1、第五章 不等式、推理与证明、算法初步与复数考点测试39 数学归纳法第一部分 考点通关练高考概览高考在本考点的常考题型为解答题，分值 12 分，中等以上难度考纲研读1.了解数学归纳法的原理2能用数学归纳法证明一些简单的数学命题第1步狂刷小题 基础练解析 边数最少的凸 n 边形是三角形，故选 C.答案解析一、基础小题1在应用数学归纳法证明“凸 n 边形的对角线为12n(n3)条”时，第一步检验第一个值 n0 等于()A1 B2 C3 D0解析 当 n1 时，代入原式有左边1a.故选 B.答案解析2用数学归纳法证明“1aa2an1an11a，a1，nN*”，在验证 n1 时，左边是()A1 B1aC
2、1aa2D1aa2a33对于不等式n2nn1(nN*)，某学生利用数学归纳法的证明过程如下：当 n1 时，12111，不等式成立假设 nk(kN*)时，不等式成立，即k2kk1，则 nk1 时，k12k1k23k2k23k2k2k22(k1)1.所以当 nk1 时，不等式成立解析 n1 的验证及归纳假设都正确，但从 nk 到 nk1 的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求，故选 D.答案解析上述证法()A过程全都正确Bn1 检验不正确C归纳假设不正确D从 nk 到 nk1 的推理不正确解析 1121312k111121312k1 12k12k112k
3、11，共增加了 2k 项答案解析4利用数学归纳法证明不等式 1121312n112764(nN*)成立，其初始值至少应取()A7 B8 C9 D10解析 当 k1 时，显然只有 3(27k)能被 9 整除假设当 kn(nN*)时，命题成立，即 3(27n)能被 9 整除，那么 3(27n1)21(27n)36，这就是说，kn1 时命题也成立由可知，命题对任何 kN*都成立故选 D.答案解析7下列代数式(其中 kN*)能被 9 整除的是()A667kB27k1C2(27k1)D3(27k)解 析 f(n 1)f(n)1n11 1n12 1n1n 1n1n11n11n21nn12n112n21n1
4、12n112n2.答案解析8设 f(n)1n1 1n2 1nn，nN，那么 f(n1)f(n)()A.12n1B12n2C.12n112n2D12n112n2解析 因为 n 为正奇数，根据数学归纳法证题的步骤，第二步应先假设第 k 个正奇数也成立，本题即假设 n2k1 正确，再推第 k1 个正奇数，即 n2k1 时正确答案解析9用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时，xnyn 能被 xy 整除”的第二步是()A假设 n2k1 时正确，再推 n2k3 时正确(kN*)B假设 n2k1 时正确，再推 n2k1 时正确(kN*)C假设 nk 时正确，再推 nk1 时正确(kN*)D假设 nk(k1)时
5、正确，再推 nk2 时正确(kN*)解析 假设当 nk 时，原式能被 9 整除，即 k3(k1)3(k2)3 能被9 整除当 nk1 时，(k1)3(k2)3(k3)3，为了能用上面的归纳假设，只需将(k3)2 展开，让其出现 k3 即可故选 A.答案解析10用数学归纳法证明“n3(n1)3(n2)3(nN*)能被 9 整除”，要利用归纳假设证 nk1 时的情况，只需展开()A(k3)3B(k2)3C(k1)3D(k1)3(k2)3答案 2(2k1)解析 当 nk 时，式子左边(k1)(k2)(kk)，当 nk1 时，式子左边(k11)(k12)(k1k)(k1k1)，故左边应增乘的因式为k1
6、kk1k1k12(2k1)答案解析11用数学归纳法证明“(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)，nN*”时，从“nk”变到“nk1”时，左边应增乘的因式是_答案 12k112k2 12k1解析 f(2k1)11213 12k12k112k2 12k1，f(2k)11213 12k，f(2k1)f(2k)12k112k2 12k1.答案解析12已知 f(n)112131n(nN*)，用数学归纳法证明“f(2n)n2”时，f(2k1)f(2k)_.二、高考小题本考点在近三年高考中未涉及此题型三、模拟小题13(2019甘肃省静宁县第一中学高三上学期第三次模拟)用数学归纳法证明 123n2n4n2
7、2，则当 nk1 时，左端应在 nk 的基础上加上()Ak21B(k1)2C(k21)(k22)(k1)2D.k14k122答案解析 当 nk 时，等式左端12k2，当 nk1 时，等式左端12k2k21k22(k1)2，增加的项为(k21)(k22)(k23)(k1)2.故选 C.解析答案14(2019山东淄博质检)设 f(x)是定义在正整数集上的函数，且 f(x)满足：当 f(k)k1 成立时，总能推出 f(k1)k2 成立，那么下列命题总成立的是()A若 f(1)2 成立，则 f(10)11 成立B若 f(3)4 成立，则当 k1 时，均有 f(k)k1 成立C若 f(2)3 成立，则
8、f(1)2 成立D若 f(4)5 成立，则当 k4 时，均有 f(k)k1 成立解析 当 f(k)k1 成立时，总能推出 f(k1)k2 成立，说明如果当 kn 时，f(n)n1 成立，那么当 kn1 时，f(n1)n2 也成立，所以如果当 k4 时，f(4)5 成立，那么当 k4 时，f(k)k1 也成立解析第2步精做大题 能力练一、高考大题1(2017浙江高考)已知数列xn满足：x11，xnxn1ln(1xn1)(nN*)证明：当 nN*时，(1)0 xn10.当 n1 时，x110.假设 nk 时，xk0，那么 nk1 时，若 xk10，则 00.因此 xn0(nN*)所以 xnxn1l
