1、第五章 不等式、推理与证明、算法初步与复数考点测试36 基本不等式第一部分 考点通关练高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值 5 分，中等难度考纲研读1.了解基本不等式的证明过程2会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题第1步狂刷小题 基础练答案一、基础小题1下列说法正确的是()A若 a，bR，则baab2B若 x0，则 x4x2x4x4C若 ab0，则b2aa2babD若 x2解析 对于 A，当 ab0 时不成立；对于 B，若 x0，则 x4xx 4x2x 4x4，当且仅当 x2 时，等号成立，因此 B 项不成立；对于 C，取 a1，b2，b2aa2b92ab3，所以 C 项不
2、成立；对于 D，若 x2 成立故选 D.解析解析 根据题意，由于不等式 x2xabba对任意 a，b(0，)恒成立，则 x2xabba min，因为abba2abba2，当且仅当 ab 时等号成立，所以 x2x2，求解此一元二次不等式可知2x1，所以 x 的取值范围是(2,1)答案解析2不等式 x2x0，n0,2mn1，则 14m2n(2mn)14m2n 52 n4m4mn 522n4m4mn 92，当且仅当 n23，m16时取等号故选 C.答案解析3已知 m0，n0,2mn1，则 14m2n的最小值为()A4 B2 2C92D16解析 yx22x132x12 1x1222x12 1x1220
3、，当且仅当 x12 1x12，即 x12时等号成立所以函数的最小值为 0.故选 A.答案解析4设 x0，则函数 yx22x132的最小值为()A0 B12C1 D32解析 由 4xyxy，得4y1x1，则 xy(xy)4y1x 4xy yx142 459，当且仅当4xy yx，即 x3，y6 时取“”，故选 B.答案解析5已知 x0，y0，且 4xyxy，则 xy 的最小值为()A8 B9 C12 D16解析 3x2y2，8x4y23x22y2 23x22y2 23x2y4，当且仅当 3x2y，即 x13，y12时等号成立，8x4y 的最小值为 4.故选 A.答案解析6若 3x2y2，则 8x
4、4y 的最小值为()A4 B4 2C2 D2 2解析 因为 a(1，x1)，b(y,2)，ab，所以 aby2(x1)0，即 2xy2.又因为 x0，y0，所以 2xy2 2xy，当且仅当 x12，y1时等号成立，即 2 2xy2，所以 xy12，所以当且仅当 x12，y1 时，xy取到最大值，最大值为12.故选 B.答案解析7已知向量 a(1，x1)，b(y,2)，其中 x0，y0.若 ab，则 xy的最大值为()A.14B12C1 D2解析 2xyxy 2y1x2y1x(x2y)52yx 2xy 522yx 2xy 9，当且仅当2yx 2xy，x2y1，即 xy13时取等号，所以xy2xy
5、 max19.答案解析8若 x0，y0，x2y1，则 xy2xy的最大值为()A.14B15C19D 112解析 函数 f(x)cosx(0 x2)的图象的对称轴为直线 x1.因为 ab，且 f(a)f(b)，所以 ab2，所以1a4b1a4b(ab)12125ba4ab 1252ba4ab 92，当且仅当 a23，b43时取等号，故1a4b的最小值为92.故选 A.答案解析9已知函数 f(x)cosx(0 x0，y0，xy 0.x 2y 5，x12y1xy2xyx2y1xy2xy6xy 2 xy 6xy2 124 3.当且仅当 2 xy 6xy，且x2y5，即 x2，y32或 x3，y1 时
6、取等号x12y1xy的最小值为 4 3.答案 4 3答案解析二、高考小题13(2019天津高考)设 x0，y0，x2y5，则x12y1xy的最小值为_答案 14解析 由已知，得 2a 18b2a23b2 2a23b22a3b22614，当且仅当 2a23b 时等号成立，由 a3b，a3b60，得 a3，b1，故当 a3，b1 时，2a 18b取得最小值14.答案解析14(2018天津高考)已知 a，bR，且 a3b60，则 2a 18b的最小值为_答案 30解析 设总费用为 y 万元，则 y600 x 64x4x900 x 240，当且仅当 x900 x，即 x30 时，等号成立答案解析15(
