1、第五章 数列 第三节 等比数列及其前n项和 第五章 数列 主干知识梳理一、等比数列的有关概念 1定义：如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的比等于 (不为零)，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 q 表示，定义的表达式为an1an q(nN*，q 为非零常数)2同一个常数公比第五章 数列 2等比中项：如果 a、G、b 成等比数列，那么 叫做 a 与 b 的等比中项即：G 是 a 与 b 的等比中项a，G，b 成等比数列 .GG2ab第五章 数列 二、等比数列的有关公式 1通项公式：an 2前 n 项和公式：Sn ，q1，a1（1qn）1qa1anq1q，q1.
2、a1qn1na1第五章 数列 三、等比数列an的常用性质1在等比数列an中，若mnpq2r(m，n，p，q，rN*)，则amanapaqa.特别地，a1ana2an1a3an2.2在公比为q的等比数列an中，数列am，amk，am2k，am3k，仍是等比数列，公比为qk；数列Sm，S2mSm，S3mS2m，仍是等比数列(此时q1)；anamqnm.第五章 数列 基础自测自评1(教材习题改编)等比数列an中，a44，则 a2a6 等于()A4 B8C16 D32C a2a6a2416.第五章 数列 2(2013江西高考)等比数列 x，3x3，6x6，的第四项等于()A24 B0C12 D24A
3、由题意得：(3x3)2x(6x6)，解得 x3 或1.当 x1 时，3x30，不满足题意 当 x3 时，原数列是等比数列，前三项为3，6，12，故第四项为24.第五章 数列 3已知等比数列an满足 a1a23，a2a36，则 a7()A64 B81C128 D243A qa2a3a1a22，故 a1a1q3a11，a7127164.第五章 数列 4(2013北京高考)若等比数列an满足 a2a420，a3a540，则公比 q_；前 n 项和 Sn_解析 根据等比数列的性质知 a3a5q(a2a4)，q2，又 a2a4a1qa1q3，故求得 a12，Sn2（12n）122n12.答案 2 2n1
4、2第五章 数列 5(2012新课标全国卷)等比数列an的前n项和为Sn，若S33S20，则公比q_解析 S33S20，a1a2a33(a1a2)0，a1(44qq2)0.a10，q2.答案 2第五章 数列 关键要点点拨1等比数列的特征(1)从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数(2)由an1qan，q0并不能立即断言an为等比数列，还要验证a10.第五章 数列 2等比数列的前n项和Sn(1)等比数列的前n项和Sn是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q1与q1分类讨论，防止因忽略q1这一特殊情形导致解
5、题失误第五章 数列 典题导入已知数列an的前n项和为Sn，且anSnn.(1)设cnan1，求证：cn是等比数列；(2)求数列an的通项公式等比数列的判定与证明第五章 数列 听课记录(1)证明：anSnn，an1Sn1n1.得 an1anan11，2an1an1，2(an11)an1，an11an1 12.首项 c1a11，又 a1a11，第五章 数列 a112，c112.又 cnan1，故cn是以12为首项，12为公比的等比数列(2)由(1)可知 cn12 12n112n，ancn1112n.第五章 数列 互动探究在本例条件下，若数列bn满足 b1a1，bnanan1(n2)，证明bn是等比
6、数列证明 由(2)知 an112n，当 n2 时，bnanan1112n112n1 12n112n12n.又 b1a112也符合上式，bn12n.bn1bn 12，数列bn是等比数列第五章 数列 规律方法等比数列的判定方法(1)定义法：若an1an q(q 为非零常数，nN*)或 anan1q(q 为非零常数且 n2，nN*)，则an是等比数列(2)等比中项法：若数列an中，an0 且 a2n1anan2(nN*)，则数列an是等比数列(3)通项公式法：若数列通项公式可写成 ancqn(c，q 均是不为 0的常数，nN*)，则an是等比数列 第五章 数列 跟踪训练1已知数列an满足 a11，a
