1、一元二次方程及其应用 一、选择题 1.（2018山东菏泽3 分）关于 x 的一元二次方程（k+1）x22x+1=0 有两个实数根，则 k 的取值范围是（）Ak0 Bk0 Ck0 且 k1 Dk0 且 k1【考点】AA：根的判别式；A1：一元二次方程的定义【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到 k+10 且=（2）24（k+1）0，然后求出两个不等式的公共部分即可【解答】解：根据题意得 k+10 且=（2）24（k+1）0，解得 k0 且 k1 故选：D【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根与=b24ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的实
2、数根；当=0 时，方程有两个相等的实数根；当0 时，方程无实数根 2.（2018江苏盐城3 分）已知一元二次方程 有一个根为 1，则的值为（）A.-2 B.2 C.-4 D.4 8.【答案】B 【考点】一元二次方程的根 【解析】【解答】解：把 x=1 代入方程可得 1+k-3=0，解得 k=2。故答案为：B【分析】将 x=1 代入原方程可得关于 k 的一元一次方程，解之即可得 k 的值。3（2018山西3 分）用配方法将二次函 数 y x2 8x 9 化为 y ax h2 k 的形式为（）A.y x 42 7 B.y x 42 25 C.y x 42 7 D.y x 42 25【答案】B【考点
3、】二 次 函 数 的 顶 点 式 【解析】y x2 8x 9 x2 8x 16 16 9 x 42 25 4 （2018山西3 分）下列一元二次方程 中，没有实数根的是（）A.x2 2x 0 B.x2 4x 1 0 C.2x2 4x 3 0 D.3x2 5x 2 【答案】C【考点】一 元 二 次 方 程 根 的 判 别 式【解析】0，有 两 个 不 相 等 的 实 数 根，=0，有 两 个 相 等 的 实 数 根，0，没 有 实 数 根.A.=4 B.=20 C.=-8 D.=1 5.（2018山东临沂3 分）一元二次方程 y2y=0 配方后可化为（）A（y+）2=1 B（y）2=1 C（y+
4、）2=D（y）2=【分析】根据配方法即可求出答案【解答】解：y2y=0 y2y=y2y+=1（y）2=1 故选：B【点评】本题考查一元二次方程的配方法，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型 6.（2018安徽4 分）若关于的一元二次方程 x(x+1)+ax=0 有两个相等的实数根，则实数 a 的值为（）A.B.1 C.D.【答案】A【解析】【分析】整理成一般式后，根据方程有两个相等的实数根，可得=0，得到关于 a 的方程，解方程即可得.【详解】x(x+1)+ax=0，x2+(a+1)x=0，由方程有两个相等的实数根，可得=（a+1）2-410=0，解得：a1=a2=-1，故选 A.【点
5、睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根 7.（2018甘肃白银，定西，武威3 分）关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】关于的一元二次方程有两个实数根，得解不等式即可.【解答】关于的一元二次方程有两个实数根，得 解得：故选 C.【点评】考查一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根.当时，方程有两个相等的实数根.当时，方程没有实数根.8.（2018安徽4 分）据省统计局发布，2017 年我省有效发明专利数比 2016 年增长 22
6、.1%假定 2018 年的平均增长率保持不变，2016 年和 2018 年我省有效发明专利分别为 a 万件和 b 万件，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意可知 2017 年我省有效发明专利数为（1+22.1%）a 万件，2018 年我省有效发明专利数为（1+22.1%）（1+22.1%）a，由此即可得.【详解】由题意得：2017 年我省有效发明专利数为（1+22.1%）a 万件，2018 年我省有效发明专利数为（1+22.1%）（1+22.1%）a 万件，即 b=（1+22.1%）2a 万件，故选 B.【点睛】本题考查了增长率问题，弄清题意，找到各量之间的数量关系是解题的
