1、第六章 平面向量初步6.1平面向量及其线性运算6.1.1向量的概念素养目标定方向课程标准学法解读1.理解向量的概念，掌握向量的表示方法、记法2了解零向量及单位向量3掌握向量的相等与平行.通过对向量及有关概念的学习，培养学生的数学抽象、直观想象及逻辑推理素养.必备知识探新知知识点向量的定义与表示(1)定义：既有_大小_又有_方向_的量(2)表示方法：几何表示法：用以A为始点，以B为终点作_有向线段_字母表示法：在印刷时，通常用_加粗_的_斜体小写_字母如a，b，c、表示向量，在书写时，可写成_带箭头_的小写字母如，(3)向量的模：向量的大小也称为向量的长度或模，如a，的模分别记作|a|，|思考：
2、(1)定义中的“大小”与“方向”分别描述了向量的哪方面的特性？只描述其中一个方面可以吗？(2)由向量的几何表示方法我们该如何准确地画出向量？提示：(1)向量不仅有大小，而且有方向大小是代数特征，方向是几何特征看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素，二者缺一不可(2)要准确画出向量，应先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的大小确定向量的终点知识点特殊向量 (1)零向量：_始点_和_终点_相同的向量称为零向量，记作0(2)单位向量：长度(或模)为_1_的向量称为单位向量(3)相等向量：大小_相等_且方向_相同_的向量称为相等向量向量a与b相等，记作aB(4)平行向量或
3、共线向量：方向_相同_或_相反_的非零向量称为平行向量，也称为共线向量向量a平行于b，记作aB规定_零_向量平行于任何向量思考：(1)0与0相同吗？0是不是没有方向？(2)若ab，则两向量在大小与方向上有何关系？(3)“向量平行”与“几何中的平行”一样吗？提示：(1)0与0不同，0是一个实数，0是一个向量，且|0|0.0有方向，其方向是任意的(2)若ab，意味着|a|b|，且a与b的方向相同(3)向量平行与几何中的平行不同，向量平行包括基线重合的情况，故也称向量共线关键能力攻重难题型探究题型向量的有关概念典例剖析_典例1给出下列命题：(1)平行向量的方向一定相同；(2)向量的模一定是正数；(3
4、)始点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；(4)若向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一直线上其中正确的序号是_(3)_分析从共线向量、单位向量、相反向量等的概念及特征进行逐一考察，注意各自的特例对命题的影响解析(1)错误两向量方向相同或相反都视为平行向量(2)错误|0|0.(3)正确对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的(4)错误共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量，必须在同一直线上故填(3)规律方法：要充分理解与向量有关的概念，明白它们各自所表示的含义，搞清它们之间的区别是解决与向量概念有关问题的关键对点训练_1给出下列命题：(1)若|
5、a|b|，则ab；(2)两相等向量若其起点相同，则终点也相同；(3)若ab，bc，则ac；(4)若四边形ABCD是平行四边形，则，其中正确命题的序号是_(2)(3)_解析(1)该命题不正确，|a|b|只是说明这两向量的模相等，但其方向未必相同；(2)该命题正确，因两相等向量的模相等，方向相同，故当它们的起点相同时，其终点必重合；(3)该命题正确，由向量相等的定义知，a与b的模相等，b与c的模相等，从而a与c的模相等；又a与b的方向相同，b与c的方向相同，从而a与c的方向也必相同，故ac；(4)该命题不正确，如图所示，显然有，题型相等向量与共线向量典例剖析_典例2如图，四边形ABCD是平行四边形
6、，四边形ABDE是矩形(1)找出与向量相等的向量；(2)找出与向量共线的向量分析(1)找与向量相等的向量，就是找与长度相等且方向相同的向量(2)找与共线的向量，就是找与方向相同或相反的向量解析(1)由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形知，与的长度相等且方向相同，所以与向量相等的向量为，(2)由题图可知，与方向相同，与方向相反，所以与向量共线的向量有，规律方法：1.寻找相等向量的方法：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向且共线的2寻找共线向量的方法：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向或反向的向量3共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是
7、共线向量，但共线向量不一定是相等向量若两向量相等，则两向量方向相同，模相等；若两向量共线，则两向量方向相同或相反对点训练_2如图所示，点O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED、OCFB都是正方形在图中所示的向量中：(1)分别写出与、相等的向量；(2)写出与共线的向量；(3)写出与的模相等的向量；(4)向量与是否相等？解析(1)，(2)与共线的向量为：，(3)|与模相等的向量为：，(4)不相等题型向量的表示与应用典例剖析_典例3(1)如图的方格由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有定点A，点C为小正方形的顶点，且|，画出所有的向量；(2)如图所示，在四边形ABCD中，N，M分
8、别是AD，BC上的点，且.求证：分析(1)根据方向与大小确定终点即可(2)利用向量相等证明四边形ABCD，CNAM为平行四边形，进而得到解析(1)画出所有的向量，如图：(2)因为，所以|，且ABCD，所以四边形ABCD是平行四边形所以|，且DACB又因为与的方向相同，所以同理可证四边形CNAM是平行四边形，所以因为|，|，所以|，DNMB，即与的模相等且方向相同，所以易错警示典例剖析_典例4在ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，设点集SA，B，C，D，O，向量集合T|M，NS，且M，N不重合，则集合T中元素的个数为_12_错解SA，B，C，D，O，S中任意两点连成的有向线段有：，；，；，；，；，共有20个元素辨析求解时，若忽略对相等向量的考虑正解 在上面20个向量中，由平行四边形的性质可知(如图)，共有8对向量相等，即，又集合中元素具有互异性，所以集合T中的元素共有12个