1、1.2直线的方程第一课时直线方程的点斜式填一填1.直线的点斜式与斜截式方程点斜式斜截式已知条件点P0(x0，y0)和斜率k斜率k，直线与y轴的交点为(0，b)方程形式yy0k(xx0)ykxb图示适用条件斜率存在2.直线在y轴上的截距(1)条件：直线的斜截式方程ykxb.(2)结论：b叫做直线ykxb在y轴上的截距.判一判1.直线的点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的任何直线()2直线l的斜率为k，与x轴交点的横坐标为b，则直线方程可表示为ykxb.()3经过点P(x0，y0)的直线有无数条，这无数条直线都可写出点斜式方程()4任何一条直线都可以用方程yy0k(xx0)表示()5斜截式ykx
2、b可以表示斜率存在的直线()6直线y2x1在y轴上的截距为1.()7斜率为0的直线不能用直线的点斜式表示()8直线yk(x2)3必过定点(2,3)()想一想1.直线与y轴交点到原点的距离和直线在y轴上的截距是同一概念吗？提示：不是同一概念，距离非负，而截距可正，可负，可为0.2直线方程的斜截式等同于一次函数的解析式吗？提示：不一定当k0时，ykxb即为一次函数，k0时，yb不是一次函数3求直线的点斜式方程的步骤是什么？提示：斜率不存在时，过点P(x0，y0)的直线与x轴垂直，直线上所有点的横坐标相等，都为x0，故直线方程为xx0.4求直线的斜截式方程的策略是什么？提示：(1)直线的斜截式方程是
3、点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存在，只要点斜式中的点在y轴上，就可以直接用斜截式表示(2)直线的斜截式方程ykxb中只有两个参数，因此要确定直线方程，只需知道参数k，b的值即可(3)利用直线的斜截式求方程务必灵活，如果已知斜率k，只需引入参数b；同理，如果已知截距b，只需引入参数k.思考感悟：练一练1过点P(2,0)，斜率为3的直线方程是()Ay3x2 By3x2Cy3(x2) Dy3(x2)答案：D2直线y2x3的斜率和在y轴上的截距分别等于()A2,2 B3，3C3,2 D2，3答案：D3直线方程为y22x2，则()A直线过点(2，2)，斜率为2B直线过点(2,2)，斜率为2
4、C直线过点(1，2)，斜率为D直线过点(1，2)，斜率为2答案：D4直线l的点斜式方程是y23(x1)，则直线l的斜率是_答案：35经过点(2,1)，且斜率与直线y2x1的斜率相等的直线方程为_答案：2xy30知识点一直线的点斜式方程1经过点(3,2)，倾斜角为60的直线方程是()Ay2(x3) By2(x3)Cy2(x3) Dy2(x3)解析：因为倾斜角为60的直线的斜率为，由点斜式方程可得C正确答案：C2方程yk(x2)表示()A通过点(2,0)的所有直线B通过点(2,0)的所有直线C通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线D通过点(2,0)且除去x轴的所有直线解析：通过点斜式方程，当直线
5、垂直于x轴时，k不存在易知选C.答案：C知识点二直线的斜截式方程3.直线2xy10在y轴上的截距为()A2 B1C D1解析：直线2xy10化为y2x1，则在y轴上的截距为1.故选D.答案：D4已知直线的斜率是2，在y轴上的截距是3，则此直线方程是()A2xy30 B2xy30C2xy30 D2xy30解析：由直线方程的斜截式得方程为y2x3，即2xy30.答案：A综合知识点斜式、斜截式方程的综合应用5.求满足下列条件的直线方程：(1)过点P(4,3)，斜率k3；(2)过点P(3，4)，斜率k3；(3)过点P(5,2)，且与x轴平行；(4)过点P(3,2)，且与y轴平行解析：(1)因为直线过点
6、P(4,3)，斜率k3.所以直线的点斜式方程为y33(x4)，即y3x9.(2)因为直线过点P(3，4)，斜率k3，所以直线的点斜式方程为y43(x3)，即y3x13.(3)直线过点P(5,2)，且与x轴平行，故斜率k0，由直线的点斜式方程得y20(x5)，即y2.(4)直线过点P(3,2)，且与y轴平行，故斜率k不存在，所以直线方程为x3.6已知直线l经过点P(1，2)，在y轴上的截距的取值范围为2,6，求此直线斜率的取值范围解析：方法一设直线l的斜率为k，由于这条直线过点P(1，2)，所以，它的点斜式方程是y(2)kx(1)，可化为斜截式方程是ykxk2，所以直线l在y轴上的截距为k2.由
7、已知得2k26.所以4k8.所以直线l斜率的取值范围为4,8方法二设直线l的斜截式方程为ykxb.由于点P(1，2)在直线l上，所以2k(1)b，即kb2.又因为b2,6，所以k4,8，所以直线l的斜率的取值范围为4,8基础达标一、选择题1经过点A(1,4)且在x轴上的截距为3的直线方程是()Axy30Bxy50Cxy30 Dxy50解析：过点A(1,4)且在x轴上的截距为3的直线的斜率为1.所求的直线方程为y4(x1)，即xy30.答案：C2一直线过点A(0,2)，它的倾斜角等于直线yx的倾斜角的2倍，则这条直线的方程是()Ayx2 Byx2Cyx2 Dyx2解析：因为直线yx的斜率为，所以
