1、四川省威远中学2019-2020学年高二数学下学期第三次月考试题 理（含解析）数学试题共4页.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.第卷(选择题，共60分)一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；各题答案必须答在答
2、题卡上相应的位置.1.已知是虚数单位，若，则在复平面内的对应点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】写出的共轭复数，结合复数的乘法运算求出，根据复数的几何意义即可判断.【详解】由，得，所以，故在复平面内的对应点的坐标为，位于第四象限.故选：D【点睛】本题主要考查共轭复数、复数的乘法运算及复数的几何意义，属于基础题.2.已知命题p：，.则为( ).A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【详解】因为特称命题的否定是全称命题，即改变量词又否定结论，所以p：，的否定 :.故选C.3.双曲线的渐近线方程为A. B. C. D. 【答案】C
3、【解析】【分析】根据题意，由双曲线的标准方程分析可得该双曲线的焦点位置以及的值，由双曲线的渐近线方程计算可得答案【详解】根据题意，双曲线的焦点在x轴上，且，则双曲线的渐近线方程，故选C【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线的渐近线方程的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题4.三角形全等是三角形面积相等的A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当三角形的面积相等时，三角形不一定全等，但是三角形全等时面积一定相等.即：三角形全等是三角形面积相等的充分但不必要条件.本题选择A选项.5.展开式中的常
4、数项为（ ）A. 80B. -80C. 40D. -40【答案】C【解析】【分析】先求出展开式的通项，然后求出常数项的值【详解】 展开式的通项公式为:，化简得，令，即，故展开式中的常数项为.故选：C.【点睛】本题主要考查二项式定理、二项展开式的应用，熟练运用公式来解题是关键.6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M为棱C1D1的中点，则异面直线AM与BD所成角的余弦值为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】以D为原点建立空间直角坐标系，写出A，M，B，D坐标，求出对应向量，即可求出结果【详解】解：正方体ABCD-A1B1C1D1，M为A1B1的中点，设正方体ABCD-A1
5、B1C1D1棱长为1，以D为原点建立如图所示空间直角坐标系，A（1，0，0），M（0，1），B（1，1，0），D（0，0，0），=（-1，1），=，所以异面直线AM与BD所成角的余弦值为，故选C【点睛】本题考查向量法解异面直线所成的角，中档题7.已知函数，且，则实数值为（ ）A. B. C. 2D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数在某一点处的导数的定义，可得结果.详解】由，即因为，所以则，所以故选：C【点睛】本题考查函数在某点处的导数求参数，属基础题.8.在平行六面体中，M为与交点，若,，则与相等的向量是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据空间向量的线性运算，用作基
6、底表示即可得解.【详解】根据空间向量的线性运算可知因为,，则即，故选：D.【点睛】本题考查了空间向量的线性运算，用基底表示向量，属于基础题.9.已知抛物线的焦点恰好是双曲线的右焦点，且两条曲线的交点的连线过点，则该双曲线的离心率为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出交点坐标，代入双曲线方程，结合，得到关于的方程，化简即可得双曲线的离心率.【详解】两条曲线交点的连线过点，两条曲线交点为，代入双曲线方程得，又，化简得，故选A.【点睛】离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出，从而求出;构造的齐次式，求出;采用离心率的定义以及圆锥曲线的
7、定义来求解10.已知函数在处的切线方程过，则函数的最小值为（ ）A. B. 1C. D. 【答案】A【解析】【分析】由过点，可求出，进而对求导，可得到在处的切线方程，再结合切线方程过，可求出的值，从而可得到的表达式，进而判断单调性，可求出最小值.【详解】过点，解得，则在处的切线方程为，过，令得，在上单调递减，在上单调递增，的最小值为.故选：A.【点睛】本题考查切线方程，考查导数的几何意义，考查利用函数的单调性求最值，考查学生的计算求解能力，属于中档题.11.函数的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数为偶函数排除,当时,利用导数得在上递减,在上递增,根据单调
