1、2015-2016学年浙江省嘉兴市桐乡高中高一（上）期中数学试卷（创新班）一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若角600的终边上有一点（4，a），则a的值是（）ABCD2已知点A（1，3），B（4，1），则与向量同方向的单位向量为（）ABCD3设向量=（cos，），若的模长为，则cos2等于（）ABCD4平面向量与的夹角为，若，则=（）ABC4D125函数y=xcosx+sinx的图象大致为（）ABCD6为了得到g（x）=cos2x的图象，则需将函数的图象（）A向右平移单位B向左平移单位C向右平移单位D向左平移单位7在ABC中，A=
2、90，AB=1，AC=2设点P，Q满足，R若=2，则=（）ABCD28若sin2=，sin（）=，且，则+的值是（）ABC或D或二填空题（本大题共7小题，第9-11小题每空3分，第12小题每空2分，第13-15小题每空4分，共36分）9已知向量=（3，1），=（1，3），=（k，2），当时，k=；当（），则k=10已知为第二象限的角，sin=，则=，tan2=11E，F是等腰直角ABC斜边AB上的三等分点，则tanECF=，cosBCF=12函数y=的图象如图，则k=，=，=13设f（x）=asin2x+bcos2x，其中a，bR，ab0若对一切xR恒成立，则；f（x）既不是奇函数也不是偶函数
3、；f（x）的单调递增区间是；存在经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交以上结论正确的是（写出所有正确结论的编号）14已知， =，则在上的投影的取值范围15已知，APB=60，则的取值范围是三解答题：本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16已知向量，（1）当时，求2cos2xsin2x的值；（2）求在上的值域17已知函数f（x）=sin（x+）（0，0）为偶函数，其图象上相邻的两个最高点之间的距离为2（）求f（x）的解析式；（）若，求的值18已知函数f（x）=sin2（x+）cos2x（xR）（1）求函数f（x）最小值和最小正周期；（2）若A为锐角，且向量=（
4、1，5）与向量=（1，f（A）垂直，求cos2A19已知向量=（cos，sin），=（cosx，sinx），=（sinx+2sin，cosx+2cos），其中0x（1）若，求函数f（x）=的最小值及相应x的值；（2）若与的夹角为，且，求tan2的值20定义向量的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx；函数f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”为（其中O为坐标原点）记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S（1）设，试判断g（x）是否属于S，并说明理由；（2）已知h（x）=cos（x+）+2cosx，且h（x）S，求其“相伴向量”的模；（3）已知M（a，b）是函数的图象上一动点
5、，向量的“相伴函数”f（x）在x=x0处取得最大值当点M运动时，求tan2x0的取值范围2015-2016学年浙江省嘉兴市桐乡高中高一（上）期中数学试卷（创新班）参考答案与试题解析一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若角600的终边上有一点（4，a），则a的值是（）ABCD【考点】运用诱导公式化简求值；任意角的三角函数的定义【专题】计算题【分析】先利用诱导公式使tan600=tan60，进而根据求得答案【解答】解：，故选A【点评】本题主要考查了用诱导公式化简求值的问题属基础题2已知点A（1，3），B（4，1），则与向量同方向的单位向
6、量为（）ABCD【考点】平行向量与共线向量；单位向量【专题】平面向量及应用【分析】由条件求得 =（3，4），|=5，再根据与向量同方向的单位向量为 求得结果【解答】解：已知点A（1，3），B（4，1），=（4，1）（1，3）=（3，4），|=5，则与向量同方向的单位向量为 =，故选A【点评】本题主要考查单位向量的定义和求法，属于基础题3设向量=（cos，），若的模长为，则cos2等于（）ABCD【考点】二倍角的余弦【专题】三角函数的求值【分析】由|=，求得cos2=，再利用二倍角的余弦公式求得cos2=2cos21的值【解答】解：由题意可得|=，cos2=cos2=2cos21=，故选：A【点
