1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 选修2-2 导数及其应用 第一章 1.1 导 数第2课时 瞬时变化率与导数第一章 课堂典例探究 2课 时 作 业 3课前自主预习 1课前自主预习中国高速铁路，常被简称为“中国高铁”中国是世界上高速铁路发展最快、系统技术最全、集成能力最强、运营里程最长、运营速度最快、在建规模最大的国家同学们，高速列车，风驰电掣，呼啸而过，怎样确定它的瞬时速度？怎样研究它的速度与路程的关系呢？1.在平均变化率的定义中，自变量x在x0处的增量x是否可以为任意实数？y呢？2对于函数f(x)，若x1x2，平均变化率能否表示为fx1fx2x1x2？答案：1.在平均变化
2、率的定义中，增量x可正、可负，但不能等于0；而y可以为任意实数2能若从x1变为x2，平均变化率为fx2fx1x2x1，若从x2变为x1，平均变化率为fx1fx2x1x2，而fx2fx1x2x1fx1fx2x1x2.一、瞬时速度作变速直线运动的物体在不同时刻的速度是不同的，物体在某一时刻的速度叫瞬时速度设物体运动路程与时间的关系是sf(t)，当t趋近于0时，函数f(t)在t0到t0t这段时间内的平均变化率stft0tft0t趋近于常数，我们把这个常数称为t0时刻的瞬时速度对瞬时速度的理解要注意以下两点：(1)在平均变化率 st中，t趋于0是指时间间隔t越来越短，能越过任意小的时间间隔，但始终不能
3、为0.(2)t，s在变化中都趋于0，其比值 st 趋近于一个确定的常数，这时此常数才称为t0时刻的瞬时速度以初速度v0(v00)垂直上抛的物体，t秒时的高度为s(t)v0t12gt2，则物体在t0时刻的瞬时速度为_答案 v0gt0导学号05300030解析 因为sv0(t0t)12g(t0t)2(v0t012gt20)(v0gt0)t12g(t)2，所以stv0gt012gt，所以当t无限趋近于0时，st无限趋近于v0gt0，故物体在时刻t0的瞬时速度为v0gt0.二、瞬时变化率与导数设函数yf(x)在x0附近有定义，当自变量在xx0附近的改变量为x时，函数值相应地改变yf(x0 x)f(x0
4、)如果当x趋近于0时，平均变化率 yx fx0 xfx0 x趋近于一个常数l，那么常数l称为函数f(x)在点x0处的瞬时变化率当x趋近于0时，fx0 xfx0 x趋近于常数l，可以用符号“”(读作“趋近于”)记作：当x0时，fx0 xfx0 xl.上述过程通常也记作limx0fx0 xfx0 xl.函数在点x0处的瞬时变化率通常称为f(x)在xx0处的导数，这时，记作f(x0)，即f(x0)limx0fx0 xfx0 x，也可记作y|xx0.对导数的理解应注意以下几点：(1)导数是研究函数在点x0处及其附近函数值的改变量y与自变量的改变量x之比的极限，它是一个局部性概念，若 limx0yx存在
5、，则函数yf(x)在x0处有导数，否则就没有导数并不是任何一个函数在定义域中的某点处均有导数例如f(x)|x|在x0处不存在导数因为yxf0 xfx0 x|x|x 1，x0，1，x0，所以当x0时，yx的极限不存在，从而在x0处的导数不存在(2)若函数yf(x)在xx0处有导数，则x0时，存在一个常数与fx0 xfx0 x无限地接近如果某物体作运动方程为s2(1t2)的直线运动(s的单位为m，t的单位为s)，那么其在1.2s末的瞬时速度为()A4.8m/s B0.8m/sC0.88m/sD4.8m/s答案 A解析 vlimt0stlimt0211.2t2211.22tlimt0(4.82t)4
6、.8(m/s)导学号05300031三、导函数1如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x都是可导的，则称f(x)在区间(a，b)可导这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f(x)于是，在区间(a，b)内，f(x)构成一个新的函数，这个函数称为yf(x)的导函数，记为f(x)或y(或yx)导函数通常简称为导数注意：“函数f(x)在某一点处的导数”“导函数”“导数”的区别与联系：(1)“函数在某一点处的导数”：就是在该点的函数值的改变量与自变量的改变量的比的极限有，它是一个常数，不是变数(2)导函数也简称导数，“f(x)在一点x0处的导数”与“导函数”是个别与一般的关系(3)函数
