1、距离和高度问题A级基础巩固一、选择题1海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75的视角，则B、C间的距离是(D)A10海里B10海里C5海里D5海里解析如图，由正弦定理得，BC5.2学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4 m，A30，则其跨度AB的长为(D)A12 mB8 mC3 mD4 m解析在ABC中，已知可得BCAC4，C180302120，所以由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos120424224448，AB4(m)3如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A、B两点分别测得树尖的仰角为30，4
2、5，且A，B两点之间的距离为60 m，则树的高度为(A)A(3030)mB(3015)mC(1530)mD(1515)m解析由正弦定理可得，PB.hPBsin45sin45(3030)(m)4甲船在湖中B岛的正南A处，AB3 km，甲船以8 km/h的速度向正北方向航行，同时乙船从B岛出发，以12 km/h的速度向北偏东60方向驶去，则行驶15分钟时，两船的距离是(B)A kmB kmC kmD km解析由题意知AM82，BN123，MBABAM321，所以由余弦定理得MN2MB2BN22MBBNcos12019213()13，所以MN km.5如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离
3、都等于a(km)，灯塔A在观察站C的北偏东20，灯塔B在观察站C的南偏东40，则灯塔A与灯塔B的距离为(B) Aa(km)Ba(km)Ca(km)D2a(km)解析在ABC中，ACB180(2040)120.AB2AC2BC22ACBCcos120a2a22a2()3a2，ABa(km)6在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30、60，则塔高为(A)A米B米C米D米解析解法一：如图，设AB为山高，CD为塔高，则AB200，ADM30，ACB60，BC200tan30，AMDMtan30BCtan30.CDABAM.解法二：如图AB为山高，CD为塔高在ABC中，AC，在ACD中
4、，CAD30，ADC120.由正弦定理.CD(米)二、填空题7一只蜘蛛沿正北方向爬行x cm捕捉到一只小虫，然后向右转105，爬行10 cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135爬行回它的出发点，则x cm.解析如图，由题意知，BAC75，ACB45.B60，由正弦定理，得，x.8如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45，CAB105后，就可以计算A、B两点的距离为50 m.解析因为ACB45，CAB105，所以ABC30，根据正弦定理可知：，即，解得AB50 m.三、解答题9海面上相距10海里的A、B两船，B船在A船的北偏东45
5、方向上，两船同时接到指令同时驶向C岛，C岛在B船的南偏东75方向上，行驶了80分钟后两船同时到达C岛，经测算，A船行驶了10海里，求B船的速度解析如图所示，在ABC中，AB10，AC10，ABC120由余弦定理，得AC2BA2BC22BABCcos120即700100BC210BC，BC20，设B船速度为v，则有v15(海里/小时)即B船的速度为15海里/小时10在上海世博会期间，小明在中国馆门口A处看到正前方上空一红灯笼，测得此时的仰角为45，前进200米到达B处，测得此时的仰角为60，小明身高1.8米，试计算红灯笼的高度(精确到1 m)解析由题意画出示意图(AA表示小明的身高)AB200，
6、CAB45，CBD60，在ABC中，BC200(1)在RtCDB中，CDBCsin60100(3)，CD1.8100(3)475(米)答：红灯笼高约475米B级素养提升一、选择题1一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30的方向航行30分钟后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为(B)A20()海里/时B20()海里/时C20()海里/时D20()海里/时解析设货轮航行30分钟后到达N处，由题意可知NMS45，MNS105，则MSN1801054530.而MS20，在MNS中，由正弦定理得，MN10()货轮的速度为10()20()(海里/时
7、)2如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角CAB45，沿倾斜角为30的山坡向山顶走1 000米到达S点，又测得山顶仰角DSB75，则山高BC为(D)A500 mB200 mC1 000 mD1 000 m解析SAB453015，SBAABCSBC45(9075)30，在ABS中，AB1 000，BCABsin451 0001 000(m)3一船向正北航行，看见正西方向有相距10 n mlie的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60方向上，另一灯塔在船的南偏西75方向上，则这艘船的速度是每小时(C)A5 n mlieB5 n mlieC10 n mlieD10
8、n mlie解析如图，依题意有BAC60，BAD75，CADCDA15，从而CDCA10，在RtABC中，求得AB5，这艘船的速度是10(n mlie/h)4要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45，30，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120，甲、乙两地相距500米，则电视塔在这次测量中的高度是(D)A100米B400米C200米D500米解析由题意画出示意图，设高ABh，在RtABC中，由已知BCh，在RtABD中，由已知BDh，在BCD中，由余弦定理BD2BC2CD22BCCDcosBCD得
9、3h2h25002h500，解之得h500(米)二、填空题5某地电信局信号转播塔建在一山坡上，如图所示，施工人员欲在山坡上A、B两点处测量与地面垂直的塔CD的高，由A、B两地测得塔顶C的仰角分别为60和45，又知AB的长为40米，斜坡与水平面成30角，则该转播塔的高度是米解析如图所示，由题意，得ABC453015，DAC603030.BAC150，ACB15，ACAB40米，ADC120，ACD30，在ACD中，由正弦定理，得CDAC40.6如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时，测量公路南侧远处一山顶D在东偏南15的方向上，行驶5 km后到达B处，测得此山顶在东偏南30的方向上
10、，仰角为15，则此山的高度CD等于5(2)km.解析在ABC中，A15，ACB301515，所以BCAB5.又CDBCtanDBC5tan155tan(4530)5(2)三、解答题7(2018全国卷理，17)在平面四边形ABCD中，ADC90，A45，AB2，BD5.(1)求cosADB；(2)若DC2，求BC解析(1)在ABD中，由正弦定理得，即，所以sinADB.由题设知，ADB90，所以cosADB .(2)由题设及(1)知，cosBDCsinADB.在BCD中，由余弦定理得BC2BD2DC22BDDCcosBDC25825225，所以BC5.8某人在M汽车站的北偏西20的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶公路的走向是M站的北偏东40.开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？解析由题画出示意图如图所示，设汽车前进20千米后到达B处，在ABC中，AC31，BC20，AB21.由余弦定理得cosC，则sinC，所以sinMACsin(120C)sin120cosCcos120sinC.在MAC中，由正弦定理得MC35，从而MBMCBC15.即汽车还需行驶15千米才能到达M汽车站