1、2.2.2 双曲线的简单几何性质基础巩固一、选择题1以椭圆1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为()A1B1C1或1D以上都不对答案C解析当顶点为(4,0)时，a4，c8，b4，双曲线方程为1；当顶点为(0，3)时，a3，c6，b3，双曲线方程为1.2双曲线x2y21的顶点到其渐近线的距离等于()A BC1 D答案B解析双曲线x2y21的一个顶点为A(1,0)，一条渐近线为yx，则A(1,0)到yx距离为d.3椭圆1和双曲线1有共同的焦点，则实数n的值是()A5 B3C25 D9答案B解析依题意，34n2n216，解得n3，故答案为B4若实数k满足0k5，则曲线1与曲线1的()A实半轴长相等
2、B虚半轴长相等C离心率相等D焦距相等答案D解析0k5，两方程都表示双曲线，由双曲线中c2a2b2得其焦距相等，选D5.(2015全国卷理)已知M(x0，y0)是双曲线C：y21上的一点，F1，F2是C的两个焦点若0，则y0的取值范围是()A(，) B(，)C(，) D(，)答案A解析由双曲线方程可知F1(，0)，F2(，0)，0，(x0)(x0)(y0)(y0)0，即xy30，22yy30，y，y0 Bm1Cm1 Dm2答案C解析本题考查双曲线离心率的概念，充分必要条件的理解双曲线离心率e，所以m1，选C二、填空题7双曲线1上一点P到右焦点的距离是实轴两端点到右焦点距离的等差中项，则P点到左焦
3、点的距离为_.答案13解析由a4，b3，得c5.设左焦点为F1，右焦点为F2，则|PF2|(acca)c5，由双曲线的定义，得|PF1|2a|PF2|8513.8已知双曲线C1：1(a0，b0)与双曲线C2：1有相同的渐近线，且C1的右焦点为F(，0)，则a_，b_.答案12解析利用共渐近线方程求解与双曲线1有共同渐近线的双曲线的方程可设为，即1.由题意知c，则4165，则a21，b24.又a0，b0，故a1，b2.9(2015天津市六校联考)已知双曲线1(a0，b0)和椭圆1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为_.答案1解析椭圆中，a216，b29，c2a2b2
4、7，离心率e1，焦点(，0)，双曲线的离心率e2，焦点坐标为(，0)，c，a2，从而b2c2a23，双曲线方程为1.三、解答题10(1)求与椭圆1有公共焦点，且离心率e的双曲线的方程；(2)求虚轴长为12，离心率为的双曲线的标准方程解析(1)设双曲线的方程为1(40，b0)或1(a0，b0)由题设知2b12，且c2a2b2，b6，c10，a8.双曲线的标准方程为1或1.能力提升一、选择题1已知方程ax2ay2b，且a、b异号，则方程表示()A焦点在x轴上的椭圆B焦点在y轴上的椭圆C焦点在x轴上的双曲线D焦点在y轴上的双曲线答案D解析方程变形为1，由a、b异号知0，a29，b2m，c2a2b29
5、m，c，双曲线的一个焦点在圆上，是方程x24x50的根，5，m16，双曲线的渐近线方程为yx，故选B3若双曲线1(a0，b0)的实轴长是焦距的，则该双曲线的渐近线方程是()Ayx ByxCyx Dy2x答案C解析由题意可知2a2cc，则4a2c2a2b2，解得3，所以，所以该双曲线的渐近线方程是yx.4(2015安徽理)下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y2x的是()Ax21 By21Cx21 Dy21答案C解析由双曲线的焦点在y轴上，排除A、B；对于D，渐近线方程为yx，而对于C，渐近线方程为y2x.故选C二、填空题5(2015三峡名校联盟联考)已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线方
6、程为x2y0，则椭圆1的离心率e_.答案解析由条件知，即a2b，c2a2b23b2，cb，e.6已知双曲线的中心是坐标原点，实轴在y轴上，离心率为2，且双曲线两支上的点的最近距离为4，则双曲线的标准方程为_.答案1解析双曲线的实轴在y轴上，焦点在y轴上，双曲线两支上的点的最近距离为4，即两顶点之间的距离为4，a2.又离心率为2，c4，b2c2a212，双曲线的标准方程为1.三、解答题7焦点在x轴上的双曲线过点P(4，3)，且点Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直，求此双曲线的标准方程解析因为双曲线焦点在x轴上，所以设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，F1(c,0)，F2(c,0)因为双曲线过点
7、P(4，3)，所以1.又因为点Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直，所以0，即c2250.所以c225.又c2a2b2，所以由可解得a216或a250(舍去)所以b29，所以所求的双曲线的标准方程是1.8.设双曲线1(0ab)的半焦距为c，直线l过(a,0)、(0，b)两点，且原点到直线l的距离为c，求双曲线的离心率分析由截距式得直线l的方程，再由双曲线中a、b、c的关系及原点到直线l的距离建立等式，从而求出.解析由l过两点(a,0)、(0，b)，得l的方程为bxayab0.由原点到l的距离为c，得c.将b代入，平方后整理，得1621630.令x，则16x216x30，解得x或x.由e有e.故e或e2.因0a，所以应舍去e，故所求离心率e2.