7、关键.9.（2018 年江苏省泰州市3 分）已知 x1、x2是关于 x 的方程 x2ax2=0 的两根，下列结论一定正确的是（）Ax1x2 Bx1+x20 Cx1x20 Dx10，x20【分析】A、根据方程的系数结合根的判别式，可得出0，由此即可得出 x1x2，结论 A 正确；B、根据根与系数的关系可得出 x1+x2=a，结合 a 的值不确定，可得出 B 结论不一定正确；C、根据根与系数的关系可得出 x1x2=2，结论 C 错误；D、由 x1x2=2，可得出 x10，x20，结论 D 错误 综上即可得出结论【解答】解：A=（a）241（2）=a2+80，x1x2，结论 A 正确；B、x1、x2
8、是关于 x 的方程 x2ax2=0 的两根，x1+x2=a，a 的值不确定，B 结论不一定正确；C、x1、x2是关于 x 的方程 x2ax2=0 的两根，x1x2=2，结论 C 错误；D、x1x2=2，x10，x20，结论 D 错误 故选：A【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当0 时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键 10.（2018四川宜宾3 分）某市从 2017 年开始大力发展“竹文化”旅游产业据统计，该市 2017 年“竹文化”旅游收入约为 2 亿元预计 2019“竹文化”旅游收入达到 2.88 亿元，据此估计该市 2018 年、2019年“竹文化”旅游收入的年
9、平均增长率约为（）A2%B4.4%C20%D44%【考点】AD：一元二次方程的应用【分析】设该市 2018 年、2019 年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为 x，根据 2017 年及 2019 年“竹文化”旅游收入总额，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论【解答】解：设该市 2018 年、2019 年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为 x，根据题意得：2（1+x）2=2.88，解得：x1=0.2=20%，x2=2.2（不合题意，舍去）答：该市 2018 年、2019 年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为 20%故选：C【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系
10、，正确列出一元二次方程是解题的关键 11.（2018四川宜宾3 分）一元二次方程 x22x=0 的两根分别为 x1和 x2，则 x1x2为（）A2 B1 C2 D0【考点】AB：根与系数的关系【分析】根据根与系数的关系可得出 x1x2=0，此题得解【解答】解：一元二次方程 x22x=0 的两根分别为 x1和 x2，x1x2=0 故选：D【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于是解题的关键 12.（2018台湾分）若一元二次方程式 x28x311=0 的两根为 a、b，且 ab，则 a2b 之值为何？（）A25 B19 C5 D17【分析】先利用因式分解法解方程得到 a=11，b=3，
11、然后计算代数式 a2b 的值【解答】解：（x11）（x+3）=0，x11=0 或 x3=0，所以 x1=11，x2=3，即 a=11，b=3，所以 a2b=112（3）=11+6=17 故选：D【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为 0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为 0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）13.（2018广东3 分）关于 x 的一元二次方程 x23x+m=0 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围是（
12、）Am Bm Cm Dm【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于 m 的不等式，求出 m 的取值范围即可【解答】解：关于 x 的一元二次方程 x23x+m=0 有两个不相等的实数根，=b24ac=（3）241m0，m 故选：A【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根 14.（2018广西桂林3 分）已知关于 x 的一元二次方程有两个相等的实根，则 k 的值为（）A.B.C.2 或 3 D.或【答案】A【解析】分析：根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于 k 的