7、22，an2anan12，nN*.(1)令 bnan1an，证明：bn是等比数列；(2)求an的通项公式 解析(1)证明：b1a2a11.当 n2 时，bnan1anan1an2an12(anan1)12bn1，故bn是以 1 为首项，12为公比的等比数列第五章 数列(2)由(1)知 bnan1an12n1，当 n2 时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)1112 12n21112n1112123112n1532312n1.第五章 数列 当 n1 时，532312111a1，故 an532312n1(nN*)第五章 数列 典题导入(理)(2013湖南高考)已知等比数列an满足：|a
8、2a3|10，a1a2a3125.(1)求数列an的通项公式；(2)是否存在正整数 m，使得1a11a2 1am1？若存在，求 m 的最小值；若不存在，说明理由等比数列的基本运算第五章 数列 听课记录(1)设等比数列an的公比为 q，则由已知可得a31q3125，|a1qa1q2|10，解得a153，q3，或a15，q1.故 an533n1，或 an5(1)n1.第五章 数列(2)若 an533n1，则 1an35(13)n1，故1an是首项为35，公比为13的等比数列，从而n1m 1an351（13）m113 9101(13)m 9101.若 an5(1)n1，则 1an15(1)n1，第五
9、章 数列 故1an是首项为15，公比为1 的等比数列，从而n1m 1an15，m2k1（kN*），0，m2k（kN*）故n1m 1an1.综上，对任何正整数 m，总有n1m 1an1.故不存在正整数 m，使得1a1 1a2 1am1 成立第五章 数列(文)在数1和100之间插入n个实数，使得这n2个数构成递增的等比数列，将这n2个数的乘积记作Tn，再令anlg Tn，n1.(1)求数列an的通项公式；(2)设bntan antanan1，求数列bn的前n项和Sn.第五章 数列 听课记录(1)设 t1，t2，tn2 构成等比数列，其中 t11，tn2100，则 Tnt1t2tn1tn2，Tntn
10、2tn1t2t1，并利用 titn3it1tn2102(1in2)，得 T2n(t1tn2)(t2tn1)(tn1t2)(tn2t1)102(n2)，anlg Tnn2，n1.第五章 数列(2)由题意及(1)中计算结果，知bntan(n2)tan(n3)，n1.另一方面，利用 tan 1tan(k1)k)tan（k1）tan k1tan（k1）tan k，得 tan(k1)tan ktan（k1）tan ktan 11.第五章 数列 第五章 数列 规律方法1等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解2
11、在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，切不可忽视q的取值而盲目用求和公式第五章 数列 跟踪训练2已知数列an是公差不为零的等差数列，a12，且a2，a4，a8成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)求数列3an的前n项和第五章 数列 解析(1)设等差数列an的公差为 d(d0)因为 a2，a4，a8 成等比数列，所以(23d)2(2d)(27d)，解得 d2.所以 an2n(nN*)(2)由(1)知 3an32n，设数列3an的前 n 项和为 Sn，则 Sn323432n9（19n）1998(9n1)第五章 数列 典题导入(1)(2014北京朝阳一模)已知an是由
12、正数组成的等比数列，Sn表示an的前n项的和，若a13，a2a4144，则S5的值是()A.B69C93 D189等比数列的性质第五章 数列 听课记录 由 a2a4a23144 得 a312(a312 舍去)，又 a13，各项均为正数，则 q2.所以 S5a1（1q5）1q3（132）1293.答案 C第五章 数列(2)设等比数列an的前n项和为Sn，若S6S312，则S9S3等于()A12 B23C34 D13第五章 数列 听课记录 由等比数列的性质：S3，S6S3，S9S6 仍成等比数列，于是(S6S3)2S3(S9S6)，将 S612S3 代入得S9S334.答案 C第五章 数列 规律方
