1、第七章 立体几何 第二节 空间几何体的表面积和体积 第七章 立体几何 主干知识梳理 柱、锥、台和球的侧面积和体积 面积体积圆柱S 侧2 rlVSh r2h 圆锥S 侧 rlV13Sh13 r2h13 r2 l2r2第七章 立体几何 圆台S 侧(r1r2)lV13(S 上S 下 S上S下)h13(r21r22r1r2)h直棱柱 S 侧ChVSh正棱锥 S 侧12ChV13Sh 第七章 立体几何 正棱台S 侧12(CC)hV13(S 上S 下 S上S下)h球S 球面4 R2V43 R3第七章 立体几何 基础自测自评1(教材习题改编)侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a 时，该三棱锥的全面积是
2、()A.3 34a2 B.34a2C.3 32a2D.6 34a2第七章 立体几何 A 侧面都是直角三角形，故侧棱长等于 22 a，S 全 34 a231222 a 23 34a2.第七章 立体几何 2已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为 3 2，则这个四棱锥的外接球的表面积为()A12B36C72D108第七章 立体几何 B 依题意得，该正四棱锥的底面对角线长为 3 2 26，高为（3 2）2126 23，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该四棱锥的外接球的球心为底面正方形的中心，其外接球的半径为 3，所以其外接球的表面积等于 43236.第七章 立体几何 3(2013新课标全国高考)某
3、几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()第七章 立体几何 A168B88C1616D816A 由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径 r2，长为 4，在长方体中，长为 4，宽为 2，高为 2，所以几何体的体积为r2412422816.故选 A.第七章 立体几何 4(教材习题改编)表面积为3的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为_解析 设圆锥的母线为l，圆锥底面半径为r，则rlr23，l2r.解得r1，即直径为2.答案 2第七章 立体几何 5某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积
4、是_第七章 立体几何 解析 由三视图可知此几何体的表面积分为两部分：底面积即俯视图的面积，为 2 3；侧面积为一个完整的圆锥的侧面积，且圆锥的母线长为 2，底面半径为 1，所以侧面积为 2.两部分加起来即为几何体的表面积，为 2(3)答案 2(3)第七章 立体几何 关键要点点拨1几何体的侧面积和全面积：几何体侧面积是指(各个)侧面面积之和，而全面积是侧面积与所有底面积之和对侧面积公式的记忆，最好结合几何体的侧面展开图来进行第七章 立体几何 2求体积时应注意的几点：(1)求一些不规则几何体的体积常用割补的方法转化成已知体积公式的几何体进行解决(2)与三视图有关的体积问题注意几何体还原的准确性及数
5、据的准确性3求组合体的表面积时注意几何体的衔接部分的处理第七章 立体几何 几何体的表面积典题导入(2013重庆高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()第七章 立体几何 A180 B200C220 D240第七章 立体几何 听课记录 由三视图知该几何体是底面为等腰梯形的直棱柱，如图所示，S 上21020，S 下81080，S 前S 后10550，S 左S 右12(28)420，所以 S 表S 上S 下S 前S 后S 左S 右240，故选 D.答案 D第七章 立体几何 规律方法1以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量2多面体的表面
6、积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理3旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用第七章 立体几何 跟踪训练1(2012北京高考)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是()第七章 立体几何 A286 5 B306 5C5612 5D6012 5B 由几何体的三视图可知，该三棱锥的直观图如图所示，其中 AE平面 BCD，CDBD，且 CD4，BD5，BE2，ED3，AE4.第七章 立体几何 AE4，ED3，AD5.又 CDBD，CDAE，CD平面 ABD.故 CDAD，AC 41且 SACD10.在 RtABE 中，AE4，BE2，第七章 立体几何 故 AB2 5.在 RtB