13、一元一次方程，解之即可得出结论 详解：方程有两个相等的实根，=k2-423=k2-24=0，解得：k=故选：A 点睛：本题考查了根的判别式，熟练掌握“当=0 时，方程有两个相等的两个实数根”是解题的关键 15.(2018 四川省绵阳市)在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯 55 次，则参加酒会的人数为（）A.9 人 B.10 人 C.11 人 D.12 人【答案】C 【考点】一元二次方程的应用 【解析】【解答】解：设参加酒会的人数为 x 人，依题可得：x（x-1）=55，化简得：x2-x-110=0，解得：x1=11，x2=-10（舍去），故答案为：C.【分析】设参加酒会的人数为 x
14、 人，根据每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯 55 次，列出一元二次方程，解之即可得出答案.16.(2018 四川省眉山市 2 分)我市某楼盘准备以每平方 6000 元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方 4860 元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（）。A.8%B.9%C.10%D.11%【答案】C 【考点】一元二次方程的实际应用-百分率问题 【解析】【解答】解：设平均每次下调的百分率是 x,依题可得：6000（1-x）2=4860，（1-x）2=0.81，1-x=0.9,x1=0.1,
15、x2=1.9（舍）,故答案为:C.【分析】设平均每次下调的百分率是 x,根据题意可列一元二次方程，解之即可得出答案.17（2018 四川省泸州市 3 分）已知关于 x 的一元二次方程 x22x+k1=0 有两个不相等的实数根，则实数 k的取值范围是（）Ak2 Bk0 Ck2 Dk0【分析】利用判别式的意义得到=（2）24（k1）0，然后解不等式即可【解答】解：根据题意得=（2）24（k1）0，解得 k2 故选：C【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根与=b24ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的实数根；当=0 时，方程有两个相等的实数根；当0 时
16、，方程无实数根 18.(2018 四川省眉山市 2 分)若 ，是一元二次方程 3x2+2x9=0 的两根，则+的值是（）。A.B.C.D.【答案】C 【考点】一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【解答】解：，是一元二次方程 3x2+2x9=0 的两根，+=-，=-=-3，+=.故答案为:C.【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出 +=-，=-=-3，再将原式通分变形，代入数值即可得出答案.19.（2018山东泰安3 分）一元二次方程（x+1）（x3）=2x5 根的情况是（）A无实数根 B有一个正根，一个负根 C有两个正根，且都小于 3 D有两个正根，且有一根大于 3【分析】直接整理原方程
17、，进而解方程得出 x 的值【解答】解：（x+1）（x3）=2x5 整理得：x22x3=2x5，则 x24x+2=0，（x2）2=2，解得：x1=2+3，x2=2，故有两个正根，且有一根大于 3 故选：D【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法，正确解方程是解题关键 20.（2018河南3 分）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（）A.x2+6x+9=0 B.x2=x C.x2+3=2x D.(x-1)2+1=0 21.（2018山东潍坊3 分）已知关于 x 的一元二次方程 mx2（m+2）x+=0 有两个不相等的实数根 x1，x2若+=4m，则 m 的值是（）A2 B1 C2 或1 D
18、不存在【分析】先由二次项系数非零及根的判别式0，得出关于 m 的不等式组，解之得出 m 的取值范围，再根据根与系数的关系可得出 x1+x2=，x1x2=，结合+=4m，即可求出 m 的值【解答】解：关于 x 的一元二次方程 mx2（m+2）x+=0 有两个不相等的实数根 x1、x2，解得：m1 且 m0 x1、x2是方程 mx2（m+2）x+=0 的两个实数根，x1+x2=，x1x2=，+=4m，=4m，m=2 或1，m1，m=2 故选：A【点评】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据二次项系数非零及根的判别式0，找出关于 m 的不等式组；（2）牢
