错误变式训练已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C1004q，价格p与产量q的函数关系式为p25q，求产量q为何值时，利润L最大？【解】收入Rqpq(25q)25qq2.利润LRC(25qq2)(1004q)q221q100(0q200)，所以Lq21.令L0，即q210，
11、解得q84.因为当0q84时，L0；当84q200时，L0，所以当q84时，L取得最大值，最大值为782.答：当产量为84时，利润取得最大值782.思想方法技巧(对应学生用书第66页)分类讨论的思想在优化问题中的应用典例(12分)工厂生产某种产品，次品率p与日产量x(万件)间的关系为p(c为常数，且0c6)已知每生产1件合格产品盈利3元，每出现1件次品亏损1.5元(1)将日盈利额y(万元)表示为日产量x(万件)的函数；(2)为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？(注：次品率100%)【思路点拨】【规范解答】(1)当xc时，p，y(1)x3x0；2分当0xc时，p，y(1)x3x.4分日盈利额y
12、(万元)与日产量x(万件)的函数关系为y(c为常数，且0c6).5分(2)由(1)知，当xc时，日盈利额为0.6分当0xc时，y，y，8分令y0，得x3或x9(舍去)当0c3时，y0，y在区间(0，c上单调递增，y最大值f(c).9分当3c6时，在(0,3)上，y0，在(3，c)上，y0，y在(0,3)上单调递增，在(3，c)上单调递减y最大值f(3).11分综上，若0c3，则当日产量为c万件时，日盈利额最大；若3c6，则当日产量为3万件时，日盈利额最大.12分思维启迪解答本题时，要注意分类讨论思想的运用，同时对导数公式及运算法则要熟练、活用求最值的方法解决问题课堂小结1解决实际应用问题的关键
13、在于建立数学模型和目标函数，把“问题情景”译为数学语言要先找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题，再化归为常规问题，最后选择合适的数学方法求解2用导数解决生活中优化问题的一般步骤：(1)函数建模：细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系式yf(x)(2)确定定义域：一定要从问题的实际意义去考察，舍去没有实际意义的变量的范围(3)求最值：此处尽量使用导数法求出函数的最值(4)下结论：紧扣题目，给出圆满的答案.当堂双击达标(对应学生用书第67页)1已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与
14、年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A13万件B11万件C9万件 D7万件【解析】yx281，令y0，得x9或x9(舍)当0x9时y0；当x9时，y0.故当x9时函数有极大值，也是最大值【答案】C2某箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)x2(0x60)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为()A30B40C50D35【解析】V(x)60xx2，x(0,60)令V(x)0，得x40.当x40，箱子的容积有最大值【答案】B3把长60 cm的铁丝围成矩形，当长为_cm，宽为_cm时，矩形面积最大【解析】设长为x cm，则宽为(30x)c
15、m，所以面积Sx(30x)x230x，由S2x300，得x15.【答案】15,154做一个无盖的圆柱形水桶，若需其体积是27，且用料最省，求此时圆柱的底面半径为多少？【解】设底面半径为r，则高h.S2rhr22rr2r2S2r，令S0，得r3.经验证，当r3时，S最小答：圆柱的底面半径为3时用料最省.课后知能检测(对应学生用书第115页)一、选择题1甲工厂八年来某种产品年产量与时间(单位：年)的函数关系如图342所示()图342现有下列四种说法：前四年该产品产量增长速度越来越快；前四年该产品产量增长速度越来越慢；第四年后该产品停止生产；第四年后该产品年产量保持不变其中说法正确的有()ABC D
16、【解析】由图象可知，是正确的【答案】B2用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成一个铁盒所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为()A6 cm B8 cmC10 cm D12 cm【解析】设截去小正方形的边长为x cm，铁盒的容积为V cm3.所以Vx(482x)2(0x24)，V12(x8)(x24)令V0，则x8(0,24)【答案】B3设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小时，底面边长为()A. B.C. D2【解析】设直棱柱的底面边长为a，高为h，依题意a2hV，ah.因此表面积S3ah2a2
17、a2.Sa.令S0，则a.易知当a时，表面积S取得最小值【答案】C4某工厂需要建一个面积为512 m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，则要使砌墙所用材料最省，则堆料场的长和宽各为()A16 m,16 m B32 m,16 mC32 m,8 m D16 m,8 m【解析】如图所示，设场地一边长为x m，则另一边长为 m.因此新墙总长度L2x(x0)，L2.令L0，得x16或x16(舍去)L在(0，)上只有一个极值点，它必是最小值点x16，32.故当堆料场的宽为16 m，长为32 m时，可使砌墙所用的材料最省【答案】B5某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比
18、例系数为k(k0)已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去设存款利率为x，x(0,0.048 6)，若使银行获得最大效益，则x的取值为()A0.016 2 B0.032 4C0.024 3 D0.048 6【解析】依题意，存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，贷款的收益是0.048 6kx2，其中x(0,0.048 6)所以银行的收益是y0.048 6kx2kx3(0x0.048 6)，则y0.097 2kx3kx2.令y0，得x0.032 4或x0(舍去)当0x0.032 4时，y0；当0.032 4x0.048 6时，y0.所以当x0.032 4时，y取得最大值
