1、湖北省宜昌市第二中学2020届高三数学上学期10月月考试题 理（含解析）一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合A=x|x0,当a=0时,f(x)=，不合题意；当a0时,x0,f(x)0时,x0,f(x)0,从而f(x)在0,单调递增，又函数在上图象是连续不断的,故函数f(x)在0,上的最大值为f()=a=，解得a=1故选B 点睛：本题是利用导函数来研究函数单调性和最值的问题，要进行分类讨论.11.已知函数f（x）=2sinxsin（x+3）是奇函数，其中 ，则函数g（x）=cos（2x-）的图象（）A. 关于点 对称B.
2、 关于轴对称C. 可由函数f（x）的图象向右平移 个单位得到D. 可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到【答案】B【解析】分析】利用三角函数的奇偶性求得，再利用三角函数的图象对称性、函数y=Asin（x+）的图象变换规律，判断各个选项是否正确，从而得出结论【详解】函数f（x）=2sinxsin（x+3）是奇函数，其中，y=2sinxsin（x+3）是奇函数，3=，=，则函数g（x）=cos（2x）=cos（2x）当时，则函数不关于点对称，选项A错误；当时，则函数关于直线对称，选项B正确；函数，其图像向右平移个单位的解析式为，选项C错误；其图像向左平移个单位的解析式为，选项D错误；故选B.【点
3、睛】本题主要考查三角函数的奇偶性、对称性，函数y=Asin（x+）的图象变换规律，属于中档题函数（A0,0）的性质：（1）奇偶性： 时，函数为奇函数； 时，函数为偶函数.；（2）周期性：存在周期性，其最小正周期为T=；（3）单调性：根据y=sint和t=的单调性来研究，由得单调增区间；由得单调减区间；（4）对称性：利用y=sin x的对称中心为求解，令，求得x；利用y=sin x的对称轴为求解，令，得其对称轴.12.设函数在R上存在导函数,对于任意的实数，都有，当时，.若，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 由，所以，设，则，所以函数为奇函数，则，故函数在上为减
4、函数，在为增函数，若，则，即，所以，即，故选A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.“”是“”的一个_条件.(在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”选择一个填写)【答案】充分不必要【解析】可得,则,因此“”“”，且“”“”，所以“”是“”的充分不必要条件.14._【答案】【解析】因，而，应填答案15.若点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为_【答案】【解析】解：因为点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值是过点P的切线与直线平行的时候，则，那么可知两平行线只见到 距离为16.定义在上的函数满足,当时, ，则函数在上的零点个数是_.【答案】
5、605【解析】分析：分析已知条件得出函数是周期函数，且周期为10，这样只要研究函数在一个周期内的零点个数，就可以得出结论详解：由得，即是以10为周期的周期函数当时，作出和图象，知在上有一个零点，另有两个零点2和4，可作出的草图，从图象上知，在上的最大值不大于2，当时，即此时无零点，函数在一个周期内只有3个零点，即上有个零点，当时，其图象与的图象是一致的，有2个零点，所以共有6032605个零点点睛：本题考查函数的零点，考查函数的周期性实际上本题是求区间上的零点个数，这个区间长度够大了，因此只有周期性才能得出正确结论，而有了周期性，我们只要研究函数在一期内的性质即可三、解答题：共70分。解答应写
6、出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17.已知函数.()求函数的对称中心；()求在上的单调区间.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：(1)，令解得x即可() 求在上的单调区间，则令解得x,对k赋值得结果.试题解析：()令，得，故所求对称中心为()令，解得又由于，所以故所求单调区间为.点睛：三角函数的大题关键是对f(x)的化简，主要是三角恒等变换的考查，化简成 类型，把wx+ 看成整体进行分析.18.的内角的对边分别为，已知（1）求；（2）若，面积为2，求【答案】（1）；（2）2【解析】
7、试题分析：（1）利用三角形的内角和定理可知，再利用诱导公式化简，利用降幂公式化简，结合，求出；（2）由（1）可知，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理即可求出.试题解析：（1），；（2）由（1）可知，19.如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，点E在BC上，（1）求证：平面平面PAC；（2）若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为，求二面角的余弦值【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）以A为原点，AB、AD、AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面PED平面PAC（2）求出平面PAC的一个法向量和平面PCD的一个法向量，利用向量法能求出二面角AP