7、2017江苏高考)某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元/次，一年的总存储费用为 4x 万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x 的值是_解析 a44b42a22b24a2b2(当且仅当 a22b2 时“”成立)，a44b41ab4a2b21ab4ab 1ab，由于 ab0，4ab 1ab24ab 1ab4当且仅当4ab 1ab时“”成立，故当且仅当a22b2，4ab 1ab时，a44b41ab的最小值为 4.答案 4答案解析16(2017天津高考)若 a，bR，ab0，则a44b41ab的最小值为_答案 3 2解析 令 ta1b3，则 t2(a1b3)
8、2a1b32a1 b39a1b318，当且仅当 a1b3 时，即 a72，b32时，等号成立，所以 t 的最大值为 3 2.答案解析17(2015重庆高考)设 a，b0，ab5，则a1b3的最大值为_答案三、模拟小题18(2019山东日照模拟)若实数 x，y 满足 xy0，则 xxy 2yx2y的最大值为()A2 2B2 2C42 2D42 2解 析 xxy 2yx2y xxy x2yxx2y 1 xxy xx2y 1 xyxyx2y1xyx23xy2y2113xy2yx，因为 xy0，所以xy0，yx0.由基本不等式可知xy2yx 2 2，当且仅当 x 2y 时等号成立，所以 113xy2y
9、x1132 242 2.故选 D.解析答案19(2019重庆模拟)设 ax2xyy2，bp xy，cxy，若对任意的正实数 x，y，都存在以 a，b，c 为三边长的三角形，则实数 p 的取值范围是()A(1,3)B(1,2 C12，72D12，3解析 对任意的正实数 x，y，由于 ax2xyy2 2xyxy xy，当且仅当 xy 时等号成立，bp xy，cxy2 xy，当且仅当 xy 时等号成立，且三角形的任意两边之和大于第三边，所以 xy2 xyp xy，且p xy xy2 xy，且 p xy2 xy xy，解得 1p0，且 a1)的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mxny10 上，其中
10、 mn0，则1m1n的最小值为()A32 2B5C32 2D3 2解析 令 x31，得 x2，故 A(2，1)又点 A 在直线 mxny10 上，所以2mn10，即 2mn1，则1m1n1m1n(2mn)3nm2mn 32nm2mn 32 2.当且仅当 m1 22，n 21 时等号成立，所以1m1n的最小值为 32 2，故选 C.解析答案21(2019惠州市高三第三次调研)在ABC 中，点 D 是 AC 上一点，且AC 4AD，P 为 BD 上一点，向量APABAC(0，0)，则41的最小值为()A16 B8 C4 D2解析 由题意可知APAB4AD，其中 B，P，D 三点共线，由三点共线的充
11、分必要条件可得，41，则4141(4)816 8216 16，当且仅当 12，18时等号成立，即41的最小值为16.故选 A.解析答案22(2019衡阳市高三第一次联考)设正项等差数列an的前 n 项和为Sn，若 S20196057，则 1a2 4a2018的最小值为()A1 B23C136D32解析 依题意，20192(a1a2019)6057a1a2019a2a20186，1a24a201816(a2a2018)1a2 4a2018 165 4a2a2018a2018a2 32.当且仅当 a22，a20184时取等号所以 1a2 4a2018的最小值为32.解析答案23(2019浙江省名校
12、联考)已知实数 a，b，c，d 满足 ab1，cd1，则 1abc1d的最小值是()A10 B9 C4 2D3 3解析 ab1，cd1，abab2214，1ab4，当且仅当 ab12时，取等号则 1abc1d41c1d(cd)4c1d 54dc cd524dc cd9，故当且仅当 ab12且 c23，d13时，1abc1d的最小值为 9.故选 B.解析答案24(2019山东省济宁市期末)已知数列an满足 an1an(n1)cosn2(n2，nN*)，Sn 是数列an的前 n 项和，若 S2021m1012，且 a1m0，则 1a11m的最小值为()A2 B 2C2 2D2 2解析 由 an1a