19、记两根之和等于、两根之积等于 二.填空题(要求同上一.)1（2018 年四川省南充市）若 2n（n0）是关于 x 的方程 x22mx+2n=0 的根，则 mn 的值为 【考点】A3：一元二次方程的解【分析】根据一元二次方程的解的定义，把 x=2n 代入方程得到 x22mx+2n=0，然后把等式两边除以 n 即可【解答】解：2n（n0）是关于 x 的方程 x22mx+2n=0 的根，4n24mn+2n=0，4n4m+2=0，mn=故答案是：【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解 2（2018 年四川省内江市）已知关于 x 的方程 ax2+b
20、x+1=0 的两根为 x1=1，x2=2，则方程 a（x+1）2+b（x+1）+1=0 的两根之和为 1 【考点】AB：根与系数的关系；A9：换元法解一元二次方程【分析】利用整体的思想以及根与系数的关系即可求出答案【解答】解：设 x+1=t，方程 a（x+1）2+b（x+1）+1=0 的两根分别是 x3，x4，at2+bt+1=0，由题意可知：t1=1，t2=2，t1+t2=3，x3+x4+2=3 故答案为：1【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型 3（2018 四川省泸州市 3 分）已知 x1，x2是一元二次方程 x22x1=0 的两实数根，则的
21、值是 6 【分析】根据根与系数的关系及一元二次方程的解可得出 x1+x2=2、x1x2=1、=2x1+1、=2x2+1，将其代入=中即可得出结论【解答】解：x1、x2是一元二次方程 x22x1=0 的两实数根，x1+x2=2，x1x2=1，=2x1+1，=2x2+1，=+=6 故答案为：6【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方 程的解，将代数式变形为是解题的关键 4（2018 年四川省内江市）关于 x 的一元二次方程 x2+4xk=0 有实数根，则 k 的取值范围是 k4 【考点】AA：根的判别式【分析】根据方程的系数结合根的判别式0，即可得出关于 k 的一元一次不等式，解之即可得出结
22、论【解答】解：关于 x 的一元二次方程 x2+4xk=0 有实数根，=4241（k）=16+4k0，解得：k4 故答案为：k4【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当0 时，方程有实数根”是解题的关键 5.（2018湖南省常德3 分）若关于 x 的一元二次方程 2x2+bx+3=0 有两个不相等的实数根，则 b 的值可能是 6（只写一个）【分析】根据方程的系数结合根的判别式0，即可得出关于 b 的一元二次不等式，解之即可得出 b 的取值范围，取其内的任意一值即可得出结论【解答】解：关于 x 的一元二次方程 2x2+bx+3=0 有两个不相等的实数根，=b24230，解得：b2或 b2 故答案可以
23、为：6【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当0 时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键 6.（2018山东威海3 分）关于 x 的一元二次方程（m5）x2+2x+2=0 有实根，则 m 的最大整数解是 m=4 【分析】若一元二次方程有实根，则根的判别式=b24ac0，建立关于 m 的不等式，求出 m 的取值范围还要注意二次项系数不为 0【解答】解：关于 x 的一元二次方程（m5）x2+2x+2=0 有实根，=48（m5）0，且 m50，解得 m5.5，且 m5，则 m 的最大整数解是 m=4 故答案为：m=4【点评】考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有
24、两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根 7.（2018四川自贡4 分）若函数 y=x2+2xm 的图象与 x 轴有且只有一个交点，则 m 的值为 1 【分析】由抛物线与 x 轴只有一个交点，即可得出关于 m 的一元一次方程，解之即可得出 m 的值【解答】解：函数 y=x2+2xm 的图象与 x 轴有且只有一个交点，=2241（m）=0，解得：m=1 故答案为：1【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点，牢记“当=b24ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点”是解题的关键 8.（2018江苏扬州3 分）若 m 是方程 2x23x1=0 的一个根，则 6