7、评】本题主要考查求向量的模，二倍角的余弦公式的应用，属于基础题4平面向量与的夹角为，若，则=（）ABC4D12【考点】向量的模；平面向量数量积的运算【专题】平面向量及应用【分析】分析由向量，求出向量，要求，先求其平方，展开后代入数量积公式，最后开方即可【解答】解：由=（2，0），所以=，所以=12所以故选B【点评】点评本题考查了向量的模及向量的数量积运算，考查了数学转化思想，解答此题的关键是运用5函数y=xcosx+sinx的图象大致为（）ABCD【考点】函数的图象【专题】函数的性质及应用【分析】给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除B，然后利用区特值排除A和C，则答案可求【
8、解答】解：因为函数y=xcosx+sinx为奇函数，所以排除选项B，由当x=时，当x=时，y=cos+sin=0由此可排除选项A和选项C故正确的选项为D故选D【点评】本题考查了函数的图象，考查了函数的性质，考查了函数的值，是基础题6为了得到g（x）=cos2x的图象，则需将函数的图象（）A向右平移单位B向左平移单位C向右平移单位D向左平移单位【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【专题】计算题；数形结合；分析法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质【分析】由条件根据函数y=Asin（x+）的图象变换规律，可得结论【解答】解：y=sin（2x+）=cos（2x+）=cos（2x+）=cos2
9、（x+），将函数y=sin（2x+）图象上所有的点向右平移个单位，即可得到g（x）=cos2x的图象故选：A【点评】本题主要考查诱导公式、函数y=Asin（x+）的图象变换规律，属于基础题7在ABC中，A=90，AB=1，AC=2设点P，Q满足，R若=2，则=（）ABCD2【考点】平面向量数量积的运算【专题】平面向量及应用【分析】由题意可得=0，根据=（1）=（1）41=2，求得的值【解答】解：由题意可得=0，由于=（）（）=0（1）+0=（1）41=2，解得 =，故选B【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的运算，属于中档题8若sin
10、2=，sin（）=，且，则+的值是（）ABC或D或【考点】两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦【专题】三角函数的求值【分析】依题意，可求得，2，进一步可知，于是可求得cos（）与cos2的值，再利用两角和的余弦及余弦函数的单调性即可求得答案【解答】解：，2，2，又sin2=0，2，cos2=；又sin（）=，cos（）=，cos（+）=cos2+（）=cos2cos（）sin2sin（）=（）=又，（+），2，+=，故选：A【点评】本题考查同角三角函数间的关系式的应用，着重考查两角和的余弦与二倍角的正弦，考查转化思想与综合运算能力，属于难题二填空题（本大题共7小题，第9-11小题每空3分，第12
11、小题每空2分，第13-15小题每空4分，共36分）9已知向量=（3，1），=（1，3），=（k，2），当时，k=；当（），则k=0【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平行向量与共线向量【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用【分析】利用向量的坐标运算和向量平行、垂直的性质求解即可【解答】解：向量=（3，1），=（1，3），=（k，2），解得k=向量=（3，1），=（1，3），=（k，2），=（3k，1），（），（3k）1+（1）3=0，解得k=0故答案为：，0【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量平行和向量垂直的性质的合理运用10已知为第二象限的角，s
12、in=，则=3，tan2=【考点】二倍角的正切【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值【分析】先由已知求得的范围，求出tan的值，再由正切函数的二倍角公式可得答案【解答】解：为第二象限的角，可得：（k，k），kZ，tan0，又sin=，cos=，tan=，tan=，整理可得：3tan28tan3=0，解得：tan=3或（舍去）tan2=故答案为：3，【点评】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式，同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能11E，F是等腰直角ABC斜边AB上的三等分点，则tanECF=，cosBCF=【考点】三角形中的几何计算【专题】计算题