7、f(x)在点x0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在点xx0处的函数值f(x0)f(x)|xx0，所以求函数在某一点处的导数，一般是先求出函数的导函数，再计算这点的导函数值2求导数的步骤：由导数的定义知，求函数yf(x)在点x0处的导数的步骤：(1)求函数值的增量yf(x0 x)f(x0)；(2)求平均变化率yxfx0 xfx0 x；(3)取极限，得导数f(x0)limx0yx(或当x0时，yxf(x0)上述求导方法可简记为：一差、二化、三极限已知函数yax2bxc，求y及y|x2.解析 ya(xx)2b(xx)c(ax2bxc)2axxa(x)2bx，yx 2axxax2bxx2axbax
8、，y limx0yx limx0(2axbax)2axb，y|x24ab.导学号05300032课堂典例探究求物体运动的瞬时速度子弹在枪筒中运动可以看作是匀变速运动，如果它的加速度是a5105m/s2，子弹从枪口射出的所用的时间为t01.6103s.求子弹射出枪口时的瞬时速度分析 解决此题的关键是写出运动方程，求出物体的平均速度st，然后取极限导学号05300033解析 运动方程为s12at2.s12a(t0t)212at20at0t12a(t)2，stat012at.limt0stat0.由题意知a5105m/s2，t01.6103s，故at08102800(m/s)，即子弹射出枪口时的瞬时
9、速度为800m/s.方法总结 求物体运动的瞬时速度的步骤(1)由物体运动的位移s与时间t的函数关系式求出位移增量ss(t0t)s(t0)(2)求时间t0到t0t之间的平均速度 vst.(3)求limx0st的值，即得tt0时的瞬时速度以初速度v0(v00)垂直上抛的物体，t秒时的高度为s(t)v0t12gt2，求物体在时刻t01时的瞬时速度解析 sv0t0t12gt0t2 v0t012gt20(v0gt0)t12g(t)2，stv0gt012gt，当t0时，stv0gt0.故物体在时刻t01时的瞬时速度为v0g.t01时，物体的瞬时速度为v0g.导学号05300034求函数在某点处的导数求函数
10、f(x)x2在x1处的导数分析 可利用导数的定义和导函数的函数值法两种方法来解解析 方法一：yf(1x)f(1)(1x)212x(x)2.f(1)limx0yxlimx02xx2xlimx0(2x)2.即f(x)x2在x1处的导数f(1)2.导学号05300035方法二：yf(xx)f(x)(xx)2x22xx(x)2.yx2xxx2x2xx.f(x)limx0yxlimx0(2xx)2x.f(1)2.即f(x)x2在x1处的导数f(1)2.方法总结 求函数在某一点处的导数的思路：(1)直接利用导数定义，但要注意对式子yx的变形和约分，变形不彻底可能导致limx0yx不存在，得出错误结论(2)
11、先求出导函数，再计算该点处的导数值用导数的定义，求函数yf(x)1x在x1处的导数解析 因为yf(1x)f(1)11x11 1x1x 11x1 1x 1x x1 1x 1x，所以yx11 1x 1x.f(1)limx0yx12.导学号05300036导数概念的应用设函数f(x)在点x0处可导，试求下列各式的值.(1)limx0fx0 xfx0 x；(2)limh0fx0hfx0h2h.导学号05300037分析 在导数的定义中，增量x的形式是多种多样的，但不论x选择哪种形式，y也必须选择相对应的形式利用函数f(x)在点x0处可导的条件，可以将已给定的式子恒等变形转化为导数定义的结构形式解析(1
12、)原式limx0fx0 xfx0 x limx0fx0 xfx0 x(x0时，x0)f(x0)(2)原式limh0fx0hfx0fx0fx0h2h12limh0fx0hfx0hlimh0fx0hfx0h12fx0 limh0fx0hfx0h12f(x0)f(x0)f(x0)方法总结 概念是分析解决问题的重要依据，只有熟练掌握概念的本质属性，把握其内涵与外延，才能灵活地应用概念进行解题不能准确分析和把握所给极限式与导数的关系，盲目套用导数的定义是使思维受阻的主要原因，解决这类问题的关键就是恒等变形，使问题转化.设函数f(x)在x0处可导，求下列各式的值(1)limx0fx02xfx0 x；(2)
13、limx0fx0mxfx0 x；(3)limx0fx0 xt fx0 x.导学号05300038解析(1)limx0fx02xfx0 x2limx0fx02xfx02x2f(x0)(2)limx0fx0mxfx0 xmlimx0fx0mxfx0mxmf(x0)(3)limx0fx0 xt fx0 x1t limx0fx0 xt fx01tx1tf(x0).求函数f(x)2x1的导数错解 f(x)limx02xx1 2x1x，分母趋近于0，所以此函数无导数辨析 求导数要与代数式的变形结合起来，利用分子有理化的方法，最终约去分子上的根号导学号05300039正解 f(x)limx02xx1 2x1xlimx02xx12x1x 2xx1 2x1limx022xx1 2x112x1.导数的概念瞬时速度fx在点x0处导数即瞬时变化率导函数课 时 作 业（点此链接）