25、m29m+2015 的值为 2018 【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案【解答】解：由题意可知：2m23m1=0，2m23m=1 原式=3（2m23m）+2015=2018 故答案为：2018【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型 9.（2018江苏扬州3 分）关于 x 的方程 mx22x+3=0 有两个不相等的实数根，那么 m 的取值范围是 m且 m0 【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得=412m0 且 m0，求出 m 的取值范围即可【解答】解：一元二次方程 mx22x+3=0 有两个不相等的实数根，0
26、且 m0，412m0 且 m0，m且 m0，故答案为：m且 m0【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0，a，b，c 为常数）根的判别式=b24ac当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根也考查了一元二次方程的定义 10.（2018 年江苏省南京市2 分）设 x1、x2是一元二次方程 x2mx6=0 的两个根，且 x1+x2=1，则 x1=2，x2=3 【分析】根据根与系数的关系结合 x1+x2=1 可得出 m 的值，将其代入原方程，再利用因式分解法解一元二次方程，即可得出结论【解答】解：x1、x2是一元二次方程 x2mx6=0 的
27、两个根，且 x1+x2=1，m=1，原方程为 x2x6=0，即（x+2）（x3）=0，解得：x1=2，x2=3 故答案为：2；3【点评】本题考查了根与系数的关系以及因式分解法解一元二次方程，利用根与系数的关系求出 m 的值是解题的关键 11.（2018 年江苏省泰州市3 分）已知 3xy=3a26a+9，x+y=a2+6a9，若 xy，则实数 a 的值为 3 【分析】根据题意列出关于 x、y 的方程组，然后求得 x、y 的值，结合已知条件 xy 来求 a 的取值【解答】解：依题意得：，解得 xy，a26a9，整理，得（a3）20，故 a3=0，解得 a=3 故答案是：3【点评】考查了配方法的应
28、用，非负数的性质以及解二元一次方程组配方法的理论依据是公式 a22ab+b2=（ab）2 12（2018湖北荆门3 分）已知 x=2 是关于 x 的一元二次方程 kx2+（k22）x+2k+4=0 的一个根，则 k 的值为 【分析】把 x=2 代入 kx2+（k22）x+2k+4=0 得 4k+2k24+2k+4=0，再解关于 k 的方程，然后根据一元二次方程的定义确定 k 的值【解答】解：把 x=2 代入 kx2+（k22）x+2k+4=0 得 4k+2k24+2k+4=0，整理得 k2+3k=0，解得 k1=0，k2=3，因为 k0，所以 k 的值为3 故答案为3【点评】本题考查了一元二次
29、方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解 13.（2018湖北黄冈3 分）一个三角形的两边长分别为 3 和 6，第三边长是方程 x2-10 x+21=0 的根，则三角形的周长为_.【考点】解一元二次方程，三角形三边的关系.【分析】将已知的方程 x2-10 x+21=0 左边分解因式，利用两数相乘积为 0，两因式中至少有一个为 0 转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解得到原方程的解为 3 或 7，利用三角形的两边之和大于第三边进行判断，得到满足题意的第三边的长，从而求得三角形的周长【解答】解：x2-10 x+21=0，因式分解得：（x-3）（x-7）=0，解得：x
30、1=3，x2=7，三角形的第三边是 x2-10 x+21=0 的根，三角形的第三边为 3 或 7，当三角形第三边为 3 时，3+3=6，不能构成三角形，舍去；当三角形第三边为 7 时，三角形三边分别为 3，6，7，能构成三角形，则第三边的长为 7 三角形的周长为:3+6+7=16.故答案为：16.【点评】本题考查了利用因式分解法求解解一元二次方程，以及三角形三边的关系.利用因式分解法求解解一元二次方程时，首先将方程右边化为 0，左边分解因式，然后利用两数相乘积为 0，两因式中至少有一个为 0，转化为两个一元一次方程来求解。14.（2018江西3 分）一元二次方程的两根为,则的值为 .【解析】本
31、题考察一元二次方程根与系数的关系，因为，所以，因为，所以原式值为 2，有一定的技巧性.【答案】2 三.解答题(要求同上一)1（2018湖北省孝感9 分）已知关于 x 的一元二次方程（x3）（x2）=p（p+1）（1）试证明：无论 p 取何值此方程总有两个实数根；（2）若原方程的两根 x1，x2，满足 x12+x22x1x2=3p2+1，求 p 的值【分析】（1）将原方程变形为一般式，根据方程的系数结合根的判别式，即可得出=（2p+1）20，由此即可证出：无论 p 取何值此方程总有两个实数根；（2）根据根与系数的关系可得出 x1+x2=5、x1x2=6p2p，结合 x12+x22x1x2=3p2
