1、培优专题19 圆中的最值问题类型一：利用圆的对称性求最值1（2022全国九年级专题练习）如图，AB是O的直径，AB2，点C在O上，CAB30，D为弧BC的中点，E是直径AB上一动点，则CE+DE最小值为（）A1BCD2【答案】B【分析】作点D关于AB的对称点为D，连接OC，OD，OD，CD，交AB于点E，则CE+DE的最小值就是CD的长度，根据已知易证COD=90，然后利用勾股定理进行计算即可解答【详解】解：作点D关于AB的对称点为D，连接OC，OD，OD，CD，交AB于点E，DE=DE，CE+DE=CE+DE=CD，CAB=30，COB=2CAB=60，D为的中点，COD=DOB=BOD=3
2、0，COD=90，AB=2，OC=OD=1，CD=，CE+DE最小值为：，故选：B【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，轴对称-最短路线问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键2（2021江苏常熟市第一中学九年级阶段练习）如图，MN是半径为1的O的直径，点A在O上，M=30，B为弧AN的中点，点P是直径MN上一个动点，则PA+PB的最小值为（）A2BC1D2【答案】B【分析】过点A作直线MN的对称点 ，连接 ，AO，则 ，可得当点 三点共线时，PA+PB的值最小，最小值为 的长，再由圆周角定理可得 ，从而得到，即可求解【详解】解：如图，过点A作直线
3、MN的对称点 ，连接 ，AO，则 ， ，即当点 三点共线时，PA+PB的值最小，最小值为 的长， 关于直线MN对称， ，M=30， ，B为弧AN的中点， ， ， ，在 中， ，, 即PA+PB的最小值为 故选：B【点睛】本题主要考查了圆周角定理，轴对称图形，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键3（2020天津耀华中学九年级期中）如图，AB是O的直径，AB=2，点C在O上，CAB=30，D为的中点，P是直径AB上一动点，则PC+PD的最小值为ABC1D2【答案】B【详解】作出D关于AB的对称点D，连接OC，OD，CD，PC+PD的最小值即为线段的长度，又点C在O上，D为弧BC的中点，即， 则
4、COD是等腰直角三角形， 故选：B.4（2021贵州安顺九年级期末）如图，MN为的直径，O的半径为3，点A在上，B为的中点，P是直径MN上一动点，则的最小值为_【答案】【分析】作点B关于MN的对称点B，连接OA、OB、AB，根据轴对称确定最短路线问题，AB与M的交点即为所求的使PA+PB的值最小的点，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求出AON=2AMN，再求出NOB，然后求出AOB=90，从而判断出AOB是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求解即可【详解】解：如图，作点B关于MN的对称点B，连接OA、OB、AB，由轴对称确定最短路线问题可知，AB与M的交点即为所求的使
5、PA+PB的值最小的点，AMN=30，AON=2AMN=230=60，B为弧AN的中点，NOB=60=30，AOB=90，AOB是等腰直角三角形，O的半径为3，AB=3，即PA+PB的最小值为为3故答案为：3【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，圆周角定理，垂径定理，以及勾股定理，熟记定理以及最短路线的确定方法是解题的关键类型二：利用垂线段最短求最值5（2017江苏扬州中考模拟）如图，O是以原点为圆心，为半径的圆，点是直线上的一点，过点作O的一条切线，为切点，则切线长的最小值为（）ABCD【答案】B【分析】连接OP，OQ，作OHAB于H，在RtPOQ中，勾股定理求得，当时取得最值，据此即可
6、求解【详解】连接OP，OQ，作OHAB于H，如图，当x=0时，y=x+8=8，则B(0，8)；当y=0时，x+8=0，解得x=8，则A(8，0)，OA=OB，OAB为等腰直角三角形， ，OHAB， ，PQ为O的切线，OQPQ，在RtPOQ中， ，当OP最小时，PQ最小，而OP=OH时，OP最小，切线长PQ的最小值为 ，故选B【点睛】本题考查了切线的性质，一次函数与坐标轴的交点问题，勾股定理，垂线段最短，根据转化线段是解题的关键类型三：利用两点之间线段最短求最值6（2020江苏九年级专题练习）如图，是的外接圆，点是外一点，则线段的最大值为（）A9B4.5CD【答案】C【分析】连接OB、OC，如图
7、，则OBC是顶角为120的等腰三角形，将OPC绕点O顺时针旋转120到OMB的位置，连接MP，则POM=120，MB=PC=3，OM=OP，根据等腰三角形的性质和锐角三角函数可得 ，于是求OP的最大值转化为求PM的最大值，因为，所以当P、B、M三点共线时，PM最大，据此求解即可.【详解】解：连接OB、OC，如图，则OB=OC，BOC=2A=120，将OPC绕点O顺时针旋转120到OMB的位置，连接MP，则POM=120，MB=PC=3，OM=OP，过点O作ONPM于点N，则MON=60，MN=PM，在直角MON中，当PM最大时，OP最大，又因为，所以当P、B、M三点共线时，PM最大，此时PM=
