1、红河州 2020 届高三毕业生复习统一检测 文科数学试题卷 第卷（选择题共 60 分）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.设集合 A=1，3，5，7，B=x|2x5，则 AB=（）A.3，5B.(3，5)C.3，4，5D.3，5【答案】A【解析】【分析】由集合25Bxx求出大于等于 2 且小于等于 5 的正整数有 2，3，4，5，再与集合 A求交集可得结果.【详 解】集 合1,3,5,7,|25ABxx，其 中 集 合 B 中 的 整 数 组 成 的 集 合 为2,3,4,5，所以3,5AB.故选:A.【点睛】此题考
2、查两集合的交集运算，属于基础题.2.设121izii，则|z （）A.0B.1C.5D.3【答案】B【解析】【分析】先将 z 分母实数化，然后直接求其模【详解】11122=2=211121iiiiziiiiiiiz（）（）（）（）【点睛】本题考查复数的除法及模的运算，是一道基础题 3.下图为某地区 2006 年2018 年地方财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额折线图根据该折线图可知，该地区 2006 年2018 年（）A.财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势 B.财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额的逐年增长速度相同 C.财政预算内收入年平均增长量高于城乡居民储蓄年末余额年平均增
3、长量 D.城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年增大【答案】AD【解析】【分析】先对图表数据的分析处理，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解【详解】由图可以看出两条曲线均在上升，从而选项 A 正确；图中两曲线间隔越来越大，说明年增长速度不同，差额逐年增大，故选项 B 错误，选项 D 正确；又从图中可以看出财政预算内收入年平均增长应该小于城乡储蓄年末余额年平均增长量，所以选项 C 错误;故选 AD.【点睛】本题考查了对图表数据的分析处理能力及进行简单的合情推理，属中档题 4.若变量 x，y 满足约束条件1122xyxyxy ，则目标函数2zxy的最小值为（）A.1 B.-2 C.-5 D
4、.-7【答案】C【解析】【分析】画出可行域，向上平移基准直线20 xy到可行域边界位置，由此求得目标函数的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，向上平移基准直线20 xy到可行域边界3,4A的位置，由此求得目标函数的最小值为32 45z .故选：C.【点睛】本小题主要考查利用线性规划求目标函数的最小值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.5.设13,3()log(2),3xexf xxx，则 ff(11)的值是（）A.1B.eC.2eD.1e【答案】B【解析】【分析】由分段函数解析式，结合对数函数及指数函数求值即可.【详解】解：由分段函数解析式可得：233(11)log(112)log 3
5、2f，则 (11)(2)f ffe，故选：B.【点睛】本题考查了分段函数求值问题，重点考查了对数函数及指数函数求值问题，属基础题.6.数列 na是等差数列，11a ，且125,a a a 构成公比为 q 的等比数列，则 q （）A.1 或 3B.0 或 2C.3D.2【答案】A【解析】【分析】设出等差数列的公差，由1a，2a，5a 构成公比为 q 的等比数列，列式求出公差，可得选项.【详解】设等差数列 na的公差为 d，125,a a a 构成公比为 q 的等比数列，2215aa a，即2(1)1 4dd，解得0d 或 2，所以21a 或3，所以1q 或 3，故选：A【点睛】本题考查了等差数列
6、的通项公式，考查了等比数列的性质，属于基础题 7.我国古代数学典籍九章算术“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺,两鼠对穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问几何日相逢？”现用程序框图描述,如图所示,则输出结果 n=()A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】开始，输入1,1,0,1aASn，则2S，判断210，否，循环，12,22naA，则92S，判断 9102，否，循环，13,4,4naA则354S，判断 35104，否，循环，14,8,8naA则1358S，判断135108，是，输出4n，结束.故选择 C.8.要得到函数sin 212yx的图象，只需将函数sinyx的
