1、2.4.1 抛物线的标准方程第2章 2.4 抛物线1.掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念.2.会求简单的抛物线方程.学习目标 栏目索引 知识梳理 自主学习 题型探究 重点突破 当堂检测 自查自纠 知识梳理 自主学习 知识点一 抛物线的定义 平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的的 点 的 轨 迹叫做.定点F叫做抛物线的，定直线l叫做抛物线的.答案 距离相等抛物线焦点准线图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 (p2，0)xp2 (p2，0)xp2 知识点二 抛物线标准方程的几种形式 答案 y22px(p0)y22px(p0)(0，p2)yp2 (0，p2)yp2 答案 x22py(p0
2、)x22py(p0)答案 焦点到准线的距离.答案 不一定.当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线；l不经过点F时，点的轨迹是抛物线.思考(1)抛物线的标准方程y22px(p0)中p的几何意义是什么？(2)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线吗？返回 答案 题型探究 重点突破 题型一 求抛物线的标准方程 例1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.(1)焦点为(2,0)；解析答案 解 由于焦点在x轴的负半轴上，且p22，p4，抛物线的标准方程为y28x.(2)准线为y1；解析答案(3)过点A(2,3)；解 焦点在y轴正半轴上，且p21，p2，抛物线的
3、标准方程为x24y.解 由题意，抛物线方程可设为y2mx(m0)或x2ny(n0)，将点A(2,3)代入，得32m2或22n3，m92或n43.所求抛物线的标准方程为y292x或x243y.解析答案 反思与感悟 解 由焦点到准线的距离为52，可知 p52.所求抛物线的标准方程为 y25x或y25x或x25y或x25y.(4)焦点到准线的距离为52.跟踪训练1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.(1)过点(3，4)；解析答案(2)焦点在直线x3y150上.解析答案 解 令x0得y5；令y0得x15.抛物线的焦点为(0，5)或(15,0).所求抛物线的标准方程为x220y或y260 x.题型二
4、 抛物线定义的应用 例2 如图，已知抛物线y22x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求PAPF的最小值，并求此时P点坐标.解析答案 反思与感悟 解析答案 跟踪训练2 已知点P是抛物线y22x上的一个动点，则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值为_.解析 如图，由抛物线定义知 PAPQPAPF，则所求距离之和的最小值转化为求PAPF的最小值，则当A、P、F三点共线时，PAPF取得最小值.0122202 172.又 A(0,2)，F(12，0)，(PAPF)minAF 172题型三 抛物线的实际应用 例3 如图所示，一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲
5、通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口AB宽恰好是拱高CD的4倍，若拱口宽为a m，求能使卡车通过的a的最小整数值.解析答案 反思与感悟 跟踪训练3 如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米.解析答案(1)以隧道的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；解 依题意，设该抛物线的方程为x22py(p0)，如图所示，因为点C(5，5)在抛物线上，解得p52，所以该抛物线的方程为x25y.解析答案(2)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧
6、道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米)?解 设车辆高h米，则DB(h0.5)米，故D(3.5，h6.5)，代入方程x25y，解得h4.05米，所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米.解析答案 分类讨论思想的应用 思想方法 例4 已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，且此抛物线上的一点A(m，3)到焦点F的距离为5，求m的值及抛物线的标准方程.解后反思 返回 当堂检测 123451.抛物线y18x2的准线方程是.解析答案 解析 将 y18x2 化为标准形式 x28y，由此可知准线方程为 y2.y2123452.过抛物线y28x的焦点作倾斜角为45的直线，则被抛物线截得的弦长为_.解析答案 1
7、2345解析答案 3.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为 x 轴，焦点在双曲线x24y221 上，则抛物线的方程为_.解析 由题意知，抛物线的焦点为双曲线x24y221 的顶点，即为(2,0)或(2,0)，所以抛物线的方程为 y28x 或 y28x.y28x12345解析答案 4.已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，则抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是_.d|46|32422.解析 易知直线l2：x1恰为抛物线y24x的准线，如图所示，动点P到l2：x1的距离可转化为PF的长度，其中F(1,0)为抛物线y24x的焦点.由图可知，距离和的最小值，即F到直线l1的距离 212345解析答案 5.若双曲线x2316y2p2 1(p0)的左焦点在抛物线 y22px 的准线上，则 p_.课堂小结 1.抛物线的定义中不要忽略条件：点F不在直线l上.2.确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数p，但由于标准方程有四种类型.因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论，有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x轴上的抛物线标准方程可设为y22mx(m0)，焦点在y轴上的抛物线标准方程可设为x22my(m0).返回