9、n(1xn1)xn1.因此 0 xn10(x0)，所以函数 f(x)在0，)上单调递增，所以 f(x)f(0)0，证明因此 x2n12xn1(xn12)ln(1xn1)f(xn1)0，故 2xn1xnxnxn12(nN*)(3)因为 xnxn1ln(1xn1)xn1xn12xn1，所以 xn 12n1.由xnxn122xn1xn 得 1xn11221xn12 0，证明所以 1xn1221xn112 2n11x112 2n2，故 xn 12n2.综上，12n1xn 12n2(nN*)证明解(1)f(6)13.解2(2015江苏高考)已知集合 X1,2,3，Yn1,2，3，n(nN*)，设 Sn(
10、a，b)|a 整除 b 或 b 整除 a，aX，bYn令 f(n)表示集合 Sn 所含元素的个数(1)写出 f(6)的值；(2)当 n6 时，写出 f(n)的表达式，并用数学归纳法证明(2)当 n6 时，f(n)n2n2n3，n6t，n2n12 n13，n6t1，n2n2n23，n6t2，n2n12 n3，n6t3，n2n2n13，n6t4，n2n12 n23，n6t5(tN*)解下面用数学归纳法证明：当 n6 时，f(6)62626313，结论成立；假设 nk(k6)时结论成立，那么 nk1 时，Sk1 在 Sk 的基础上新增加的元素在(1，k1)，(2，k1)，(3，k1)中产生，分以下情
11、形讨论：a若 k16t，则 k6(t1)5，此时有f(k1)f(k)3k2k12 k23 3(k1)2k12 k13，结论成立；解b若 k16t1，则 k6t，此时有f(k1)f(k)1k2k2k31(k1)2k112k113，结论成立；c若 k16t2，则 k6t1，此时有f(k1)f(k)2k2k12 k13 2(k1)2k12 k123，结论成立；解d若 k16t3，则 k6t2，此时有f(k1)f(k)2k2k2k23 2(k1)2k112k13，结论成立；e若 k16t4，则 k6t3，此时有f(k1)f(k)2k2k12 k32(k1)2k12 k113，结论成立；解f若 k16t
12、5，则 k6t4，此时有f(k1)f(k)1k2k2k13 1(k1)2k112k123，结论成立综上所述，结论对满足 n6 的自然数 n 均成立解解(1)f1(x)sinx2，f2(x)12cosx2，f3(x)14sinx2，解二、模拟大题3(2019江苏省清江中学高三第二次教学质量调研)已知函数 f1(x)sinx2，xR，记 fn1(x)为 fn(x)的导数，nN*.(1)求 f2(x)，f3(x)；(2)猜想 fn(x)，nN*的表达式，并证明你的猜想(2)猜想：fn(x)12n1sinn12 x2.下面用数学归纳法证明：当 n1 时，f1(x)sinx2，结论成立；假设 nk(k1
13、 且 kN*)时，结论成立，即 fk(x)12k1sink12 x2.当 n k 1 时，fk 1(x)fk(x)12 12k1 cosk12 x2 12ksink12 2x2解12k11sink112x2.所以当 nk1 时，结论成立所以由可知对任意的 nN*结论成立解4(2019江苏省苏锡常镇四市高三模拟)已知在数列an中，a12，且an1a2nan1 对任意 nN*恒成立(1)求证：an1anan1an2a2a11(nN*)；(2)求证：an1nn1(nN*)证明(1)当 n1 时，a2a21a1122213，满足 a2a11 成立假设当 nk 时，结论成立，即 ak1akak1ak2a
14、2a11 成立下证：当 nk1 时，ak2ak1akak1a2a11 成立因为 ak2a2k1ak11ak1(ak11)1ak1(akak1ak2a2a111)1ak1akak1ak2a2a11.即当 nk1 时，ak2ak1akak1a2a11 成立由可知，an1anan1an2a2a11(nN*)成立证明(2)当 n1 时，a222213111 成立，当 n2 时，a3a22a21a2(a21)13217221 成立，假设 nk(k3)时，结论正确，即 ak1kk1 成立下证：当 nk1 时，ak2(k1)k11 成立因为 ak2a2k1ak11ak1(ak11)1(kk1)kk1k2kk
15、k1.要证 ak2(k1)k11，只需证 k2kkk1(k1)k11.只需证 k2k(k1)k1，只需证 ln k2kln(k1)k1，即证 2kln k(k1)ln(k1)0(k3)证明记 h(x)2xln x(x1)ln(x1)，则 h(x)2(ln x1)ln(x1)12ln xln(x1)1ln x2x11lnx1 1x12 1.当 x12 时，lnx1 1x12 1ln2122 1ln 121ln 1e10.所以 h(x)2xln x(x1)ln(x1)在1，)上单调递增，又 h(3)23ln 34ln 4ln 36ln 44ln 729ln 2560.所以，当 x3 时，h(x)h(3)0 恒成立证明即当 k3 时，h(k)h(3)0 恒成立即当 k3 时，2kln k(k1)ln(k1)0 恒成立所以当 k3 时，ak2(k1)k11 恒成立由可得，对任意的 nN*，不等式 an1nn1 恒成立，命题得证证明本课结束