7、图象经过下列两次变换，则下面结论正确的是（）A.先将函数sinyx的图象上各点的横坐标缩短到原来的 12 倍，再将所得图象向右平移 6 个单位长度 B.先将函数sinyx的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2倍，再将所得图象向右平移 24个单位长度 C.先将函数sinyx的图象向右平移 12个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 D.先将函数sinyx的图象向右平移 12个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的 12 倍【答案】D【解析】【分析】根据三角函数的图象变换规律，可选出答案.【详解】得函数sin(2)12yx的图象，有两种方法，方法一：先将sinyx的图象
8、上各点的横坐标缩短到原来的 12 倍，得到函数sin 2yx的图象，再将所得图象向右平移 24个单位长度，可得函数sin(2)12yx的图象；方法二：先将sinyx的图象向右平移 12 个单位长度，得到函数sin()12yx的图象，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的 12 倍，可得函数sin(2)12yx的图象 故选：D【点睛】三角函数的图象变换，可以“先平移，后伸缩”，也可以“先伸缩，后平移”，两种方法都要熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母 x 而言.9.已知双曲线22:14xCy的右焦点为 F，第一象限内的点 A 在双曲线C 的渐近线上，O 为坐标原点，若AOFOAF，
9、则OAF的面积为（）A.1 B.2 C.3 D.2【答案】D【解析】【分析】首 先 过 F 作 DFOA于 点 D，利 用 点 到 直 线 的 距 离 公 式 得 到1DF，根 据1t a n2DFAOFOD得到4AO，再计算OAF的面积即可.【详解】如图，过 F 作 DFOA于点 D，渐近线方程为12yx，5,0F.则225112DF，因为AOFOAF，所以OFAF，D 为 AO 中点.因为1tan2DFAOFOD，所以2OD，4AO.则14 122OAFS .故选：D【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，同时考查学生分析问题的能力，属于简单题.10.在棱长为 2正方体1111ABCDABC
10、 D中，点 M 是棱 AD 上一动点，则下列选项中不正确的是（）A.异面直线1AD 与1A B 所成的角的大小 3 B.直线1AM 与平面11BBCC 一定平行 C.三棱锥1BBCM的体积为定值 4D.1ABD M【答案】C【解析】【分析】A.通过平移找出异面直线 AD1与 A1B 所成角为11ABC，求之即可；B.利用面面平行的性质定理即可判断；C.根据棱锥的体积公式求之即可；D.利用线面垂直的性质定理即可判断【详解】A.因为11/ADBC，所以11ABC（或补角）为异面直线1AD 与1A B 所成的角，11ABCV为等边三角形所以113A BC，得异面直线1AD 与1A B 所成的角的大小
11、为 3，正确；B.平面11/AAD D平面11BBCC，1A M 平面11AA D D，所以1/AM平面11BBCC，正确；C.111111332BBCMBCMVSBBBCABBB114222323 ，错误；D.正方体1111ABCDABC D中，AB 平面11AA D D，1D M 平面11AA D D，所以1ABD M，正确，故选:C【点睛】本题考查空间立体几何的综合，涉及异面直线的夹角、线面平行、线线垂直、棱锥体积等问题，灵活运用空间中线面平行或垂直的判定定理与性质定理是解题的关键，考查学生空间立体感和推理论证能力，属于基础题 11.函数 f(x)x2bxc 满足 f(x1)f(1x)，
12、且 f(0)3，则 f(bx)与 f(cx)的大小关系是 A.f(bx)f(cx)B.f(bx)f(cx)C.f(bx)f(cx)D.与 x 有关，不确定【答案】A【解析】【分析】由 f（1+x）f（1x）推出函数关于直线 x1 对称，求出 b，f（0）3 推出 c 的值，x0，x0确定 f（bx）和 f（cx）的大小【详解】f（1+x）f（1x），f（x）图象的对称轴为直线 x1，由此得 b2又 f（0）3，c3f（x）在（，1）上递减，在（1，+）上递增 若 x0，则 3x2x1，f（3x）f（2x）若 x0，则 3x2x1，f（3x）f（2x）f（3x）f（2x）故选 A点睛】本题是中档
13、题，考查学生分析问题解决问题的能力，基本知识掌握的熟练程度，利用指数函数、二次函数的性质解决问题 12.已知1F、2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e，2e，则1 212e e 的最大值为（）A.32 B.33 C.2 33 D.1【答案】B【解析】分析】首先设椭圆的方程为221122111(0)xyabab，双曲线方程为2222221xyab22(0,0)ab，点 P 在第一象限，根据椭圆和双曲线的定义得到：1212PFPFa，1222PFPFa，从而得到112PFaa，212PFaa，利用余弦定理得到2221234aac
