1、第五章 数列 第五章 数列 第一节 数列的概念与简单表示法 第五章 数列 主干知识梳理一、数列的定义、分类与通项公式1数列的定义：(1)数列：按照排列的一列数(2)数列的项：数列中的一定顺序每一个数第五章 数列 2数列的分类：分类标准类型满足条件项数有穷数列项数无穷数列项数项与项间的大小关系递增数列an1 an其中nN*递减数列an1 an常数列an1an有限无限0.第五章 数列 4(教材习题改编)已知数列an的通项公式是 an23n1（n为偶数），2n5（n为奇数），则 a4a3_解析 a4a3233(235)54.答案 54第五章 数列 5已知数列an的通项公式为 anpnqn，且 a23
2、2，a432，则a8_解析 由已知得2pq232，4pq432，解得p14，q2.则 an14n2n，故 a894.答案 94第五章 数列 关键要点点拨1对数列概念的理解(1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别第五章 数列 2数列的函数特征数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集1，2，3，n)的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即f
3、(n)an(nN*)第五章 数列 典题导入(2014西安五校联考)下列公式可作为数列an：1，2，1，2，1，2，的通项公式的是()Aan1 Ban（1）n12Can2sinn2Dan（1）n132由数列的前几项求数列的通项公式第五章 数列 听课记录 由 an2sinn2 可得 a11，a22，a31，a42，.答案 C第五章 数列 互动探究若本例中数列变为：0，1，0，1，则an的一个通项公式为_答案 an0（n为奇数），1（n为偶数）.或 an1（1）n2或 an1cos n2 第五章 数列 规律方法1根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律
4、，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求对于正负符号变化，可用(1)n或(1)n1来调整2根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想第五章 数列 跟踪训练1写出下面数列的一个通项公式(1)3，5，7，9，；(2)12，34，78，1516，3132，；(3)3，33，333，3 333，；(4)1，32，13，34，15，36，.第五章 数列 解析(1)各项减去 1 后为正偶数，所以 an2n1.(2)每一项的分子比分母少 1，而分母组成数列 21，22，23，24，所以 an2n12n.(3)将数列各项改写为93，993，99
5、93，9 9993，分母都是 3，而分子分别是 101，1021，1031，1041，.所以 an13(10n1)第五章 数列(4)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式的符号为(1)n；各项绝对值的分母组成数列 1，2，3，4，；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为 1，偶数项为 3，即奇数项为 21，偶数项为 21，所以 an(1)n2（1）nn，也可写为 an1n，n为正奇数，3n，n为正偶数.第五章 数列 典题导入已知数列an的前n项和Sn，根据下列条件分别求它们的通项an.(1)Sn2n23n；(2)Sn3n1.听课记录(1)由题可知，当n1时，a1S1212315，当n2时，anS
6、nSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n1.当n1时，4115a1，故an4n1.由an与Sn的关系求通项an第五章 数列(2)当 n1 时，a1S1314，当 n2 时，anSnSn1(3n1)(3n11)23n1.当 n1 时，23112a1，故 an4，n1，23n1，n2.第五章 数列 规律方法已知数列an的前n项和Sn，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：(1)先利用a1S1求出a1；(2)用n1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用anSnSn1(n2)便可求出当n2时an的表达式；(3)对n1时的结果进行检验，看是否符合n2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式
7、合写；如果不符合，则应该分n1与n2两段来写第五章 数列 跟踪训练2(1)(2014长沙模拟)已知a12，an1an2n1(nN*)，则an_解析 由an1an2n1(nN*)，得anan12n1，an1an22n3，a3a25，a2a13，将以上各式相加，第五章 数列 得 ana135(2n3)(2n1)，即 an1135(2n1)1（12n1）n2 n21.答案 n21第五章 数列(2)(2014河池模拟)在数列an中，a12，3(a1a2an)(n2)an，nN*，则 an_解析 由已知可得 3Sn(n2)an，当 n2 时，3(SnSn1)(n2)an(n1)an13an，anan1n
