1、第2课时 余弦定理A级基础巩固一、选择题1(2019烟台高二检测)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2b2c2ac，则角B的大小是(A)A45B60C90D135解析a2b2c2ac，a2c2b2ac，由余弦定理得cosB，又0B0，则ABC(C)A一定是锐角三角形B一定是直角三角形C一定是钝角三角形D是锐角或直角三角形解析由题意知0，即cosC0，ABC为钝角三角形3在ABC中，若AB，BC3，C120，则AC(A)A1B2C3D4解析设ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则a3，c，C120，由余弦定理得139b23b，解得b1，即AC1.4ABC的三内角A、
2、B、C所对边长分别为a、b、c，设向量p(ac，b)，q(ba，ca)若pq，则C的大小为(B)ABCD解析p(ac，b)，q(ba，ca)且pq，(ac)(ca)b(ba)0，即a2b2c2ab，cosC.C.5在ABC中，B60，b2ac，则ABC一定是(D)A锐角三角形B钝角三角形C等腰三角形D等边三角形解析由余弦定理b2a2c22accosB和B60，得aca2c2ac，(ac)20.所以ac.又B60，所以三角形是等边三角形6在ABC中，sin2Asin2Bsin2CsinBsinC，则A的取值范围是(C)A(0，B，)C(0，D，)解析本题主要考查正余弦定理，sin2Asin2Bs
3、in2CsinBsinC，由正弦定理得：a2b2c2bc，即b2c2a2bc，由余弦定理得：cosA，0bc，最大角为AsinA，若A为锐角，则A60，又CBA，ABC180，这显然不可能，A为钝角cosA，设cx，则bx2，ax4.，x3，故三边长为3,5,7.三、解答题9ABC中，若b2sin2Cc2sin2B2bccosBcosC，试判断三角形的形状解析解法一：将已知等式变形为b2(1cos2C)c2(1cos2B)2bccosBcosC，即有b2c2b22c222bc，即b2c2a2.所以A90，所以ABC为直角三角形解法二：由2R，则条件可化为4R2sin2Csin2B4R2sin2
4、Csin2B8R2sinBsinCcosBcosC又sinBsinC0，所以sinBsinCcosBcosC，即cos(BC)0.又0BC180，所以BC90，所以A90.故ABC为直角三角形10在ABC中，AC2B，ac8，ac15，求b.解析解法一：在ABC中，由AC2B，ABC180，知B60.由ac8，ac15，则a、c是方程x28x150的两根解得a5，c3或a3，c5.由余弦定理，得b2a2c22accosB92523519.b.解法二：在ABC中，AC2B，ABC180，B60.由余弦定理，得b2a2c22accosB(ac)22ac2accosB8221521519.b.B级素
5、养提升一、选择题1设ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a2，c2，cos A，且bc，则b(C)A3B2C2D解析由余弦定理，得a2b2c22bccosA，4b2126b，即b26b80，b2或b4.又bc，b2.2在ABC中，三边长AB7，BC5，AC6，则等于(D)A19B14C18D19解析在ABC中AB7，BC5，AC6，则cosB.又|cos(B)|cosB7519.3ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知bc，a22b2(1sinA)，则A(C)ABCD解析由余弦定理得a2b2c22bccosA2b22b2cosA，所以2b2(1sinA)2b2(1cos
6、A)，所以sinAcosA，即tanA1，又0Aba，角C为钝角由余弦定理，得cosC0，k24k120，解得2kk4，k2，故k的范围是(2,6)三、解答题7在四边形ABCD中，BCa，DC2a，四个内角A，B，C，D度数的比为37410，求AB的长解析设四个角A，B，C，D的度数分别为3x,7x,4x,10x，则有3x7x4x10x360，解得x15.A45，B105，C60，D150.连接BD，在BCD中，由余弦定理，得BD2BC2DC22BCDCcosCa24a22a2a3a2，BDa.这时DC2BD2BC2，则BCD是以DC为斜边的直角三角形，CDB30，于是ADB120.在ABD中，由正弦定理，得ABa.AB的长为a.8ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，asinAcsinCasinCbsinB(1)求B；(2)若A75，b2，求a，c.解析(1)asinAcsinCasinCbsinB，a2c2acb2，a2c2b2ac，cosB，B45.(2)由(1)得B45，C180AB180754560.由正弦定理，a1，c.