1、圆锥曲线二级结论在解题中的应用圆锥曲线结论问题的提出圆锥曲线有许多形式结构相当漂亮的结论，对每一种性质给出一个例题与相应的反思题，列举如下：1焦点三角形的面积、离心率(1)设P点是椭圆1(ab0)上异于长轴端点的任一点，F1、F2为其焦点，记F1PF2，则|PF1|PF2|；SPF1F2b2tan ；e.(2)设P点是双曲线1(a0，b0)上异于实轴端点的任一点，F1，F2为其焦点，记F1PF2，则|PF1|PF2|；SPF1F2；e.2中心弦的性质设A，B为圆锥曲线关于原点对称的两点，点P是曲线上与A，B不重合的任意一点，则kAPkBPe21.3中点弦的性质设圆锥曲线以M(x0，y0)(y0
2、0)为中点的弦AB所在的直线的斜率为k.(1)若圆锥曲线为椭圆1(ab0)，则kAB，kABkOMe21.(2)若圆锥曲线为双曲线1(a0，b0)，则kAB，kABkOMe21.(3)若圆锥曲线为抛物线y22px(p0)，则kAB.4焦点弦的性质(1)过椭圆1(ab0)的右焦点F且倾斜角为(90)的直线交椭圆于A，B两点，且|，则椭圆的离心率等于.(2)过双曲线1(a0，b0)的右焦点F且倾斜角为(90)的直线交双曲线右支于A，B两点，且|，则双曲线的离心率等于|.(3)过抛物线y22px(p0)的焦点F倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，则两焦半径长为，|AB|，SAOB.圆锥曲线性质例题讲
3、述题型一 焦点三角形【例1】 在椭圆1上，PF1F2为焦点三角形，如图所示(1)若60，则PF1F2的面积是_；(2)若45，75，则椭圆离心率e_答案(1)3(2)解析(1)由焦点三角形公式，得SPF1F2b2tan ，即SPF1F23.(2) 由公式e.题后反思(1)若30，则PF1F2的面积是_；(2)若15，30，则椭圆离心率e_题型二中心弦的性质【例2】 设椭圆1(ab0)的左，右顶点分别为A，B，点P在椭圆上异于A，B两点，若AP与BP的斜率之积为，则椭圆的离心率为_答案解析kAPkBP，e21，e2，e.题后反思 设椭圆1(ab0)的左，右顶点分别为A，B，点P在椭圆上异于A，B
4、两点，若AP与BP的斜率之积为9，则椭圆的离心率为_题型三中点弦的性质【例3】 已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为M(12，15)，则E的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案B解析由题意可知kAB1，kMO，由双曲线中点弦中的斜率规律得kMOkAB，即，又9a2b2，联立解得a24，b25，故双曲线的方程为1.题后反思（1） 已知双曲线E的中心为原点，F(6，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为M(6，20)，则E的方程为 . （2）已知椭圆E的中心为原点，F(6，0)是E的焦点，过F的直线l与E
5、相交于A，B两点，且AB的中点为M(2，10)，则E的方程为 .题型四焦点弦的性质【例4】 已知椭圆1(ab0)的离心率为e，经过右焦点且斜率为k(k0)的直线交椭圆于A，B两点，已知3，则k()A1 B. C. D2答案B解析3，e，由规律得cos ，cos ，ktan .题后反思 （1）设F为抛物线C：y216x的焦点，过F且倾斜角为60的直线交C于A、B两点，O为坐标原点，则AOB的面积为 。（2）设F为椭圆的焦点，过F且倾斜角为60的直线交C于A、B两点，O为坐标原点，则AOB的面积为 。最新模拟快递(2021广州调研)已知椭圆：1(ab0)的长轴是短轴的2倍，过右焦点F且斜率为k(k
6、0)的直线与相交于A，B两点，且3，则k()A1 B2 C. D.答案D解析依题意a2b，e，又3，由e得，|cos |，又k0，得cos ，ktan .高考题(全国卷)设F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点，O是坐标原点过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|OP|，则C的离心率为()A. B2 C. D.答案C解析不妨设一条渐近线的方程为yx，则F2到yx的距离等于b，在RtF2PO中，|F2O|c，所以|PO|a，所以|PF1|a，又|F1O|c，所以在F1PO与RtF2PO中，根据余弦定理得cosPOF1cosPOF2，即3a2c2(a)20，得3a2c2，所以e.