32、+1，即可求出 p 值【解答】解：（1）证明：原方程可变形为 x25x+6p2p=0=（5）24（6p2p）=2524+4p2+4p=4p2+4p+1=（2p+1）20，无论 p 取何值此方程总有两个实数根；（2）原方程的两根为 x1、x2，x1+x2=5，x1x2=6p2p 又x12+x22x1x2=3p2+1，（x1+x2）23x1x2=3p2+1，523（6p2p）=3p2+1，2518+3p2+3p=3p2+1，3p=6，p=2【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当0 时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合 x12+x22x1x2=3
33、p2+1，求出 p 值 2.（2018湖北省宜昌10 分）某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”（下称甲方案）和“沿江工厂转型升级”（下称乙方案）进行治理，若江水污染指数记为 Q，沿江工厂用乙方案进行一次性治理（当年完工），从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的 Q 值都以平均值 n 计算第一年有 40 家工厂用乙方案治理，共使 Q 值降低了 12经过三年治理，境内长江水质明显改善（1）求 n 的值；（2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数 m，三年来用乙方案治理的工厂数量共 190
34、家，求 m 的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量；（3）该市生活污水用甲方案治理，从第二年起，每年因此降低的 Q 值比上一年都增加个相同的数值 a在（2）的情况下，第二年，用乙方案所治理的工厂合计降低的 Q 值与当年因甲方案治理降低的 Q 值相等，第三年，用甲方案使 Q 值降低了 39.5求第一年用甲方案治理降低的 Q 值及 a 的值【分析】（1）直接利用第一年有 40 家工厂用乙方案治理，共使 Q 值降低了 12，得出等式求出答案；（2）利用从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数 m，三年来用乙方案治理的工厂数量共 190 家得出等式求出答案；（3）利用 n
35、 的值即可得出关于 a 的等式求出答案【解答】解：（1）由题意可得：40n=12，解得：n=0.3；（2）由题意可得：40+40（1+m）+40（1+m）2=190，解得：m1=，m2=（舍去），第二年用乙方案新治理的工厂数量为：40（1+m）=40（1+50%）=60（家），（3）设第一年用乙方案治理降低了 100n=1000.3=30，则（30a）+2a=39.5，解得：a=9.5，则 Q=20.5 设第一年用甲方案整理降低的 Q 值为 x，第二年 Q 值因乙方案治理降低了 100n=1000.3=30，解法一：（30a）+2a=39.5a=9.5 x=20.5【点评】考查了一元二次方程和
36、一元一次方程的应用解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解 3（2018湖北黄石8 分）已知关于 x 的方程 x22x+m=0 有两个不相等的实数根 x1、x2（1）求实数 m 的取值范围；（2）若 x1x2=2，求实数 m 的值【分析】（1）根据根的判别式得出不等式，求出不等式的解集即可；（2）根据根与系数的关系得出 x1+x2=2，和已知组成方程组，求出方程组的解，再根据根与系数的关系求出m 即可【解答】解：（1）由题意得：=（2）241m=44m0，解得：m1，即实数 m 的取值范围是 m1；（2）由根与系数的关系得：x1+x2=2，即，解得：
37、x1=2，x2=0，由根与系数的关系得：m=20=0【点评】本题考查了根与系数的关系和根的判别式、一元二次方程的解，能熟记根与系数的关系的内容和根的判别式的内容是解此题的关键 4.（2018江苏盐城10 分）一商店销售某种商品，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于 25 元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低 1 元，平均每天可多售出 2 件.（1）若降价 3 元，则平均每天销售数量为_件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为 1200 元？23.【答案】（1）26（2）解：解：设每件商品降价 x 元
