1、高考资源网（） 您身边的高考专家第七节解三角形应用举例一、教材概念结论性质重现1仰角和俯角意义图示在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角.2.方位角意义图示从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为.3.方向角意义图示 相对于某一正方向的水平角(1)北偏东，即由指北方向顺时针旋转到达目标方向；(2)北偏西，即由指北方向逆时针旋转到达目标方向；(3)南偏西等其他方向角类似.4.坡角与坡度意义图示(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图，角为坡角)；(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图，i为坡度)坡度又称为坡比.解三角形应用问题
2、的步骤二、基本技能思想活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“”(1)若从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，的关系为()(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为()(3)若点P在点Q的北偏东44，则点Q在点P的东偏北46()(4)方位角大小的范围是0，)，方向角大小的范围是()2如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40，灯塔B在观察站南偏东60，则灯塔A在灯塔B的()A北偏东10B北偏西10C南偏东80D南偏西80D解析：由条件及图可知，ACBA40，又BCD60，所以CBD30，所以DBA10，因此灯塔A在灯塔B的南偏西80.3如图，为测
3、量一棵树OP的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30，45，且A，B两点间的距离为60 m，则树的高度为_m.3030解析：在PAB中，PAB30，APB15，AB60 m，sin 15sin(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30.由正弦定理得，所以PB30()，所以树的高度OPPBsin 4530()(3030)(m)4如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D若测得CD km，ADBCDB30，ACD60，ACB45，则A，B两点间的距离为_ km.解析：因为ADCADBCDB6
4、0，ACD60，所以DAC60，所以ACCD km.在BCD中，DBC180CDBACDACB45，由正弦定理，得BCsinBDCsin 30(km)在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcos 452.所以AB km.所以A，B两点间的距离为 km.5要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45，在D点测得塔顶A的仰角是30，并测得水平面上的BCD120，CD40 m，则电视塔的高度为_40 m解析：设电视塔的高度为x m，则BCx，BDx.在BCD中，由余弦定理得3x2x2402240xcos 120，即x220x8000，解得x40或x20(舍去)故
5、电视塔的高度为40 m.考点1解三角形的实际应用应用性考向1测量距离问题如图，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登已知ABC120，ADC150，BD1 km，AC3 km.假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1 250m，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰(即从B点出发到达C点)解：在ABD中，由题意知，ADBBAD30，所以ABBD1.因为ABD120，由正弦定理，解得AD(km)在ACD中，由AC2AD2CD22ADCDcos 150，得93CD22CD即CD23CD60，解得CD(
6、km)，BCBDCD(km)两个小时小王和小李可徒步攀登1 25022 500(m)，即2.5km，而2.5，所以两位登山爱好者可以在两个小时内徒步登上山峰1若将本例条件“BD1 km，AC3 km”变为“BD200 m，CD300 m”，其他条件不变，求这条索道AC的长解：在ABD中，BD200，ABD120.因为ADB30，所以DAB30.由正弦定理，得，所以.所以AD200 (m)在ABC中，DC300 m，ADC150，所以AC2AD2DC22ADDCcosADC(200)230022200300cos 150390 000，所以AC100 m.故这条索道AC长为100 m.2若将本例
7、条件“ABC120，ADC150，BD1 km，AC3 km”变为“ADC135，CAD15，AD100 m，作COAB，垂足为O，延长AD交CO于点E，且CE50 m，如图”，求角的余弦值解：在ACD中，ADC135，CAD15，所以ACD30.由正弦定理可得AC100.在ACE中，由正弦定理可得sinCEA1，所以cos cossinCEA1.距离问题的解题思路这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解提醒：基线的选取要恰当准确；选取的三角形及正弦、余弦定理要恰当考向2测量高度问题如图，
8、小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30，45，且BAC135.若山高AD100 m，汽车从B点到C点历时14 s，则这辆汽车的速度约为_m/s(精确到0.1)参考数据：1.414，2.236.226解析：因为小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30，45，所以BAD60，CAD45.设这辆汽车的速度为v m/s，则BC14v.在RtABD中，AB200.在RtACD中，AC100.在ABC中，由余弦定理，得BC2AC2AB22ACABcosBAC，所以(14v)2(100)220022100200cos 135，所