8、性分析不正确,故只能选.【详解】令,则,所以函数为偶函数,其图像关于轴对称,故不正确,当时,由,得,由,得,所以在上递减,在上递增,结合图像分析,不正确.故选:D【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性判断函数的图象,考查了利用导数研究函数的单调性,利用单调性判断函数的图象,属于中档题.12.已知F是抛物线的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，（其中O为坐标原点），则与面积之和的最小值是（ ）A. B. 3C. 2D. 【答案】A【解析】【分析】先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用根与系数的关系及消元，最后将面积之和表示出来，探求最值.【详解】解：设直线
9、的方程为，则直线与轴的交点为，将 代入中得，由根与系数的关系得，因为 ，所以，所以，得，解得或，因为点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，所以，不妨设点A在轴上方，则， 所以，当且仅当，即时，取等号，所以与面积之和的最小值为，故选：A【点睛】此题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了利用基本不等式求最值，属于中档题.第卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大共4小题 ，每小题5分，满分20分13.抛物线的焦点坐标是_【答案】【解析】【分析】将抛物线方程转化为标准形式，由此求得抛物线的焦点坐标.【详解】由得，所以抛物线的焦点在轴上，且，所以抛物线的焦点坐标为.故答案为：【点睛】本小题主要考查抛物线
10、焦点坐标的求法，属于基础题.14.已知甲、乙、丙、丁4人站成一排，其中甲乙两个人必须站在一起（相邻），则有_.种不同的排列方法.（用数字作答）【答案】12【解析】【分析】由题意可知，分两步完成：先将甲乙两个人看成一个整体，还要考虑两人间的顺序，再将这个整体与丙、丁全排列，由分步计数原理计算可得答案.【详解】解：根据题意得，先将甲乙两个人看成一个整体，还要考虑两人间的顺序，有种情况，再将这个整体与丙、丁全排列，有种情况，所以由分步计数原理可得共有种，故答案为：12【点睛】此题考查排列组合的应用，利用了捆绑法，属于基础题.15.若函数在内单调递减，则实数的取值范围是：_.【答案】【解析】【分析】求
11、得，由题意得知不等式对任意的恒成立，利用参变量分离法得出，进而可求得实数的取值范围.【详解】，由题意可知，不等式对任意的恒成立，即，即.因为函数在区间上单调递增，则，.因此，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，考查计算能力，属于中等题.16.已知，若满足的有四个，则的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】满足的有个，等价于方程有个根，设，利用导数得到函数的单调性和极值，画出函数的大致图象，再利用函数图象的变换得到函数的大致图象，要使方程有个根，则方程应有两个不等的实根，根据图象得出这两根的范围，设，再利用二次函数根的分布列出不等式，即可解出的取值范围.
12、【详解】满足的有个，方程有4个根，设，则，令，得.当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，画出函数的大致图象，如图所示：，保留函数的轴上方的图象，把轴下方的图象关于轴翻折到轴上方，即可得到函数的图象如下图所示：令，则，所以要使方程有个根，则方程应有两个不等的实根，又由于两根之积为1，所以一个根在内，一个根在内，设，因为，则只需，解得：，因此，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系，以及利用导数研究函数的单调性和极值，考查了二次函数的图象和性质，是中档题.三、解答题17.命题关于的不等式命题函数 求实数的取值范围.【答案】【解析】【分析】容易求出命题p为真
13、时，2a2，而q为真时，a1由pq为真，pq为假便可得到p真q假，或p假q真两种情况，求出每种情况的a的范围，再求并集即可得出实数a的取值范围【详解】若命题p为真，则：=4a2160，2a2；若命题q为真，则：32a1，a1；pq为真，pq为假，则p真q假，或p假q真；，或；1a2，或a2；实数a的取值范围为【点睛】“”，“”“”等形式命题真假的判断步骤：（1）确定命题的构成形式；（2）判断其中命题的真假；（3）确定“”，“”“”等形式命题的真假.18.已知椭圆1的弦AB的中点M的坐标为(2，1)，求直线AB的方程及AB弦长【答案】x2y40；AB=【解析】【分析】利用点差法求出直线的斜率，再