7、CD 中，BD5，CD4，故 SBCD10，且 BC 41.在ABD 中，AE4，BD5，故 SABD10.在ABC 中，AB2 5，BCAC 41，则 AB 边上的高 h6，故 SABC122 566 5.因此，该三棱锥的表面积为 S306 5.第七章 立体几何 典题导入(1)(2012广东高考)某几何体的三视图如图所示，它的体积为()几何体的体积第七章 立体几何 A12 B45C57 D81听课记录 由三视图知该几何体是由圆柱、圆锥两几何体组合而成，直观图如图所示圆锥的底面半径为 3，高为 4，圆柱的底面半径为 3，高为 5，第七章 立体几何 VV 圆锥V 圆柱13Sh1Sh2133243
8、25 57.答案 C第七章 立体几何(2)(理)(2013广东高考)某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是()第七章 立体几何 A4 B.143C.163D6听课记录 解法一：由三视图可知，原四棱台的直观图如图所示，其中上、下底面分别是边长为 1，2 的正方形，且 DD1面 ABCD，上底面面积 S1121，下底面面积 S2224.又DD12，V 台13(S1 S1S2S2)h 13(1 144)2143.第七章 立体几何 解法二：由四棱台的三视图，可知原四棱台的直观图如图所示 在四棱台 ABCDA1B1C1D1 中，四边形 ABCD 与四边形 A1B1C1D1 都为正方形，AB2，A1
9、B11，且 D1D平面 ABCD，D1D2.分别延长四棱台各个侧棱交于点 O，设 OD1x，因为OD1C1ODC，所以OD1OD D1C1DC，第七章 立体几何 即 xx212，解得 x2.VABCDA1B1C1D1V 棱锥 OABCDV 棱锥 OA1B1C1D1 1322413112143.答案 B第七章 立体几何(2)(文)(2013广东高考)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是()第七章 立体几何 A.16B.13C.23D1听课记录 根据三视图，该几何体是三棱锥，V131211 213.答案 B第七章 立体几何 互动探究本例(1)中几何体的三视图若如右所示则其体积为_第七章 立
10、体几何 解析：由三视图还原几何体知，该几何体为圆柱与圆锥的组合体，其体积 VV 圆柱V 圆锥32413832424.答案：24第七章 立体几何 规律方法1计算柱、锥、台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解2注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法，应熟练掌握3等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面求体积时，可选择容易计算的方式来计算；利用“等积法”可求“点到面的距离”第七章 立体几何 跟踪训练2(1)(2014长春调研)四棱锥PABCD的底面A
11、BCD为正方形，且PD垂直于底面ABCD，N为PB中点，则三棱锥PANC与四棱锥PABCD的体积比为()A12 B13C14 D18第七章 立体几何 C 设正方形 ABCD 面积为 S，PDh，则体积比为13Sh1312S12h1312Sh13Sh 14.第七章 立体几何(2)(2014山西大同)已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()第七章 立体几何 A8 B.203C.173D.143C 由题可知，原正方体如图所示，第七章 立体几何 被平面 EFB1D1 截掉的几何体为棱台 AFEA1B1D1，则所求几何体的体积 V23VA1B1D1AEF
12、 231321221 173.第七章 立体几何 典题导入(2012新课标全国卷)已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，ABC 是边长为 1 的正三角形，SC 为球 O 的直径，且 SC2，则此棱锥的体积为()A.26 B.36C.23D.22与球有关的几何体的表面积与体积问题第七章 立体几何 听课记录 由于三棱锥SABC与三棱锥OABC底面都是ABC，O是SC的中点，因此三棱锥SABC的高是三棱锥OABC高的2倍，第七章 立体几何 所以三棱锥 SABC 的体积也是三棱锥 OABC 体积的 2 倍在三棱锥 OABC 中，其棱长都是 1，如图所示，S ABC 34 AB2 34，高
13、 OD12332 63，VSABC2VOABC213 34 63 26.答案 A第七章 立体几何 规律方法1解决与球有关的“切”、“接”问题，一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面，把空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系 2记住几个常用的结论：(1)正方体的棱长为 a，球的半径为 R，正方体的外接球，则 2R 3a；正方体的内切球，则 2Ra；球与正方体的各棱相切，则 2R 2a.第七章 立体几何(2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a，b，c，外接球的半径为 R，则 2R a2b2c2.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为 13.第七章 立体几何 跟踪训练3(1
