1、第三章 三角函数、解三角形 第七节正弦定理和余弦定理第三章 三角函数、解三角形 主干知识梳理 一、正弦定理 分类内容定理asin Absin B csin C 2R(R是ABC外接圆的半径)第三章 三角函数、解三角形 变形公式a 2Rsin A，b 2Rsin B，c 2Rsin C，sin Asin Bsin C abc，sin A a2R，sin Bb2R，sin Cc2R 解决的问题已知两角和任一边，求其他两边和另一角，已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角第三章 三角函数、解三角形 二、余弦定理分类内容定理在ABC中，有a2；b2；c2b2c22bccos Aa2c22accos B
2、a2b22abcos C第三章 三角函数、解三角形 变形公式cos A b2c2a22bc；cos B a2c2b22ac；cos C a2b2c22ab 解决的问题已知三边，求各角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角第三章 三角函数、解三角形 三、三角形中常用的面积公式 1S12ah(h 表示边 a 上的高)；2S12bcsin A 12acsin B 12absin C；3S12r(abc)(r 为三角形的内切圆半径)第三章 三角函数、解三角形 基础自测自评1(2013山东高考)ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若 B2A，a1，b 3，则 c()A2 3 B
3、2C.2D1第三章 三角函数、解三角形 B 由正弦定理 asin A bsin B得：1sin A3sin B，又B2A，1sin A3sin 2A32sin Acos A，cos A 32，A30，B60，C90，c 12（3）22.第三章 三角函数、解三角形 2在ABC 中，a 3，b1，c2，则 A 等于()A30B45C60D75C cos Ab2c2a22bc14321212，又0A180，A60.第三章 三角函数、解三角形 3(教材习题改编)在ABC 中，若 a18，b24，A45，则此三角形有()A无解B两解C一解D解的个数不确定B asin A bsin B，sin Bbasi
4、n A2418sin 45，sin B2 23.又aBabsin Asin B.第三章 三角函数、解三角形(2)在ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Absin Aab解的个数一解两解一解一解第三章 三角函数、解三角形 典题导入(2012浙江高考)在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 bsin A 3acos B.(1)求角 B 的大小；(2)若 b3，sin C2sin A，求 a，c 的值利用正弦、余弦定理解三角形第三章 三角函数、解三角形 听课记录(1)由 bsin A 3acos B 及正弦定理asin A bs
5、in B，得 sin B 3cos B，所以 tan B 3，所以 B3.(2)由 sin C2sin A 及 asin Acsin C，得 c2a.由 b3 及余弦定理 b2a2c22accos B，得 9a2c2ac.所以 a 3，c2 3.第三章 三角函数、解三角形 互动探究在本例(2)的条件下，试求角 A 的大小解析 asin A bsin B，sin Aasin Bb3sin3312.A6.第三章 三角函数、解三角形 规律方法1应熟练掌握正、余弦定理及其变形解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷2已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的
6、；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断第三章 三角函数、解三角形 跟踪训练1ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，asin Asin Bbcos2A 2a.(1)求ba；(2)若 c2b2 3a2，求 B.第三章 三角函数、解三角形 解析(1)由正弦定理得，sin2Asin Bsin Bcos2A2sin A，即 sin B(sin2Acos2A)2sin A.故 sin B2sin A，所以ba2.(2)由余弦定理和 c2b2 3a2，得 cos B（1 3）a2c.由(1)知 b22a2，故 c2(2 3)a2
7、.可得 cos2B12，又 cos B0，故 cos B 22，所以 B45.第三章 三角函数、解三角形 典题导入在ABC中a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.(1)求A的大小；(2)若sin Bsin C1，试判断ABC的形状利用正弦、余弦定理判定三角形的形状第三章 三角函数、解三角形 听课记录(1)由已知，根据正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c，即 a2b2c2bc.由余弦定理得 a2b2c22bccos A，故 cos A12，0A180，A120.第三章 三角函数、解三角形(2)由(1)得 sin2Asin2Bsin2C
8、sin Bsin C34.又 sin Bsin C1，解得 sin Bsin C12.0B60，0C60，故 BC，ABC 是等腰的钝角三角形第三章 三角函数、解三角形 规律方法依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；第三章 三角函数、解三角形(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用ABC这个结论注意 在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因
9、式，以免漏解第三章 三角函数、解三角形 跟踪训练2在ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，且 2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.(1)求角 A 的大小；(2)若 sin Bsin C 3，试判断ABC 的形状第三章 三角函数、解三角形 解析(1)由 2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C，得 2a2(2bc)b(2cb)c，即 bcb2c2a2，cos Ab2c2a22bc12，A60.(2)ABC180，BC18060120.第三章 三角函数、解三角形 由 sin Bsin C 3，得 sin Bsin(120B)3.sin Bsin