8、CD的余弦值【详解】证明：（1）平面PAB平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB，PAAB，PA平面ABCD，ABAD，以A为原点，AB、AD、AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），D（0，2，0），E（2，1，0），C（2，4，0），设P（0，0，），0，则（2，4，0），（0，0，2），（2，1，0），44+00，0，DEAC，DEAP，ACAPA，DE平面PAC，DE平面PED，平面PED平面PAC解：（2）由（1）知平面PAC的一个法向量为（2，1，0），直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为，（2，1，），|cos|，解得2，0，2，即P（0，
9、0，2），设平面PCD的一个法向量为（x，y，z），（2，2，0），（0，2，2），取x1，得（1，1，1），cos，二面角APCD的平面角是锐角，二面角APCD的余弦值为【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用20.已知函数为自然对数的底数.(1)当时,试求的单调区间;(2)若函数在上有三个不同的极值点,求实数的取值范围.【答案】（1）单调增区间为,单调减区间为；（2）【解析】试题分析：（1）借助题设条件运用导数的知识求解；（2）依据题设运用导数的有关知识进行分析探求.试题解析：（1）函数的定义域为,.当时，对于恒成立，所以，
10、若，若，所以的单调增区间为，单调减区间为.（2）由条件可知，在上有三个不同的根，即在上有两个不同的根，且，令，则，当单调递增，单调递减，的最大值为，而.考点：导数与函数的单调性的关系等有关知识的综合运用.【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以函数解析式为背景,精心设置了两个问题,旨在考查导数知识与函数单调性和极值的关系等方面的综合运用以及分析问题解决问题的能力.本题的第一问是求函数的单调区间,求解时运用求导法则借助的范围及导数与函数的单调性的关系,分别求出求出其单调区间；第二问则通过构造函数,运用求导法则及转化化归思想,分析推证建立不等式,从而求出,使得
11、问题获解.21.已知函数（1）当函数在点处的切线方程为，求函数的解析式；（2）在（1）的条件下，若是函数的零点，且，求的值；（3）当时，函数有两个零点，且，求证：【答案】（1）（2）（3）详见解析【解析】试题分析：（1）先求出的导函数，再根据且可以求得的值进而得函数的解析式；（2）先根据导数研究函数的单调性，再根据零点定理判定出零点所在区间即可求得的值；（3）根据做差先将表示成关于的函数，然后证明即可试题解析： （1），所以，函数的解析式为；（2），因为函数的定义域为，令，当时，单调递减，当时，函数单调递增，且函数的定义域为，令，且时，单调递减，当时，单调递增，且函数至少有1个零点，而，不符合
12、要求，故（3）当时，函数，两式相减可得，因为，所以设，所以在上为增函数，且，又，所以考点：1、导数几何意义及零点存在定理；2、构造函数证明不等式【方法点睛】本题主要考查导数几何意义及零点存在定理、构造函数证明不等式，属于难题涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分22.在平面直角坐标系中，以原点为
13、极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为（1）求曲线的普通方程和曲线 的直角坐标方程；（2）设为曲线上一点，为曲线上一点，求的最小值【答案】（1）曲线的普通方程得，曲线的直角坐标方程为；（2）.【解析】【分析】（1）由消去参数得，即可得到曲线的普通方程；利用 ，代入即可求解曲线的直角坐标方程；（2）设，利用两点间的距离公式求得点到曲线的距离为，即可求解.【详解】（1）由消去参数得，曲线的普通方程得将代入曲线的极坐标方程为，得曲线的直角坐标方程为（2）设，则点到曲线的距离为 当时，有最小值，所以的最小值为【点睛】本题主要靠考查了参数方程与极坐标方程的互
14、化，其中数据曲线的参数方程和普通方程的互化，以及极坐标与直角坐标的互化公式，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）设关于的不等式的解集为，且，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）当时，由零点分段法，求不等式的解集，最后取并集即可；（2）由题设条件可得在上恒成立，然后分类讨论去绝对值，即可求得的取值范围.试题解析：（1）当时，即或或 .解得 或 或，所以或或.原不等式的解集为.（2），当时，不等式恒成立，即上恒成立，当时，即，在上恒成立，即；当时，即，即.在上恒成立，即；综上，的取值范围为.