13、；转化思想；综合法；解三角形【分析】取AB中点D，连接CD，设AB=6，则AC=BC=3，由余弦定理求出CE=CF=，再由余弦定理得cosECF，由此能求出tanECF由半角公式求出cosDCF，sinDCF，再由cosBCF=cos（45DCF），能求出结果【解答】解：取AB中点D，连接CD，设AB=6，则AC=BC=3，由余弦定理可知cos45=，解得CE=CF=，再由余弦定理得cosECF=，sin，tanECF=cosDCF=cos=，sinDCF=sin=，cosBCF=cos（45DCF）=cos45cosDCF+sin45sinDCF=（）=故答案为：，【点评】本题考查角的正切值
14、、余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦定理、余弦定理、半角公式的合理运用12函数y=的图象如图，则k=，=，=【考点】函数的图象【专题】计算题；数形结合；函数的性质及应用【分析】由直线y=kx+1过点（2，0）得k=；可确定=，从而确定=，再代入点求即可【解答】解：直线y=kx+1过点（2，0），k=；=，T=4，=，（，2）代入y=2sin（x+）得，sin（+）=1，解得，=；故答案为：，【点评】本题考查了分段函数及数形结合的思想应用13设f（x）=asin2x+bcos2x，其中a，bR，ab0若对一切xR恒成立，则；f（x）既不是奇函数也不是偶函数；f（x）的单调递增区间
15、是；存在经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交以上结论正确的是（写出所有正确结论的编号）【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性【专题】计算题【分析】先化简f（x）的解析式，利用已知条件中的不等式恒成立，得到是三角函数的最大值，得到x=是三角函数的对称轴，将其代入整体角令整体角等于k+求出辅助角，再通过整体处理的思想研究函数的性质【解答】解：f（x）=asin2x+bcos2x=sin（2x+）2+=k+=k+f（x）sin（2x+k+）=sin（2x+）对于=sin（2+）=0，故对对于，=sin（），|f（）|=sin（），故正确对于，f（x）不是奇函数也不是偶函数对于，由
16、于f（x）的解析式中有，故单调性分情况讨论，故不对对于要使经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交，则此直线须与横轴平行，且|b|，此时平方得b2a2+b2这不可能，矛盾，不存在经过点（a，b）的直线于函数f（x）的图象不相交故错故答案为：【点评】本题考查三角函数的对称轴过三角函数的最值点、考查研究三角函数的性质常用整体处理的思想方法14已知， =，则在上的投影的取值范围【考点】平面向量数量积的运算【专题】综合题；分类讨论；转化思想；向量法；平面向量及应用【分析】由已知求出，再求出，代入投影公式，转化为关于t的函数，利用换元法结合配方法求得在上的投影的取值范围【解答】解：=，且，=42
17、t+t2在上的投影等于=令4t=m，则t=4m，t2=168m+m2上式=f（m）=当m=0时，f（m）=0；当m0时，f（m）=（0，1；当m0时，f（m）=（，0）综上，在上的投影的范围为（，1故答案为：（，1【点评】本题考查向量在几何中的应用，综合考查向量的线性运算，向量的数量积的运算及数量积公式，熟练掌握向量在向量上的投影是解题的关键，是中档题15已知，APB=60，则的取值范围是【考点】平面向量数量积的运算【专题】计算题；运动思想；数形结合法；平面向量及应用【分析】由题意画出图形，取AB中点C，把问题转化为求的取值范围解决【解答】解：如图，APB=60，取AB的中点C，连接PC，则=
18、由图可知，P为图中优弧上的点（不含A、B）（PCAB时最大），的取值范围是（0，故答案为：（0，【点评】本题考查平面向量的数量积运算，由题意画出图形是解答该题的关键，是中档题三解答题：本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16已知向量，（1）当时，求2cos2xsin2x的值；（2）求在上的值域【考点】正弦函数的定义域和值域；三角函数的恒等变换及化简求值【专题】计算题【分析】（1）利用向量平行的坐标运算，同角三角函数间的关系，得到tanx的值，然后化简2cos2xsin2x即可（2）先表示出在=（sin2x+），再根据x的范围求出函数f（x）的最大值及最小值【解答】解：