8、3+6=9，所以OP的最大值是：.故选：C.【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、旋转的性质、解直角三角形和两点之间线段最短等知识，具有一定的难度，将OPC绕点O顺时针旋转120到OMB的位置，将求OP的最大值转化为求PM的最大值是解题的关键.7（2018江苏海安市白甸镇初级中学一模）如图，已知的半径为3，圆外一点满足，点为上一动点，经过点的直线上有两点、，且，不经过点，则的最小值为_.【答案】4【详解】分析：连接OP、OC、PC，如图所示，则有OPOC-PC，当O、P、C三点共线时，OP=OC-PC；由APB=90可知点P在以AB为直径的圆上，则O与C相切时，OP取得最小值，据此求
9、解即可.详解：连接OP、OC、PC，如图所示，则有OPOC-PC，当O、P、C三点共线时，OP=OC-PC.APB=90，OA=OB，点P在以AB为直径的圆上，O与C相切时，OP取得最小值，则OP=OC-CP=2，AB=2OP=4.故答案为4.点睛：本题考查了圆与圆的位置关系，两点之间线段最短，判断出当O与C相切时，OP取得最小值是解答本题的关键.类型四：利用直径是圆中最长的弦求最值8（2021全国九年级课时练习）如图，在中，经过点C且与边相切的动圆与分别相交于点E，F，则线段长度的最小值是（ ）AB4.75C5D4.8【答案】D【分析】设EF的中点为O，O与AB的切点为D，连接OD，连接CO
10、，CD，则有ODAB，由勾股定理逆定理知，是直角三角形，OC+OD=EF，而 OC+ODCD，只有当点O在CD上时，OC+OD=EF有最小值为CD的长，即当点O在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，EF=CD有最小值，由直角三角形的面积公式知求出CD的长即可【详解】解：设EF的中点为O，O与AB的切点为D，连接OD，连接CO，CD，AC2+BC2=AB2，是直角三角形，ACB=90，EF是O的直径，OC+OD=EF，O与边AB相切，ODAB，OC+ODCD，即当点O在直角三角形ABC的斜边AB的高上时，OC+OD=EF有最小值，此时最小值为CD的长，CD=，EF的最小值为4.8故选D【点睛
11、】本题考查了切线的性质，勾股定理逆定理，直角三角形的面积公式，圆周角定理等知识解题的关键是得到OC+ODCD9（2021四川绵阳九年级期末）如图，圆与坐标轴分别交于原点O，点A(6，0)和B(0，2)，点P是圆上一个动点，点C(0，3)，则PC长度的最小值为（）A4B8C2D5【答案】D【分析】连接AB，取AB的中点T，连接CT，PT，根据ABO=90 ，可知AB为圆的直径，T为圆心，PC的最小长度即为点C到圆T上一点的最短距离.【详解】解：连接AB，取AB的中点T，连接CT，PTA（6，0），B（0，2），OA6，OB2，ABO=90 ，AB为圆的直径，TBATPT，T（，）即（3，1），C
12、（0，3），PCCTPT5，PC的最小值为5-故选D【点睛】本题主要考查了两点中点坐标公式，两点距离公式，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，圆外一点到圆的最短距离等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.10（2018全国九年级单元测试）如图，在ABC中，AB13，AC5，BC12，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ长度的最小值是()ABC5D无法确定【答案】B【详解】在ABC中，AB=13，AC=5，BC=12，AB2=AC2+BC2ACB=90，PQ一定是直径要使过点C且与边AB相切的动圆的直径最小，则PQ等于斜边上的高，则PQ=故选B点睛：本题
13、考查了切线的性质，勾股定理的逆定理，圆周角定理的推论，直角三角形的面积公式，判断出PQ等于斜边上的高是解答本题的关键.11（2015江苏镇江一模）在RtABC中，C=90，BC=6，AC=8，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE=6，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（ ）ABCD【答案】D【详解】试题分析：如图：设DE的中点为O，连接CO并延长交AB于点F，连接ON,当CFAB时，弦心距OF最小，此时弦MN的值最大，因为在RtABC中，C=90，BC=6，AC=8，所以AB=10，所以CF=,因为DE=6，所以OC=ON=3，所以OF=-3=,所以NF=,所以MN=
14、2NF=,故选D考点：1圆的性质；2直角三角形的性质12（2022安徽二模）如图，在RtABC中，ACB90，AC8，BC3，点D是BC边上动点，连接AD交以CD为直径的圆于点E，则线段BE长度的最小值为_【答案】1【分析】作AC为直径的圆，圆心为O，即可得当O、E、B三点共线时，BE是最短，根据勾股定理求OB的长度即可求【详解】解：如图，作以AC为直径的圆，圆心为O，连接CE，OE，OB，E点在以CD为直径的圆上，CED90，AEC180CED90，点E也在以AC为直径的圆上，AC8，OE=OC4，BC3，ACB90，OB=，点E在O上运动，根据两点之间线段最短，BE+OEOB，当点B、E、O三点共线时OB最短，OE定值，BE最短OBOE541，故答案为：1【点睛】本题考查直径所对圆周角性质，动点轨迹，勾股定理，最短路径，掌握直径所对圆周角性质，动点轨迹，勾股定理，最短路径是解题关键
