1、第二章2.32.3.2作业1A级基础巩固一、选择题1过抛物线y22px(p0)的焦点且垂直于x轴的弦为AB，O为抛物线顶点，则AOB的大小(C)A小于90 B等于90C大于90D不能确定解析过抛物线焦点且垂直于x轴的弦AB为通径，其长度为2p，又顶点到通径的距离为，由三角函数知识可知，AOB大于90.2若AB为抛物线y24x的弦，且A(x1,4)、B(x2,2)，则|AB|(B)A13BC6 D4解析代入点A，B可得x14，x21，由两点间距离公式得|AB|.3若抛物线y2x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为(B)A(，)B(，)C(，)D(，)解析设焦点为F，原点为O，P
2、(x0，y0)，由条件及抛物线的定义知，|PF|PO|，又F(，0)，x0，y，y0，故选B4(2019全国卷理，8)若抛物线y22px(p0)的焦点是椭圆1的一个焦点，则p(D)A2B3C4D8解析抛物线y22px(p0)的焦点坐标为，椭圆1的焦点坐标为.由题意得，解得p0(舍去)或p8.故选D5(2020全国卷理，4)已知A为抛物线C：y22px(p0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p(C)A2B3C6D9解析因为点A到y轴的距离为9，所以可设点A(9，yA)，所以y18p.又点A到焦点的距离为12，所以12，所以218p122，即p236p2520，解得p42(
3、舍去)或p6.故选C6过抛物线x24y的焦点F作直线，交抛物线于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若y1y26，则|P1P2|_(C)A5B6C8D10解析抛物线x24y的准线方程为y1，因为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点是过抛物线焦点的直线与抛物线的交点，所以P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点到准线的距离分别是y11，y21，所以由抛物线的定义，知|P1P2|P1F|P2F|y11y21y1y228，故选C二、填空题7过点M(3,2)作直线l与抛物线y28x只有一个交点，这样的直线共有_1_条解析点M(3,2)在抛物线内部，过点M平行于x轴的直线y2与抛物线y2
4、8x只有一个交点8(2018北京文，10)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴，若l被抛物线y24ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_(1,0)_.解析由题知直线l的方程为x1，则直线与抛物线的交点为(1，2)(a0)又直线被抛物线截得的线段长为4，所以44，即a1.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)三、解答题9如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F作一条倾斜角为的直线与抛物线相交于A，B两点(1)用p表示|AB|；(2)若3，求这个抛物线的方程解析(1)抛物线的焦点为F(，0)，过点F且倾斜角为的直线方程是yx.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，得x23px0，x1x23p，
5、|AB|x1x2p4p.(2)由(1)知x1x2，x1x23p，y1y2(x1)(x2)x1x2(x1x2)p2，x1x2y1y2p23，解得p24，p2.这个抛物线的方程为y24x.B级素养提升一、选择题1直线ykx2交抛物线y28x于A、B两点，若AB中点的横坐标为2，则k(C)A2或2B1C2D3解析由，得k2x24(k2)x40，则4，即k2.2已知点F是抛物线y24x的焦点，M、N是该抛物线上两点，|MF|NF|6，则MN中点的横坐标为(B)AB2CD3解析F是抛物线y24x的焦点，F(1,0)，准线方程x1，设M(xM，yM)、N(xN，yN)，|MF|NF|xM1xN16，解得x
6、MxN4，MN中点的横坐标为2.3(多选题)已知过抛物线y26x焦点的弦长为12，则该弦所在直线的倾斜角可以是(BD)ABCD解析解法一：抛物线y26x，2p6，即焦点坐标F.当直线倾斜角为时，即直线为x，此时弦长为26912，故直线斜率存在设所求直线方程为yk，与抛物线y26x消去y，得k2x2(3k26)xk20.设直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2.直线过抛物线y26x焦点，弦长为12，x1x2312，x1x29，即9，解得k21，ktan1，0，)，或.解法二：弦长|AB|(为直线AB的倾斜角)，12，sin2，sin，0，)，或.4(多选题)设抛物线y22x的
7、焦点为F，互相垂直的两条直线过F，与抛物线相交所得的弦分别为AB，CD，则|AB|CD|的值不可能是(BCD)A16B8C4D2解析设AB倾斜角为，则|AB|，因为AB，CD垂直，所以|CD|，因此|AB|CD|16，选BCD二、填空题5(2019北京文，11)设抛物线y24x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为_(x1)2y24_.解析 抛物线y24x的焦点F的坐标为(1,0)，准线l为直线x1， 圆的圆心坐标为(1,0)又 圆与l相切， 圆心到l的距离为圆的半径， r2. 圆的方程为(x1)2y24.6P为抛物线yx2上一动点，直线l：yx1，则点P到直线l距离的最小