19、（1），（3分）（6分）（2），（8分），（10分），（12分）函数f（x）的值域为（13分）【点评】本题主要考查平面向量的坐标运算考查平面向量时经常和三角函数放到一起做小综合题是高考的热点问题17已知函数f（x）=sin（x+）（0，0）为偶函数，其图象上相邻的两个最高点之间的距离为2（）求f（x）的解析式；（）若，求的值【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【专题】计算题【分析】（）函数f（x）=sin（x+）（0，0）为偶函数，其图象上相邻的两个最高点之间的距离为2，确定函数的周期，求出，确定的值，求出f（x）的解析式；（）若，求出，利用诱导公式化简，然后再用二倍角公式求出
20、它的值【解答】解：（）图象上相邻的两个最高点之间的距离为2，T=2，则f（x）=sin（x+）（2分）f（x）是偶函数，又0，则 f（x）=cosx（5分）（）由已知得，则（8分）（12分）【点评】本题是中档题，考查函数解析式的求法，诱导公式和二倍角的应用，考查计算能力，根据角的范围求出三角函数值是本题的解题依据18已知函数f（x）=sin2（x+）cos2x（xR）（1）求函数f（x）最小值和最小正周期；（2）若A为锐角，且向量=（1，5）与向量=（1，f（A）垂直，求cos2A【考点】二倍角的余弦；平面向量的综合题【专题】解三角形【分析】（1）根据二倍角的余弦公式变形、两角差的正弦公式化简
21、解析式，由正弦函数的周期、最值求出结果；（2）根据向量垂直的条件列出方程，代入f（x）由诱导公式化简求出，由三角函数值的符号、角A的范围求出的范围，由平方关系求出的值，利用两角差的余弦函数、特殊角的三角函数值求出cos2A的值【解答】解：（1）由题意得，f（x）=cos2x1=，函数f（x）最小值是2，最小正周期T=；（2）向量=（1，5）与向量=（1，f（A）垂直，1+5f（A）=0，则1+5=0，=0，A为锐角，则，=，则cos2A=cos（）=+=+=【点评】本题考查二倍角的余弦公式变形，两角差的正弦、余弦公式，向量垂直的条件，以及正弦函数的性质等，注意角的范围，属于中档题19已知向量=
22、（cos，sin），=（cosx，sinx），=（sinx+2sin，cosx+2cos），其中0x（1）若，求函数f（x）=的最小值及相应x的值；（2）若与的夹角为，且，求tan2的值【考点】平面向量的坐标运算【分析】（1）根据向量点乘表示出函数f（x）的解析式后令t=sinx+cosx转化为二次函数解题（2）根据向量a与b的夹角为确定，再由ac可知向量a点乘向量c等于0整理可得sin（x+）+2sin2=0，再将代入即可得到答案【解答】解：（1）=（cosx，sinx），=（sinx+2sin，cosx+2cos），f（x）=cosxsinx+2cosxsin+sinxcosx+2sinx
23、cos=令t=sinx+cosx（0x），则t=，则2sinxcosx=t21，且1t则，1t时，此时由于x，故所以函数f（x）的最小值为，相应x的值为；（2）与的夹角为，0x，0x，cos（sinx+2sin）+sin（cosx+2cos）=0sin（x+）+2sin2=0，【点评】本题主要考查平面向量的坐标运算和数量积运算向量一般和三角函数放在一起进行考查，这种题型是高考的热点，每年必考20定义向量的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx；函数f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”为（其中O为坐标原点）记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S（1）设，试判断g（x）是否
24、属于S，并说明理由；（2）已知h（x）=cos（x+）+2cosx，且h（x）S，求其“相伴向量”的模；（3）已知M（a，b）是函数的图象上一动点，向量的“相伴函数”f（x）在x=x0处取得最大值当点M运动时，求tan2x0的取值范围【考点】两角和与差的正弦函数【专题】计算题；压轴题；新定义；三角函数的求值；三角函数的图像与性质【分析】（1）先利用诱导公式对其化简，再结合定义即可得到证明；（2）先根据定义求出其相伴向量，再代入模长计算公式即可；（3）先根据定义得到函数f（x）取得最大值时对应的自变量x0；再结合几何意义及基本不等式求出的范围，最后利用二倍角的正切公式及正切函数的单调性即可得到结论【解答】（本题满分15分）解：（1）因为：，g（x）的相伴向量为（4，3），所以：g（x）S； （3分）（2）h（x）=cos（x+）+2cosx=sinsinx+（cos+2）cosx，h（x）的“相伴向量”为，（7分）（3）的“相伴函数”，其中，当时，f（x）取得最大值，故，又M（a，b）是满足，所以，令，m2在（1，+）上单调递减，（15分）【点评】本体主要在新定义下考查平面向量的基本运算性质以及三角函数的有关知识是对基础知识的综合考查，需要有比较扎实的基本功