13、法等比数列与等差数列在定义上只有“一字之差”，它们的通项公式和性质有许多相似之处，其中等差数列中的“和”“倍数”可以与等比数列中的“积”“幂”相类比关注它们之间的异同有助于我们从整体上把握，同时也有利于类比思想的推广对于等差数列项的和或等比数列项的积的运算，若能关注通项公式anf(n)的下标n的大小关系，可简化题目的运算第五章 数列 跟踪训练3(1)(2012新课标全国卷)已知an为等比数列，a4a72，a5a68，则 a1a10()A7 B5 C5 D7D 解法一：由题意得a4a7a1q3a1q62，a5a6a1q4a1q5a21q98，解得q32，a11或q312，a18，故 a1a10a
14、1(1q9)7.第五章 数列 解法二：由a4a72，a5a6a4a78，解得a42，a74或a44，a72.则q32，a11或q312，a18，故 a1a10a1(1q9)7.第五章 数列(2)(2014上海徐汇模拟)在等比数列an中，an0，若a1a2a7a816，则 a4a5 的最小值为_解析 由已知 a1a2a7a8(a4a5)416，所以 a4a52，又 a4a52 a4a52 2(当且仅当 a4a5 2时取等号)所以 a4a5 的最小值为 2 2.答案 2 2第五章 数列【创新探究】分类讨论思想在等比数列中的应用(2012北京高考)已知an为等比数列，下面结论中正确的是()Aa1a3
15、2a2Ba21a232a22C若 a1a3，则 a1a2D若 a3a1，则 a4a2第五章 数列【思路导析】设出等比数列an的首项与公比，利用等比数列的通项公式求解【解析】设an的首项为a1，公比为q，则a2a1q，a3a1q2.a1a3a1(1q2)，又1q22q，当a10时，a1(1q2)2a1q，即a1a32a2；当a10时，a1(1q2)2a1q，即a1a32a2，故A不正确第五章 数列 a21a23a21(1q4)，又 1q42q2 且 a210，a21a232a22.故 B 正确 若 a1a3，则 q21.q1.当 q1 时，a1a2；当 q1 时，a1a2.故 C 不正确 D 项
16、中，若 q0，则 a3qa1q，即 a4a2；若 q0，则 a3qa1q，此时 a4a2，故 D 不正确【答案】B第五章 数列【高手支招】分类讨论思想在等比数列中应用较多，常见的分类讨论有：(1)已知Sn与an的关系，要分n1，n2两种情况(2)等比数列中遇到求和问题要分公比q1，q1讨论(3)项数的奇、偶数讨论(4)等比数列的单调性的判断注意与a1，q的取值的讨论第五章 数列 体验高考1(2013新课标全国高考)设首项为 1，公比为23的等比数列an的前 n 项和为 Sn，则()ASn2an1 BSn3an2CSn43anDSn32anD Sna1（1qn）1qa1anq1q 123an12
17、332an，故选 D.第五章 数列 2(2013福建高考)已知等比数列an的公比为q，记bnam(n1)1am(n1)2am(n1)m，cnam(n1)1am(n1)2am(n1)m(m，nN*)，则以下结论一定正确的是()A数列bn为等差数列，公差为qmB数列bn为等比数列，公比为q2mC数列cn为等比数列，公比为qm2D数列cn为等比数列，公比为qmm第五章 数列 C an是等比数列，amnmam（n1）mqmnmm(n1)mqm，cn1cn amn1amn2amnmam（n1）1am（n1）2am（n1）m(qm)mqm2.第五章 数列 3(2013江西高考)某住宅小区计划植树不少于 1
18、00 棵，若第一天植 2 棵，以后每天植树的棵树是前一天的 2 倍，则需要的最少天数 n(nN*)等于_解析 由题意知每天植树的棵数组成一个以 2 为首项，2 为公比的等比数列，所以 Sn2（12n）122(12n)100，2n51，n6.答案 6第五章 数列 4(2013陕西高考)设an是公比为q的等比数列(1)推导an的前n项和公式；(2)设q1，证明数列an1不是等比数列解析(1)设an的前n项和为Sn，当q1时，Sna1a1a1na1；当q1时，Sna1a1qa1q2a1qn1，qSna1qa1q2a1qn，第五章 数列 得，(1q)Sna1a1qn，Sna1（1qn）1q，Snna1，q1，a1（1qn）1q，q1.(2)假设an1是等比数列，则对任意的 kN*，(ak11)2(ak1)(ak21)，a2k12ak11akak2akak21，第五章 数列 a21q2k2a1qka1qk1a1qk1a1qk1a1qk1，a10，2qkqk1qk1.q0，q22q10，q1，这与已知矛盾 假设不成立，故an1不是等比数列 第五章 数列 课时作业