14、，从而得到2221314ee，再利用基本不等式即可得到答案。【详解】设椭圆的方程为221122111(0)xyabab，双曲线方程为2222221xyab22(0,0)ab，点 P 在第一象限，由椭圆和双曲线的定义得：1212PFPFa，1222PFPFa，解得112PFaa，212PFaa，在12FPF中，由余弦定理得：222121212122cosFFPFPFPF PFFPF，即：222121212124caaaaaaaa 整理得：2221234aac。所以2221314ee，22121 2132 3eee e，即1 22 34 e e，当且仅当1213ee时，等号成立 故1 21323e
15、 e，所以1 212e e 的最大值为33。故选：B【点睛】本题主要考查椭圆和双曲线的离心率，同时考查了基本不等式，属于中档题。第卷（非选择题共 90 分）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13.某学校美术室收藏有 4 幅国画，分别为山水、花鸟各 2 幅，现从中随机抽取 2 幅进行展览，则恰好抽到 2 幅不同种类的概率为_【答案】23【解析】【分析】先求得基本事件的总数，再求得其中恰好抽到 2 幅不同种类不同的取法，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，从四幅国画中随机抽取 2 幅，共有246C 种不同的取法，其中恰好抽到 2 幅不同种类的共有112
16、24C C 种不同的取法，所以恰好抽到 2 幅不同种类的概率为4263P 故答案为：23.【点睛】本题主要考查了组合数的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中求得基本事件的总数，以及所求事件所包含的基本事件的个数是解答的关键，着重考查运算与求解能力.14.设向量1,1a，1,3b ，2,1c，且()abc，则 _【答案】3【解析】【分析】首先求出ab，再根据()abc 即可得到答案.【详解】(1,1 3)ab，()221 30abc，解得3 故答案为：3 【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算，属于简单题.15.已知圆柱高为2 5，侧面积为8 5，它的两个底面的圆周在球心为 O，半径
17、为 R 的同一个球的球面上，则该球 O 的表面积为_【答案】36【解析】【分析】根据圆柱的侧面积公式，求得圆柱底面圆的半径2r=，再结合球的性质，求得球的半径，利用表面积公式，即可求解.【详解】如图所示，设圆柱的底面圆的半径为 r，由圆柱的侧面积22 58 5Sr，解得2r=，外接球的半径22(5)3Rr，球O 的表面积为2436R 故答案为：36.【点睛】本题球的组合体几何结构特征，球的截面圆的性质，以及球的表面积的计算，其中解答中根据组合体的结构特征，熟练应用球的截面圆的性质求得球的半径是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及运算求解能力.16.已知数列 na的前 n 项和为nS，数列 n
18、b的前 n 项和为nT，满足11a ，3()()nnSnm a mR，且15nna b 若对*nN，nT 恒成立，则实数 的最小值为_【答案】25【解析】【分析】当1n 时，解得2m，当2n 时，由1333nnnaSS 化简得111nnanan，利用累乘法求得(1)2nn na，进而得2 1151nbnn，利用裂项求和法得2121515nTn，因此利用对*nN，nT 恒成立即可求解.【详解】解析：当1n 时，11133(1)Sam a，解得2m 当2n 时，由113S(2)3S(1 2)nnnnnana，得111nnanan 依据叠乘法（累乘法）可得(1)2nn na 由15nna b，得22
19、 115(1)51nbn nnn，于是211111152231nTnn 2121515n 由于对*nN，nT 恒成立，25，故实数 的最小值为 25 故答案为：25【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前 n 项和，以及数列的函数特征，考查满足条件的实数值是否存在的判断与求法，综合性强，难度大.三、解答题（本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.一微商店对某种产品每天的销售量（x 件）进行为期一个月的数据统计分析，并得出了该月销售量的直方图（一个月按 30 天计算）如图所示.假设用直方图中所得的频率来估计相应事件发生的概率.（1）求频率分布直方图中
20、a 的值；（2）求日销量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）若微商在一天的销售量超过 25 件（包括 25 件），则上级商企会给微商赠送 100 元的礼金，估计该微商在一年内获得的礼金数.【答案】（1）0.02；（2）22.5；（3）10800 元【解析】【分析】（1）由频率分布直方图概率和为 1，列出方程求 a 的值；（2）由频率分布直方图均值计算公式：每个条形图中点的坐标乘高，然后求和为平均值；（3）先根据频率分布直方图计算出日销售量超过 25 件的天数，然后估计一年内获得的礼金数.【详解】（1）由题意可得1 10.010.060.070.0450.025a（2）根据