8、其倾斜角为30，所以所求直线的倾斜角为60，则斜率k.直线过点A(0,2)，即直线在y轴上的截距为2.由斜截式易得直线的方程为yx2.另解：所求直线斜率为，过点A(0,2)，则点斜式方程为y2(x0)，即yx2.答案：B3已知直线ykxb通过第一、三、四象限，则有()Ak0，b0 Bk0，b0Ck0 Dk0，b0，在y轴上的截距b0，b0时，a0，b0.选项B符合故选B.答案：B5已知三角形的三个顶点A(4,3)，B(1,2)，C(1，3)，则ABC的高CD所在的直线方程是()A5xy20 Bx5y160C5xy80 Dx5y140解析：ABC的高CD与直线AB垂直，故有直线CD的斜率kCD与
9、直线AB的斜率kAB满足kCDkAB1，kAB，所以kCD5.直线CD过点C(1，3)，故其直线方程是y35(x1)整理得5xy20，选A.答案：A6已知直线l1：yx2a与直线l2：y(a22)x2平行，则a的值为()A B1C1 D1解析：直线l1：yx2a与直线l2：y(a22)x2平行，所以a221,22a，解得a1.故选D.答案：D7已知直线l1：yx与直线l2：yx垂直，垂足为H(1，p)，则过点H且斜率为的直线方程为()Ay4x2 By4x2Cy2x2 Dy2x2解析：l1l2，1，m10，所以直线l1的方程为yx.又点H(1，p)在l1上，p12，即H(1，2)又点H(1，2)
10、在l2上，21，n12，所求直线的斜率为4，其方程为y24(x1)，即y4x2，选A.答案：A二、填空题8直线l1的斜率为2，l1l2，直线l2过点(1,1)且与y轴交于点P，则P点坐标为_解析：因为l1l2，且l1的斜率为2，则直线l2的斜率k2，又直线l2过点(1,1)，所以直线l2的方程为y12(x1)，整理得y2x3，令x0，得y3，所以P点坐标为(0,3)答案：(0,3)9经过点(4,1)且倾斜角为直线yx1的倾斜角一半的直线方程为_解析：因为直线yx1的倾斜角为120，所以所求直线的倾斜角为60，斜率k，故所求直线方程为yx41.答案：yx4110已知点A(1,3)，B(5,7)，
11、C(10,12)，则过点A且垂直于BC的直线的方程为_解析：因为kBC1，所以所求直线的斜率为1，又因为直线过点A(1,3)，所以方程为y3(x1)，即yx4.答案：yx411已知ABC在第一象限，若A(1,1)，B(5,1)，A60，B45，则边AB，AC，BC所在直线的方程分别为_解析：AB边的方程为y1；因为AB平行于x轴，且ABC在第一象限，kACtan 60，kBCtan(18045)tan 451，所以直线AC的方程为y1(x1)，即yx1，所以直线BC的方程为y1(x5)，即yx6.答案：y1，yx1，yx612已知直线l的倾斜角为135，直线l1经过点A(3,2)和B(a，1)
12、，且直线l1与直线l垂直，直线l2的方程为yx，且直线l2与直线l1平行，则ab等于_解析：由直线l的倾斜角为135，得直线l的斜率为1.由A(3,2)，B(a，1)得直线l1的斜率为.直线l与l1垂直，(1)1，解得a0.又直线l2的斜率为，l1l2，1，解得b2.因此ab2.答案：2三、解答题13一条直线经过点A(2，3)，并且它的倾斜角等于直线yx的倾斜角的2倍，求这条直线的点斜式方程解析：直线yx的斜率为，它的倾斜角为30，所求直线的倾斜角为60，斜率为.又直线经过点A(2，3)，这条直线的点斜式方程为y3(x2)14求倾斜角是直线yx1的倾斜角的，且分别满足下列条件的直线方程(1)经
13、过点(，1)；(2)在y轴上的截距是5.解析：因为直线yx1的斜率k，所以其倾斜角120.由题意得所求直线的倾斜角130，故所求直线的斜率k1tan 30.(1)因为所求直线经过点(，1)，斜率为，所以所求直线方程是y1(x)，即x3y60.(2)因为所求直线的斜率是，在y轴上的截距为5，所以所求直线的方程为yx5，即x3y150.能力提升15.是否存在过点(5，4)的直线l，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为5？若存在，求直线l的方程解析：假设存在过点(5，4)的直线l，使它与两坐标轴相交且与两坐标轴围成面积为5的三角形显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y4k(x5)分别令y0，x0，可
14、得直线l与x轴的交点为，与y轴的交点为(0,5k4)因为直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为5，所以|5k4|5，所以(5k4)10，即25k230k160(无解)或25k250k160，所以k或k，所以直线l的方程为y4(x5)或y4(x5)可化为8x5y200或2x5y100.16如图，直线l：y2(x1)过定点P(1,2)，求过点P且与直线l所夹的锐角为30的直线l的方程解析：设直线l的倾斜角为，由直线l的方程：y2(x1)知直线l的斜率为，则倾斜角为60.当90时满足l与l所夹的锐角为30，此时直线l的方程为x1.当30时也满足l与l所夹的锐角为30，此时直线l的斜率为，由直线方程的点斜式得l的方程为y2(x1)，即xy210.综上所述，所求l的方程为x1或xy210.