13、n(n1)cosn2(n2，nN*)得，a3a23，a4a30，a5a45，a6a50，a7a67，a8a70，a9a89，a10a90，a2a3a4a5a6a7a8a9a2018a2019a2020a20212，S2021505(a2a3a4a5)a11010a1，又 S2021m1012，a1m2，1a11m12(a1m)1a11m 122a1mma1 2，当且仅当 a1m1 时，取等号 1a11m的最小值为 2.解析第2步精做大题 能力练证明(1)因为 a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，又 abc1，故有 a2b2c2abbccaabbccaabc1a1b1c.当且仅当 a
14、bc1 时，等号成立所以1a1b1ca2b2c2.证明一、高考大题1(2019全国卷)已知 a，b，c 为正数，且满足 abc1.证明：(1)1a1b1ca2b2c2；(2)(ab)3(bc)3(ca)324.(2)因为 a，b，c 为正数且 abc1，故有(ab)3(bc)3(ca)333 ab3bc3ca33(ab)(bc)(ca)3(2 ab)(2 bc)(2 ca)24.当且仅当 abc1 时，等号成立所以(ab)3(bc)3(ca)324.证明二、模拟大题2(2019湖北宜昌一中 7 月起点检测)设 a0，b0，且12ab 1b11，求证：a2b312.证明 设 2abx，b1y，则
15、 x0，y1，1x1y1，则 axy12，by1，所以 a2bxy122y2x23y2 32x23y2 1x1y 323y2xx2y1223y2x x2y12 312，当且仅当3y2x x2y，即 a12 33，b 33 时等号成立故 a2b 312.证明解(1)因为1x1yxyxy x2y2xy2xyxy 2，当且仅当 xy1 时，等号成立，所以1x1y的最小值为 2.解3(2019河北唐山模拟)已知 x，y(0，)，x2y2xy.(1)求1x1y的最小值；(2)是否存在 x，y 满足(x1)(y1)5？并说明理由(2)不存在理由如下：因为 x2y22xy，所以(xy)22(x2y2)2(x
16、y)又 x，y(0，)，所以 xy2.从而有(x1)(y1)x1y1224，因此不存在 x，y 满足(x1)(y1)5.解4.(2019攀枝花模拟)如图，将宽和长都分别为 x，y(xy)的两个矩形部分重叠放在一起后形成的正十字形面积为 5.(注：正十字形指的是原来的两个矩形的顶点都在同一个圆上，且两矩形长所在的直线互相垂直的图形)(1)求 y 关于 x 的函数解析式；(2)当 x，y 取何值时，该正十字形的外接圆面积最小，并求出其最小值解(1)由题意可得，2xyx2 5，则 yx2 52x，yx，x2 52xx，解得 0 x4 5.y 关于 x 的函数解析式为 yx2 52x(0 x4 5)解
17、(2)设正十字形的外接圆的直径为 d，由图可知，d2x2y2x2x2 52x25x24 54x2 52 52 52，当且仅当 x1，y512时，正十字形的外接圆的直径 d 最小，最小值为5 52102 52，则半径的最小值为102 54，所以正十字形的外接圆面积的最小值为 102 5425 58.解5(2019河南驻马店检测)某地需要修建一条大型输油管道通过 240 km宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)经预算，修建一个增压站的费用为 400 万元，铺设距离为 x km 的相邻两增压站之间的输油管道的费
18、用为(x2x)万元设余下工程的总费用为 y 万元(1)试将 y 表示成 x 的函数；(2)需要修建多少个增压站才能使 y 最小，其最小值为多少？解(1)设需要修建 k 个增压站，则(k1)x240，即 k240 x 1.所以 y400k(k1)(x2x)400240 x 1 240 x(x2x)96000 x240 x160.因为 x 表示相邻两增压站之间的距离，则 0 x240.故 y 与 x 的函数关系是y96000 x240 x160(0 x240)解(2)y96000 x240 x160296000 x240 x160248001609440，当且仅当96000 x240 x，即 x20 时等号成立，此时 k240 x 124020 111.故需要修建 11 个增压站才能使 y 最小，其最小值为 9440 万元解本课结束