8、值为_.解析设P(x0，x)为抛物线上的点，则P到直线yx1的距离d.当x0时，dmin.三、解答题7(2018全国文，20)设抛物线C：y24x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程解析(1)解：由题意得F(1,0)，l的方程为yk(x1)(k0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，得k2x2(2k24)xk20.16k2160，故x1x2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21).由题设知8，解得k1(舍去)，k1.因此l的方程为yx1.(2)解：由(1)得AB的中点坐标为(3,2)
9、，所以AB的垂直平分线方程为y2(x3)，即yx5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则解得或因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144.8(2020中山一中检测)在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y24x相交于不同的A，B两点(1)如果直线l过抛物线的焦点，求的值；(2)如果4，证明：直线l必过一定点，并求出该定点解析(1)由题意：抛物线焦点为(1,0)，设l：xty1，代入抛物线y24x，消去x，整理得：y24ty40，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24t，y1y24.x1x2y1y2(ty11)(ty21)y1y2(t21)y1y2t
10、(y1y2)14t24t2143.(2)设l：xtyb，代入抛物线y24x，消去x，整理得：y24ty4b0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24t，y1y24b.x1x2y1y2(ty1b)(ty2b)y1y2(t21)y1y2bt(y1y2)b24tb24bt2b24bb24b，令b24b4，解出b2直线l过定点(2,0)若4，则直线l必过一定点(2,0)作业2A级基础巩固一、选择题1焦点在x轴，且焦点到准线的距离为2的抛物线方程为(D)Ay22xBy24xCy22xDy24x解析根据焦点到准线的距离为2，可得p2,2p4，结合抛物线焦点所在轴以及开口方向，即可求得抛物线的方
11、程为y24x，选D2在平面直角坐标系内，到点(1,1)和直线x2y3的距离相等的点的轨迹是(A)A直线B抛物线C圆D双曲线解析点(1,1)在直线x2y3上，故所求点的轨迹是过点(1,1)且与直线x2y3垂直的直线3(2020福州市八县协作校期末联考)已知A是抛物线y22px(p0)上一点，F是抛物线的焦点，O为坐标原点，当|AF|4时，OFA120，则抛物线的准线方程是(A)Ax1Bx3Cx1或x3Dy1解析由题意BFAOFA9030，过A作准线的垂直AC，过F作AC的垂线，垂足分别为C，BA点到准线的距离为：d|AB|BC|p24，解得p2，则抛物线的准线方程是x1.故选A4ABC中，A(5
12、,0)、B(5,0)，点C在双曲线1上，则(D)ABCD解析在ABC中，sinA，sinB，sinC.又|BC|AC|8，.5设F为双曲线1的左焦点，在x轴上F点的右侧有一点A，以FA为直径的圆与双曲线左、右两支在x轴上方的交点分别为M、N，则的值为(D)ABCD解析对点A特殊化，不妨设点A为双曲线的右焦点，依题意得F(5,0)，A(5,0)，|FN|NA|8，|FM|NA|，所以|FN|FM|8，选D6(2019全国卷理，10)已知椭圆C的焦点为F1(1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点若|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，则C的方程为(B)Ay21B1C1D1解析
13、设椭圆的标准方程为1(ab0)由椭圆的定义可得|AF1|AB|BF1|4a.|AB|BF1|，|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|AF2|，|AF1|3|AF2|4a.又|AF1|AF2|2a，|AF1|AF2|a，点A是椭圆的短轴端点，如图不妨设A(0，b)，由F2(1,0)，2，得B.由点B在椭圆上，得1，得a23，b2a2c22.椭圆C的方程为1.故选B二、填空题7已知动圆M与直线y2相切，且与定圆C：x2(y3)21外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_x212y_.解析设动圆圆心为M(x，y)，则由题意可得M到C(0，3)的距离与到直线y3的距离相等由抛物线的定义可知动圆圆心M的轨迹是