21、已知频率分布直方图，日销售量的平均值为 12.5 0.01 17.5 0.0622.5 0.0727.5 0.0432.5 0.02522.5.（3）根据频率分布直方图，日销售量超过 25 件（包括 25 件）的天数为 0.040.025 309，可获得的奖励为 900 元，依次可以估计一年内获得的礼金数为900 1210800元.【点睛】本题考查频率分布直方图的概念，平均值的计算方法以及由频率估计整体，属于基础题.18.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PD 平面 ABCD，2PDDCBC，2 2AB，/AB DC，90BCD（1）求证：PCBC；（2）求点 A 与平面 PBC 的距离【答案
22、】（1）证明见解析；（2）2【解析】【分析】（1）由 PD 平面 ABCD，可得 PDBC，结合 BCCD，可证明 BC平面 PCD，进而可证明 PCBC；（2）设点 A 到平面 PBC 的距离为h，由A PBCP ABCVV，得 1133PBCABCShSPD，进而可求出h.【详解】（1）PD 平面 ABCD，BC 平面 ABCD，PDBC，90BCD，BCCD，又 PDCDD，,PD CD 平面 PCD，BC平面 PCD，PC 平面 PBC，PCBC（2）设点 A 到平面 PBC 的距离为h，连结 AC，则A PBCP ABCVV，PD 平面 ABCD，PD 为三棱锥 PABC的高，BCC
23、D，/AB DC，ABBC，则P ABCV 111112 22 222332323ABCSPDAB BC PD，在直角 PDC 中，22222PCPDCD，PCBC，1122222PBCSBC PC，11233A PBCPBCVShh，12 2233h，即2 213232h .所以点 A 到平面 PBC 的距离为 2【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查线面垂直的性质，考查利用等体积法求点面距离，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.19.在锐角三角形 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若334 sinssinsininCBbcaBC（）求角 A 的大小；（）若
24、2 sin2 sin3bBcCbca，求 ABC 面积的最大值【答案】（）3A；（）3 34【解析】【分析】（）利用正弦定理进行边化角，整理得3sin2A，根据角 A 的范围即可确定角 A；（）利用正弦定理用 a、b、c 表示出sin B、sin C 带入所给等式得到关于边的式子，再利用余弦定理表示出cos A，两式联立可求出边 a，a 的值带入式利用基本不等式可求得bc 的范围，从而求得 ABC 面积的最大值.【详解】（）由 334 sinssinsininCBbcaBC及正弦定理得：3sinsin3sinsin4sinsinsinBCCBABC，因为0B，2C，所以sin0B，sin0C，
25、所以3sin2A，又02A，所以3A；（）由正弦定理2sins3insi3nBCbaAca，3sin2bBa，3sin2cCa，由2 sin2 sin3bBcCbca得：3322322bcbcbcaaa，即22233bcaabc，由余弦定理得，222333cos226abcbcaAabcbc，则3162a，解得3a，带入式可得223bcbc，即2232bcbcbc，得3bc，当且仅当bc时，取等号，13 3sin24ABCSbcA，ABC 面积的最大值为 3 34【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、利用基本不等式求三角形中的范围问题，属于中档题.20.已知 M 是抛物线2:4C
26、 yx上一点，F 是抛物线 C 的焦点，4MF （）求直线 MF 的斜率；（）已知动圆 E 的圆心 E 在抛物线 C 上，点2,0D在圆 E 上，且圆 E 与 y 轴交于 A，B 两点，令|DAm，|DBn，求 nmmn最大值【答案】（）3；（）2 2 【解析】【分析】（1）利用点 M 到焦点 F 距离等于到准线的距离解出点 M 的横坐标，继而得到纵坐标，然后计算直线 MF 的斜率；（2）设出动圆的圆心，表示出圆的标准方程，解出圆 E 与 y 的交点坐标，得出 DA 和 DB，然后求其最大值.【详解】（）设00,M xy，|4MF，014x ，03x (3,2 3)M且1,0F，所以直线 MF