19、，即当存款利率为0.032 4时，银行获得最大收益【答案】B二、填空题6汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能与下列_相对应【解析】加速过程、路程对时间的导数逐渐变大，图象下凸，减速过程，路程对时间的导数逐渐变小，图象上凹，应与相吻合【答案】7轮船甲位于轮船乙的正东方向且距轮船乙75海里处，以每小时12海里的速度向西行驶，而轮船乙则以每小时6海里的速度向北行驶，如果两船同时起航，那么经过_小时两船相距最近【解析】设经过x小时两船相距y海里，y236x2(7512x)2，(y2)72x24(7512x)，令(y2)0，得x5
20、，易知当x5时，y2取得最小值【答案】58某公司租地建仓库，每月土地占用费y1(万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2(万元)与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，y1和y2分别为2万元和8万元那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站_千米处【解】设仓库与车站相距x千米，依题意可设每月土地占用费y1，每月库存货物的运费y2k2x，其中x是仓库到车站的距离，k1，k2是比例系数，于是由2得k120；由810k2得k2.两项费用之和为y(x0)，y，令y0，得x5或x5(舍去)当0x5时，y0；当x5时，y0.当x5时，y取得极小值，也是最小值当仓库建在离车
21、站5千米处时，两项费用之和最小【答案】5三、解答题9某工厂有一段旧墙长14 m，现准备利用这段旧墙为一面建造平面图形为矩形，面积为126 m2的厂房，工程条件是：(1)建1 m新墙的费用为a元；(2)修1 m旧墙的费用为元；(3)拆去1 m旧墙，用可得的建材建1 m新墙的费用为元，经讨论有两种方案：利用旧墙一段x m(0x14)为矩形一边；矩形厂房利用旧墙的一面边长x14，问如何利用旧墙建墙费用最省？试比较，两种方案哪个更好【解】方案：修旧墙费用x，拆旧墙造新墙费用为(14x)，其余新墙费用为(2x14)a，总费用y7a(1)(0x14)，26，当且仅当，即x12时取等号，ymin35a.方案
22、：利用旧墙费用为14(元)，建新墙费用为(2x14)a(元)，总费用为y2a(x)a(x14)当x14时，(x)10函数x在14，)上递增当x14时，ymin35.5a故采用方案更好些10请您设计一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？最大体积是多少？【解】如图，设OO1为x m，则1x4.由题设可得正六棱锥底面边长为.于是底面正六边形的面积为6()2(82xx2)帐篷的体积为V(x)(82xx2)(x1)1(162xx3)求导数，得V(x)(123x2)令V(x)0，解得x2(不合题意，
23、舍去)，x2.当1x2时，V(x)0，V(x)为增函数；当2x4时，V(x)0，V(x)为减函数，所以当x2时，V(x)最大所以当OO1为2 m时，帐篷的体积最大，最大体积为16 m3.11某工厂每天生产某种产品最多不超过40件，并且在生产过程中产品的正品率P与每日生产量x(xN*)件之间的关系为P，每生产一件正品盈利4 000元，每出现一件次品亏损2 000元(注：正品率产品中的正品件数产品总件数100%)(1)将日利润y(元)表示成日产量x(件)的函数；(2)求该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润的最大值【解】(1)y4 000x2 000(1)x3 600xx3，所求的函数关
24、系式是yx33 600x(xN*,1x40)(2)显然y3 6004x2.令y0，解得x30.当1x30时，y0；当30x40时，y0.函数yx33 600(xN*,1x40)在1,30)上是单调递增函数，在(30,40上是单调递减函数当x30时，函数yx33 600x(xN*,1x40)取得最大值，最大值为3033 6003072 000(元)该厂的日产量为30件时，日利润最大，其最大值为72 000元.教师备课资源(教师用书独具)备选例题经济学上规定，对于某经济函数yf(x)，称为该经济函数的弹性，它表示经济变量x变动1%时，经济变量y相应变动的百分比现有一个企业生产一种商品，年产x件的总
25、成本为cdx，年需求量g(p)是价格p的函数，即g(p)abp(a，b，c，d0)求：(1)利润最大时的产量及最大利润；(2)需求对价格的弹性的绝对值为1时的价格；(3)若企业将价格定为p，求此时需求对价格的弹性，并说明它的实际意义【解】(1)由题意可知此时年利润lf(x)px(cdx)x(cdx)f(x)xd，令f(x)0，得x(abd)当x(abd)时，f(x)0；当x(abd)时，f(x)0，所以x(abd)为极大值点，即最大值点故x(abd)时，l取得最大值(abd)2c.(2)g(p)abp，则需求对价格的弹性为：.令|1，得p.(3)若p，则.它表示价格定为p时，价格上升1%时，需
26、求量相应会减少0.333%.备选变式张明准备购买一套住房，最初准备选择购房一年后一次性付清房款，且付款时需加付年利率为4.8%的利息这时正好某商业银行推出一种年利率低于4.8%的一年定期贷款业务，贷款量与利率的平方成正比，比例系数为k(k0)，因此，他打算申请这种贷款在购房时付清房款(1)若贷款的利率为x，x(0,0.048)，写出贷款量g(x)及他应支付的利息h(x)；(2)贷款利息为多少时，张明获利最大？【解】(1)由题意可知贷款量g(x)kx2，应支付利息h(x)xg(x)kx3.(2)张明的获利为两种付款方式之间应付的利息差，设张明获利为y，则y0.048kx2kx3，yk0.096x3kx2，令y0，解得x0或x0.032.当x(0,0.032)时，y0，当x(0.032,0.048)时，y0.故当x0.032时，y在x(0,0.048)内取得极大值，即最大值，故贷款利率为3.2%时，张明获利最大.