8、1n1.第五章 数列 a1a2a1a3a2an1an2 anan1 231425364 nn2n1n1 n(n1)，ann(n1)答案 n(n1)第五章 数列 典题导入已知数列an的通项公式为ann221n20.(1)n为何值时，an有最小值？并求出最小值；(2)n为何值时，该数列的前n项和最小？数列的性质第五章 数列 听课记录(1)因为 ann221n20n21223614，可知对称轴方程为 n212 10.5.又因 nN*，故 n10 或 n11 时，an 有最小值，其最小值为 11221112090.(2)设数列的前 n 项和最小，则有 an0，由 n221n200，解得 1n20，故数
9、列an从第 21 项开始为正数，所以该数列的前19 或 20 项和最小第五章 数列 互动探究在本例条件下，设 bnann，则 n 为何值时，bn 取得最小值？并求出最小值解析 bnann n221n20nn20n 21，令 f(x)x20 x 21(x0)，则 f(x)120 x2，由 f(x)0 解得 x2 5或 x2 5(舍)第五章 数列 而 42 55，故当 n4 时，数列bn单调递减；当 n5 时，数列bn单调递增 而 b44204 2112，b55205 2112，所以当 n4 或 n5 时，bn 取得最小值，最小值为12.第五章 数列 规律方法1数列中项的最值的求法根据数列与函数之
10、间的对应关系，构造相应的函数anf(n)，利用求解函数最值的方法求解，但要注意自变量的取值2前n项和最值的求法(1)先求出数列的前n项和Sn，根据Sn的表达式求解最值；(2)根据数列的通项公式，若am0，且am10，则Sm最小，这样便可直接利用各项的符号确定最值第五章 数列 跟踪训练3数列an的通项 annn290，则数列an中的最大值是()A3 10 B19C.119D.1060C an1n90n，由基本不等式得，1n90n12 90，由于 nN*，易知当 n9 或 10 时，an 119最大第五章 数列【创新探究】函数思想在数列中的应用(2014安阳模拟)设 Sn 为数列an的前 n 项和
11、，若不等式 a2nS2nn2ma21对任意等差数列an及任意正整数 n 都成立，则实数 m 的最大值为()A.14 B.15C1 D无法确定第五章 数列【思路导析】将已知不等式用 an与 a1 表示后分离参数 m 转化为函数的最值问题求解【解析】因为 Sn12n(a1an)，所以原不等式可化为 a2n14(a1an)2ma21.若 a10，则原不等式恒成立；若 a10，则有 m54ana1212ana1 14，第五章 数列 而54ana1212ana1 1454ana11521515，则 m15.故实数 m 的最大值为15，故选 B.【答案】B第五章 数列【高手支招】数列是一种特殊的函数，即数
12、列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列因此，在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性第五章 数列 体验高考1(2013新课标全国高考)设AnBnCn 的三边长分别为 an，bn，cn，AnBnCn 的面积为 Sn，n1，2，3，.若 b1c1，b1c12a1，an1an，bn1cnan2，cn1bnan2，则()ASn为递减数列BSn为递增数列CS2n1为递增数列，S2n为递减数列DS2n1为递减数列，S2n为递增数列 第五章 数列 B 已知 b1c1，b1c12a1，a2a1，故 b2c1a1234c114
13、b1b1，c2b1a1234b114c1c1，b2c2a1b1c122a1，b2c2c1b120，即 b2c2，b2c2(34c114b1)(34b114c1)316(b1c1)214b1c1b1c1.第五章 数列 又 a3a2a1，所以 b3c2a2234c214b2b2，c3b2a2234b214c2c2，b3c3c2a22b2a222a22a1，b3c334c214b2(34b214c2)c2b220，即 b3c3，b3c3(34c214b2)(34b214c2)316(b2c2)214b2c2b2c2b1c1.第五章 数列 又AnBnCn 的面积为 Sn p（pan）（pbn）（pcn
14、）p（pan）p2（bncn）pbncn，其中 p12(anbncn)，p(pan)和 p2(bncn)p 都为定值，bncn 逐渐递增，所以数列Sn为递增数列，选择 B.第五章 数列 2(2013新课标全国高考)若数列an的前 n 项和 Sn23an13，则an的通项公式是 an_解析 当 n1 时，由已知 Sn23an13，得 a123a113，即 a11;当 n2 时，由已知得到 Sn123an113，第五章 数列 所以 anSnSn1(23an13)(23an113)23an23an1，所以 an2an1，所以数列an是以 1 为首项，以2 为公比的等比数列，所以 an(2)n1.答案(2)n1第五章 数列 课时作业