14、以C(0，3)为焦点，以y3为准线的抛物线，其方程为x212y.8已知点F为抛物线y28x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，A在抛物线上，且|AF|4，则|PA|PO|的最小值是_2_.解析由|AF|4及抛物线定义得A到准线的距离为4.A点横坐标为2，A(2,4). 又原点关于准线的对称点的坐标为B(4,0)，所以|PA|PO|的最小值为：|AB|2.三、解答题9已知椭圆C的两焦点分别为F1(2，0)、F2(2，0)，长轴长为6.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知过点(0,2)且斜率为1的直线交椭圆C于A、B两点，求线段AB的长解析(1)由F1(2，0)、F2(2，0)，长轴长为6
15、，得：c2，a3，所以b1.椭圆方程为y21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)可知椭圆方程为y21，直线AB的方程为yx2把代入得化简并整理得10x236x270x1x2，x1x2，又|AB|.B级素养提升一、选择题1椭圆1的一条弦被A(4,2)平分，那么这条弦所在的直线方程是(D)Ax2y0B2xy100C2xy20Dx2y80解析设弦的两个端点M(x1，y1)，N(x2，y2)则有，两式相减得0，整理得，即弦所在直线的斜率为k，利用点斜式方程求得y2(x4)，整理得x2y80，故选D2抛物线x24y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为(D)A2B3C4D5解
16、析解法一：y4，x24y16，x4，A(4,4)，焦点坐标为(0,1)，所求距离为5.解法二：抛物线的准线为y1，A到准线的距离为5，又A到准线的距离与A到焦点的距离相等距离为5.3(多选题)已知斜率为的直线l经过抛物线C：y22px(p0)的焦点F，与抛物线C交于点A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AB|8，则以下结论正确的是(BCD)A1B|AF|6C|BD|2|BF|DF为AD中点解析解法一：如图，F，直线l的斜率为，则直线l方程为y，联立得12x220px3p20.解得xA，xB.由|AB|AF|BF|xAxBp8，得p3.所以抛物线方程为y26x.则|AF|x
17、A2p6，故B正确；所以|BF|2，|BD|4，|BD|2|BF|，故C正确；所以|AF|DF|6，则F为AD中点故D正确；，故A错误解法二：设直线AB的倾斜角为，则.利用抛物线的焦点弦的性质，由|AB|8，则p3，|AF|6，|BF|2，在RtDBM中，cos，所以|BD|4，因此F为AD中点故选BCD4(多选题)已知抛物线C：y24x的焦点为F、准线为l，过点F的直线与抛物线交于两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，点P在l上的射影为P1，则(ABC)A若x1x26，则|PQ|8B以PQ为直径的圆与准线l相切C设M(0,1)，则|PM|PP1|D过点M(0,1)与抛物线C有且仅有一个公共
18、点的直线至多有2条解析对于选项A，因为p2，所以x1x22|PQ|，则|PQ|8，故A正确；对于选项B，设N为PQ中点，设点N在l上的射影为N1，点Q在l上的射影为Q1，则由梯形性质可得|NN1|，故B正确；对于选项C，因为F(1,0)，所以|PM|PP1|PM|PF|MF|，故C正确；对于选项D，显然直线x0，y1与抛物线只有一个公共点，设过M的直线为ykx1，联立可得k2x2(2k4)x10，令0，则k1，所以直线yx1与抛物线也只有一个公共点，此时有三条直线符合题意，故D错误；故选ABC二、填空题5顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线，截直线2xy10所得弦长为，则抛物线方程为_y212x或
19、y24x_.解析设所求抛物线方程为y2ax(a0)直线变形为y2x1设抛物线截直线所得弦长为d消y得(2x1)2ax整理得4x2(4a)x10d解得a12或a4所求抛物线方程为y212x或y24x.6若抛物线y22px的焦点坐标为(1,0)，则准线方程为_x1_.解析本题主要考查对抛物线标准方程的理解和应用因为抛物线y22px的焦点坐标为，准线方程为x，所以p2，准线方程为x1.三、解答题7(2019全国卷理，19)已知抛物线C：y23x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|BF|4，求l的方程；(2)若3，求|AB|.解析设直线l：yxt，A(x1，
20、y1)，B(x2，y2)(1)由题设得F，故|AF|BF|x1x2.又|AF|BF|4，所以x1x2.由，可得9x212(t1)x4t20，则x1x2.从而，得t.所以l的方程为yx.(2)由3可得y13y2.由，可得y22y2t0，所以y1y22，从而3y2y22，故y21，y13.代入C的方程得x13，x2.故|AB|.8设椭圆C：1(ab0)过点(0,4)，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标解析(1)将点(0,4)代入椭圆C的方程，得1，b4，又e，则，1，a5，椭圆C的方程为1.(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y(x3)，设直线与椭圆C的交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，将直线方程y(x3)代入椭圆方程得1，即x23x80，由韦达定理得x1x23，所以线段AB中点的横坐标为，纵坐标为(3)，即所截线段的中点坐标为(，)