27、 的斜率为 2 333 1；（）设圆心2(,)4bEb，圆 E 的方程为222222()()(2)44bbxybb，化解得22222402bxyxbyb，令0 x 得22240ybyb，即220ybyb，所以2yb或2yb，不妨设0,2Ab，0,2Bb 22|4(2)48mDAbbb22|4(2)48nDBbbb，222222248488(4)nmnmbbbbmnmnbb242244421664161622 1646464bbbbbbb2216162 12 12 26482bbbb当且仅当2264bb，即2 2b 时，取“=”，所以 nmmn的最大值为2 2 【点睛】本题考查抛物线的定义、圆的
28、方程及有关线段长度比值的最值问题，题目较难.解答时，抛物线的焦点弦长问题紧扣抛物线定义求解；第二问的解答关键在于写出圆的方程并表示目标式，难点在于利用基本不等式求解 nmmn的最大值.21.已知函数()3()xf xeaxaR（1）若函数 f(x)在(1，f(1)处的切线与直线 x-y=0 平行，求实数 a 的值；（2）当 a=2，k 为整数，且当 x1 时，()()210,xk fxx 求 k 的最大值.【答案】（1）a=e-1（2）2【解析】【分析】（1）先求导，再由(1)1fea 即可得解；（2）当2a，且当1x 时，()2210 xxkex 等价于当1x 时，min212xxkxe，再
29、构造函数21(),(1)2xxg xxxe，利用导数求解即可.【详解】解：（1）由()3xf xeax，则()xfxea，又函数 f(x)在(1，f(1)处的切线与直线 x-y=0 平行，则(1)1fea，所以1ae；（2）当2a，且当1x 时，()2210 xxkex 等价于 当1x 时，min212xxkxe令21(),(1)2xxg xxxe，则223(),(1)2xxxeexg xxe，再令()23(1)xh xexx，则()20 xh xe，所以，()h x 在(1,)上单调递增，且(1)0,(2)0hh，所以，()h x 在(1，2)上有唯一的零点，设该零点为0 x，则0(1,2)
30、x，且0023xex，当01,xx时，()0h x，即()0g x；当0,xx 时，()0h x，即()0g x，所以，()g x 在01,x单调递减，在0,x 单调递增，所以，00min00021()12xxg xg xxxe，而0(1,2)x，故01(2,3)x 且0kg x，又 k 为整数，所以k 的最大值为 2.【点睛】本题考查了导数的几何意义，重点考查了导数的综合应用，属中档题.选考题：请考生在第 22、23 两道题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分 22.在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为cos1 sinxy（为参数），以坐标原点为极点，x 轴的轴为极轴建立
31、极坐标系（）求曲线 C 的极坐标方程；（）设 A，B 为曲线 C 上两点（均不与 O 重合），且满足3AOB，求|OAOB的最大值【答案】（）(2sin0)；（）2 3 【解析】【分析】（）由曲线 C 的参数方程，消去参数得到曲线 C 的普通方程，再由cos,sinxy，即可求得曲线 C 的极坐标方程；（）设1,A ，则2(,)3B ，得到12sin，22sin()3，进而求得12|2 3sin()6OAOB，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】（）由曲线 C 的参数方程为cos1 sinxy（为参数），消去参数，可得曲线 C 的普通方程为22(1)1yx ，即2220 xyy，又由cos,
32、sinxy，可得曲线 C 的极坐标方程为(2sin0).（）设1,A ，则2(,)3B ，故2(0,)3，点,A B 在曲线 C 上，12sin，22sin()3，12|2 sinsin3OAOB 332sincos222 3sin6当3 时，OAOB取到最大值2 3 【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及曲线的极坐标方程的应用，注重考查推理与运算能力.23.已知函数()|1|1|f xxx（）求不等式 8f x 的解集 M；（）若 m 为 M 中的最大元素，正数 a，b 满足 12mab，证明 2142abab 【答案】（）|44xxM ；（）证明见解
33、析【解析】【分析】（1）由题意得 2,12,112,1x xf xxx x ，利用分类讨论法即可求出答案；（2）由题意得 124mab，则42abab，则 212abab 242abab，再根据基本不等式即可证明【详解】（）2,1112,112,1x xf xxxxx x ，由128xx 得 41x ；由1128x 得 11x；由128xx得14x，综上所述，|44xxM （）m 为 M 中的最大元素，124mab，42abab，21222424242222abababababababab（当且仅当2+2b，222a时，或22b，2+22a 时等号成立），即 2142abab 【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式的解法，考查利用基本不等式证明不等式，考查计算能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题