38、时，该商店每天销售利润为 1200 元，则平均每天销售数量为（20+2x）件，每件盈利为（40-x）元，且 40-x25,即 x15.根据题意可得（40-x）（20+2x）=1200，整理得 x2-30 x+200=0,解得 x1=10,x2=20（舍去），答：每件商品降价 10 元时，该商店每天销售利润为 1200 元。【考点】一元二次方程的实际应用-销售问题 【解析】【分析】（1）根据等量关系“原销售件数+2降价数=降价后的销售件数”计算；（2）根据等量关系“每件盈利销量=利润”，可设降价 x 元，则销量根据（1）的等量关系可得为（20+2x）件，而每件盈利为（40-x）元，利润为 120
39、0 元，代入等量关系解答即可。5.（2018四川成都6 分）若关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，求的取值范围.【答案】由题知：.原方程有两个不相等的实数根，.【考点】一元二次方程的求根公式及应用 【解析】【分析】根据已知条件此方程有两个不相等的实数根，得出 b2-ac0,解不等式求解即可。（2）如果方程的两实数根为 x1，x2，且 x12+x22=10，求 m 的值【考点】AB：根与系数的关系；AA：根的判别式【分析】根据根与系数的关系即可求出答案【解答】解：（1）由题意可知：=（2m2）24（m22m）=40，方程有两个不相等的实数根（2）x1+x2=2m2，x1x2=m22m，+=
40、（x1+x2）22x1x2=10，（2m2）22（m22m）=10，m22m3=0，m=1 或 m=3【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一元二次方程的解法，本题属于中等题型 10.（2018广东广州14 分）已知抛物线。（1）证明：该抛物线与 x 轴总有两个不同的交点。（2）设该抛物线与 x 轴的两个交点分别为 A，B（点 A 在点 B 的右侧），与 y 轴交于点 C，A，B，C 三点都在圆 P 上。试判断：不论 m 取任何正数，圆 P 是否经过 y 轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标，若不是，说明理由；若点 C 关于直线 的对称点为点 E，点 D（0，1
41、），连接 BE，BD，DE，BDE 的周长记为，圆 P 的半径记为，求 的值。【答案】（1）证明：当抛物线与 x 轴相交时，令 y=0，得：x2+mx-m-4=0=m2+4（2m+4）=m2+8m+16=（m+4）2 m0，（m+4）20，该抛物线与 x 轴总有两个不同的交点。（2）解：令 y=x2+mx-2m-4=（x-2）（x+m+2）=0，解得：x1=2，x2=-m-2，抛物线与 x 轴的两个交点分别为 A，B（点 A 在点 B 的右侧），A（2，0），B（-2-m，0），抛物线与 y 轴交于点 C，C（0，-2m-4），设P 的圆心为 P（x0 ，y0），则 x0=，P（，y0），且
42、PA=PC，则 PA2=PC2 ，则 解得，P（，），P 与 y 轴的另一交点的坐标为（0，b）则，b=1，P 经过 y 轴上一个定点，该定点坐标为（0，1）由知，D（0，1）在P 上，E 是点 C 关于直线 的对称点，且P 的圆心 P（，），E（-m，-2m-4）且点 E 在P 上，即 D，E，C 均在P 上的点，且DCE=90，DE 为P 的直径，DBE=90，DBE 为直角三角形，D（0，1），E（-m，-2m-4），B（-2-m，0），DB=，BE=BE=2DB，在 RtDBE 中，设 DB=x，则 BE=2x，DE=，BDE 的周长 l=DB+BE+DE=x+2x+=P 的半径 r=
43、【考点】一元二次方程根的判别式及应用，二次函数图像与坐标轴的交点问题，两点间的距离，勾股定理，圆周角定理 【解析】【分析】（1）当抛物线与 x 轴相交时，即 y=0，根据一元二次方程根的判别式=b2-4ac=m2+4（2m+4）=m2+8m+16=（m+4）20，从而得出该抛物线与 x 轴总有两个不同的交点.（2）抛物线与 x 轴的两个交点，即 y=0，因式分解得出 A（2，0），B（-2-m，0）；抛物线与 y 轴交点，即 x=0，得出 C（0，-2m-4）；设P 的圆心为 P（x0 ，y0），由 P 为 AB 中点，得出 P 点横坐标，再 PA=PC，根据两点间距离公式得出 P 点纵坐标，即 P（，）；设P 与 y 轴的另一交点的坐标为（0，b），根据中点坐标公式得 b=1，即P 经过 y 轴上一个定点，该定点坐标为（0，1）.由知，D（0，1）在P 上，由）知P 的圆心 P（，），由圆周角定理得DBE 为直角三角形，再根据两点间距离公式得 DB=，BE=，由 BE=2DB，在 RtDBE 中，设DB=x，则 BE=2x，根据勾股定理得 DE=，由三角形周长公式得 BDE 的周长 l=，又P 的半径 r=，从而得出 值.