14、利用点斜式写出直线方程，利用弦长公式可求出AB弦长.【详解】解： 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2.M(2，1)为线段AB的中点，x1x24，y1y22.又A，B两点在椭圆上，则两式相减，得，于是(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0.即kAB故所求直线AB的方程为x2y40. 由，得，由根与系数的关系得，所以 ，【点睛】此题考查了椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，弦长公式，点差法等，属于中档题.19.如图，三棱锥中，两两垂直，分别是的中点.（1）证明：平面面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由中位线定理
15、证得，由线面平行的判定定理说明平面，同理可证平面，再由面面平行的判定定理说明平面面；（2）由三棱锥中，两两垂直，即可以为坐标原点，以为坐标轴建立空间直角坐标系，分别表示点P,A,B,F的坐标，进而求得与面的法向量，设与面所成角为，由算得答案.【详解】（1）证明：分别是的中点，又平面，平面平面，同理可得：平面，又平面，平面，平面平面.（2）以为坐标原点，以为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：则，设平面法向量，则，令可得.设与面所成角为，则.与面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查空间中面面平行的证明，还考查了利用向量法求线面所成角的正弦值注意“求正算余”，属于中档题.20.函数的图象与直线ya恰有
16、三个不同的交点，求实数a的取值范围.【答案】.【解析】【分析】由题意得f(x)x24(x2)(x2)，得出函数f(x)的单调区间和极值，作出函数f(x)的大致图象，根据函数图象可得出答案.【详解】f(x)x34x4，f(x)x24(x2)(x2)令f(x)0，得x2或x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2，2)2(2，)f(x)00f(x)极大值极小值当x2时，函数取得极大值f(2)； 当x2时，函数取得极小值f(2) 且f(x)在(，2)上单调递增，在(2，2)上单调递减，在(2，)上单调递增根据函数单调性、极值情况，它的图象大致如图所示，结合图象知【点睛】本
17、题考查由两函数的图象的交点个数求参数范围，考查利用导数研究函数单调性，考查数形结合思想，属于中档题.21.已知函数.（1）若曲线与直线相切，求实数的值；（2）若函数有两个零点，证明.【答案】(1)0.(2)证明见解析.【解析】【详解】分析：求出导函数，可设切点为，由此可得切线方程，与已知切线方程比较可求得（2）由可把用表示（注意是，不是它们中的单独一个），这样中的可用代换，不妨设，设，可表示为的函数，然后求得此函数的单调性与最值后可得证详解：（1）由，得，设切点横坐标为，依题意得， 解得（2）不妨设，由，得，即，所以 ，设，则，设，则，即函数在上递减，所以，从而，即点睛：本题考查导数的几何意义
18、，考查用导数研究函数的单调性与最值函数存在零点且证明与零点有关的问题，可利用零点的定义把参数用零点表示，这样要证明的式子就可表示的代数式，然后只要设，此代数式又转化为关于的代数式，把它看作是的函数，用导数求得此函数的最值，从而证明题设结论22.已知椭圆的两个焦点，与短轴的一个端点构成一个等边三角形，且直线与圆相切.（1）求椭圆的方程；（2）已知过椭圆的左顶点的两条直线，分别交椭圆于，两点，且，求证：直线过定点，并求出定点坐标；（3）在（2）的条件下求面积的最大值.【答案】（1）;（2）证明见；解析；定点；（3）.【解析】【分析】（1）根据直线与圆相切得圆心到直线距离等于半径列一个方程，再根据等
19、边三角形性质得，解方程组得 ，即得结果；（2）先设直线方程，与椭圆方程联立分别解得M,N坐标，再求斜率（注意讨论），利用点斜式得直线方程，即得定点坐标；（3）利用韦达定理以及弦长公式得，再根据三角形面积公式得面积的函数关系式，最后根据基本不等式求最大值.【详解】（1）由题意可得：，椭圆的方程为：.（2）由题意知，设：，.由消去得：，解得：或（舍去），同理可得：.i：当时，直线斜率存在，直线过定点.ii：当时，直线斜率不存在，直线方程为：，也过定点，综上所述：直线过定点.（3）设，由（2）知：，令，在单调递减，当时，.【点睛】本题考查椭圆方程、直线过定点以及椭圆中三角形面积，考查综合分析论证与求解能力，属较难题.