10、120cos Bcos 120sin B 3.32sin B 32 cos B 3，即 sin(B30)1.第三章 三角函数、解三角形 又0B120，30B30150，B3090，即 B60.ABC60，ABC 为正三角形第三章 三角函数、解三角形 典题导入(2013湖北高考)在ABC 中，角 A，B，C 对应的边分别是 a，b，c.已知 cos 2A3cos(BC)1.(1)求角 A 的大小；(2)若ABC 的面积 S5 3，b5，求 sin Bsin C 的值与三角形面积有关的问题第三章 三角函数、解三角形 听课记录(1)由 cos 2A3cos(BC)1，得 2cos2A3cos A20
11、，即(2cos A1)(cos A2)0，解得 cos A12或 cos A2(舍去)因为 0A，所以 A3.第三章 三角函数、解三角形(2)由 S12bcsin A12bc 32 34 bc5 3，得 bc20.又 b5，知 c4.由余弦定理得 a2b2c22bccos A25162021，故 a 21.又由正弦定理得 sin Bsin Cbasin Acasin Abca2sin2A20213457.第三章 三角函数、解三角形 规律方法1正弦定理和余弦定理并不是孤立的解题时要根据具体题目合理选用，有时还需要交替使用 2在解决三角形问题中，面积公式 S12absin C12bcsin A12
12、acsin B 最常用，因为公式中既有边也有角，容易和正弦定理、余弦定理结合应用第三章 三角函数、解三角形 跟踪训练3(2014哈尔滨质检)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.角 A 为锐角且满足 cos2A3 sin2A6 725.(1)求 cos A 的值；(2)若 a 17，b5，求ABC 的面积第三章 三角函数、解三角形 解析(1)12cos 2A 32 sin 2A 32 sin 2A12cos 2A cos 2A 725，cos 2A2cos2A1 725，所以 cos A35.第三章 三角函数、解三角形(2)由 cos A3525c2172c5，得 c2 或
13、 c4，而 sin A45，所以 SABC4 或 8.第三章 三角函数、解三角形(2014长春模拟)在ABC 中，A3，BC3，AB 6，则C()A.4 或34 B.34C.4D.6【创新探究】忽视三角形中的边角大小关系而致误第三章 三角函数、解三角形【错解】由正弦定理 BCsin A ABsin C，则 sin CABsin ABC 22.C4 或34，选 A.【错因】上述错误在于求出 sin C 22 时，忽视了 BC 与 AB 的大小从而产生多解 第三章 三角函数、解三角形【解析】由正弦定理得 BCsin A ABsin C，则 sin CABsin ABC6sin 33 22，又 BC
14、AB，所以AC，所以C4，选 C.【答案】C【高手支招】利用正弦定理求角时，在求出角的正弦值后，要注意利用“大边对大角，小边对小角”去作出判断第三章 三角函数、解三角形 体验高考1(2013湖南高考)在锐角ABC 中，角 A，B 所对的边长分别为a，b.若 2asin B 3b，则角 A 等于()A.12B.6C.4D.3第三章 三角函数、解三角形 D 由 2asin B 3b 得 2sin Asin B 3sin B，故 sin A 32，故 A3 或23.又 ABC 为锐角三角形，故 A3.第三章 三角函数、解三角形 2(2013陕西高考)设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，
15、b，c，若 bcos Cccos Basin A，则ABC 的形状为()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不确定第三章 三角函数、解三角形 B bcos Cccos Basin A，由正弦定理得 sin Bcos Csin Ccos Bsin2A，sin(BC)sin2A，即 sin Asin2A.又 sin A0，sin A1，A2，故ABC 为直角三角形第三章 三角函数、解三角形 3(2013福建高考)如图，在ABC 中，已知点 D 在 BC 边上，ADAC，sin BAC2 23，AB3 2，AD3，则 BD 的长为_第三章 三角函数、解三角形 解析 ADAC，DAC2.sin BA
16、C2 23，sinBAD2 2 23，cos BAD2 23.第三章 三角函数、解三角形 由余弦定理得 BD2AB2AD22ABADcos BAD(3 2)23223 232 23 3.BD 3.答案 3第三章 三角函数、解三角形 4(理)(2013新课标全国高考)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知abcos Ccsin B.(1)求B；(2)若b2，求ABC面积的最大值第三章 三角函数、解三角形 解析(1)由已知及正弦定理得 sin AsinBcos Csin Csin B 又 A(BC)，故 sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C 由和 C(0，)
17、得 sin Bcos B.又 B(0，)，所以 B4.第三章 三角函数、解三角形(2)ABC 的面积 S12acsin B 24 ac.由已知及余弦定理得 4a2c22accos 4.又 a2c22ac，故 ac42 2，当且仅当 ac 时，等号成立 因此ABC 面积的最大值为 21.第三章 三角函数、解三角形 4(文)(2013重庆高考)在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，且 a2b2c2 3bc.(1)求 A；(2)设 a 3，S 为ABC 的面积，求 S3cos Bcos C 的最大值，并指出此时 B 的值第三章 三角函数、解三角形 解析(1)由余弦定理得 cos Ab2c2a22bc 3bc2bc 32.又 0A，所以 A56.第三章 三角函数、解三角形(2)由(1)得 sin A12，又由正弦定理及 a 3得 S12bcsin A12asin Bsin A asin C3sin Bsin C，因此，S3cos Bcos C3(sin Bsin Ccos Bcos C)3cos(BC)所以，当 BC，即 BA212时，S3cos Bcos C 取最大值 3.第三章 三角函数、解三角形 课时作业