9、以v22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s.解决高度问题的注意事项(1)在解决有关高度问题时，理解仰角、俯角是关键(2)高度问题一般是把它转化成解三角形问题，要注意三角形中的边角关系的应用若是空间的问题要注意空间图形向平面图形的转化1圭表(如图1)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆(称为“表” )和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺(称为“圭” )当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角(即
10、ABC)为26.5，夏至正午太阳高度角(即ADC)为73.5，圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即BD的长)为a，则表高(即AC的长)为()ABCDD解析：由题意得，BAD73.526.547.在ABD中，由正弦定理可得，即，则AD.在ACD中，sinADCsin 73.5，所以AC.故选D2如图是改革开放四十周年大型展览的展馆国家博物馆现欲测量博物馆正门柱楼顶部一点P离地面的高度OP(点O在柱楼底部)在地面上的A，B两点测得点P的仰角分别为30，45，且ABO60，AB50米，则OP为()A15米B25米 C35米D45米B解析：如图所示：由于OAP30，PBO45，ABO60，AB50米，O
11、PAO，OPOB设OPx，则OAx，OBx，在OAB中，由余弦定理得OA2OB2AB22OBABcosABO，即(x)2502x2250x，所以x225x1 2500，解得x25或x50(舍)3海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD80米，ADB135，BDCDCA15，ACB120，则A，B两点间的距离为_米80解析：如图，在ACD中，DCA15，ADC150，所以DAC15.由正弦定理，得AC40()(米)在BCD中，BDC15，BCD1
12、35，所以CBD30.由正弦定理，得，所以BC40()(米)在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcosACB1 600(84)1 600(84)21 600()()1 600161 60041 60020，解得AB80(米)，则A，B两点间的距离为80米考点2正余弦定理在平面几何中的应用(2020青岛模拟)如图，在平面四边形ABCD中，ABAD，AB1，AD，BC. (1)若CD1，求四边形ABCD的面积；(2)若sinBCD，ADC，求sinADC解：(1)如图，连接BD，在RtABD 中，由勾股定理可得，BD2AB2AD24，所以BD2.在BCD中，由余弦定理可得，cos
13、 C.因为C为三角形的内角，故C，所以SABDABAD1，SBCDBCCDsin C(1)，故四边形ABCD的面积S.(2)在BCD中，由正弦定理可得，所以sinBDC.因为ADC，所以BDC，所以cosBDC，在RtABD中，tanADB，故ADB，所以sinADCsin.正余弦定理解平面几何问题的注意点(1)图形中几何性质的挖掘往往是解题的切入点，或是问题求解的转折点(2)根据条件或图形，找出已知，未知及求解中需要的三角形，用好三角恒等变换公式，运用正弦定理，余弦定理解题(3)养成应用方程思想解题的意识1如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长
14、度(单位：km)，AB5，BC8，CD3，AD5，且B与D互补，则AC的长为()A7 kmB8 kmC9 kmD6 kmA解析：在ACD中，由余弦定理得cos D.在ABC中，由余弦定理得cos B.因为BD180，所以cos Bcos D0，即0，解得AC249.所以AC7.2(2020山师附中高三模拟)如图，在平面四边形ABCD中，已知AB2，AD3，ADB2ABD，BCD.(1)求BD；(2)求BCD周长的最大值解：在ABD中，设BDx，ABD，则ADB2，因为，所以cos .由余弦定理得cos .整理得x28x150，解得x5或x3.当x3时，得ADB2，与AD2BD2AB2矛盾，故舍
15、去，所以BD5.(2)在BCD中，设CBD，所以，所以BCsin，CDsin ，所以BCCD10sin10.所以BCD周长的最大值为15.考点3解三角形与三角函数的综合问题(2020合肥模拟)已知函数f (x)cos2xsin(x)sin.(1)求函数f (x)在0，上的单调递减区间；(2)锐角ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知f (A)1，a2，求ABC的面积的最大值解：(1)f (x)sin xcos xcos 2xsin 2xsin.令2k2x2k，得kxk(kZ)，所以函数f (x)在0，上的单调递减区间为和.(2)因为ABC为锐角三角形，所以0A，所以2A.又f (A
16、)sin1，所以2A，即A.因为a2b2c22bccos Ab2c2bc2bcbcbc，当且仅当bc2时，等号成立又a2，所以bc4，所以SABCbcsin A.即ABC的面积的最大值为.解三角形与三角函数综合问题的一般步骤已知函数f (x)sin 2xcos2x(xR)，设ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c，f (C)0.(1)求角C；(2)若向量m(1，sin A)与向量n(2，sin B)共线，求ABC的周长解：(1)f (x)sin 2xcos2xsin 2xcos 2x1sin1.因为f (C)sin10且C为三角形内角，所以C.(2)若向量m(1，sin A)与向量n(2，sin B)共线，则sin B2sin A0.由正弦定理得b2a，由余弦定理得cos，解得a1，b2，故ABC的周长为3.- 14 - 版权所有高考资源网