14、)(2013福建高考)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是_第七章 立体几何 解析 由题意知该几何体是一个正方体内接于球构成的组合体，球的直径 2r 222222 12，所以 r 3，故该球的表面积为 S 球4r24312.答案 12第七章 立体几何(2)如图所示，已知球 O 的面上有四点 A、B、C、D，DA平面 ABC，ABBC，DAABBC 2，则球O 的体积等于_解析 如图，以 DA，AB，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球 O 的半径为 R，则正方体的体对角线长即为球 O
15、的直径，第七章 立体几何 所以|CD|（2）2（2）2（2）2 2R，所以 R 62.故球 O 的体积 V4R33 6.答案(1)D(2)6第七章 立体几何【创新探究】补形法破解体积问题1对称补形(2012湖北高考)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()第七章 立体几何 A.83 B3 C.103 D6【思路导析】可采用对称补形第七章 立体几何【解析】由三视图可知，此几何体是底面半径为 1，高为 4 的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的14，根据对称性，可补全此圆柱如图，故体积 V341243.【答案】B第七章 立体几何【高手支招】“对称”是数学中的一种重要关系，在解决空间几何体中
16、的问题时善于发现对称关系对空间想象能力的提高很有帮助第七章 立体几何 2联系补形(2012辽宁高考)已知正三棱锥 PABC，点 P，A，B，C 都在半径为 3的球面上，若 PA，PB，PC 两两相互垂直，则球心到截面 ABC 的距离为_【思路导析】由正三棱锥 PABC 中，PA、PB、PC 两两互相垂直，故可将其补形为正方体第七章 立体几何【解析】由于正三棱锥的侧棱 PA，PB，PC 两两互相垂直，故以 PA，PB，PC 为棱补成正方体如图，可知球心 O 为体对角线 PD的中点，且 PO 3，又 P 到平面 ABC 的距离为 h，则13 34(2 2)2h 1312222.第七章 立体几何 h
17、2 33.球心到截面距离为 32 33 33.【答案】33【高手支招】三条侧棱两两互相垂直，或一侧棱垂直于底面，底面为正方形或长方形，则此几何体可补形为正方体或长方体，使所解决的问题更直观易求第七章 立体几何 体验高考1(2013山东高考)一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如右图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是()A4 5，8 B4 5，83C4(51)，83D8，8第七章 立体几何 B 由正(主)视图数据可知正四棱锥的底面是边长为2的正方形，高也是2，如图：第七章 立体几何 由图可知 PO2，OE1，所以 PE 2212 5，所以 V134283，S42 5124 5.
18、第七章 立体几何 2(2013辽宁高考)已知直三棱柱 ABCA1B1C1 的 6 个顶点都在球O 的球面上若 AB3，AC4，ABAC，AA112，则球 O的半径为()A.3 172B2 10C.132D3 10第七章 立体几何 C 过 C 点作 AB 的平行线，过 B 点作 AC 的平行线，交点为 D，同理过 C1 作 A1B1 的平行线，过 B1 作 A1C1 的平行线，交点为 D1，连接 DD1，则 ABCDA1B1C1D1 恰好成为球的一个内接长方体，故球的半径 r 32421222132.故选 C.第七章 立体几何 3(理)(2013陕西高考)某几何体的三视图如图所示，则其体积为_第
19、七章 立体几何 解析 由三视图可知该几何体是如图所示的半个圆锥，底面半圆的半径 r1，高 SO2，则 V 几何体13223.答案 3第七章 立体几何 3(文)(2013陕西高考)某几何体的三视图如图所示，则其表面积为_第七章 立体几何 解析 由三视图可知该几何体为半径为 1 的球体的一半，所以表面积为12412123.答案 3第七章 立体几何 4(2013江苏高考)如图，在三棱柱A1B1C1ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥FADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1ABC的体积为V2，则V1V2_第七章 立体几何 解析 由题意可知点 F 到面 ABC 的距离与点 A1 到面 ABC 的距离之比为 12，SADESABC14.因此 V1V213AFSAED2AFSABC124.答案 124第七章 立体几何 课时作业