1、生活中的优化问题举例基础全面练(15分钟30分)1(2021开封高二检测)若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式为yx327x123(x0)，则获得最大利润时的年产量为()A1百万件 B2百万件C3百万件 D4百万件【解析】选C.依题意得，y3x2273(x3)(x3)，当0x0；当x3时，y0.因此，当x3时，该商品的年利润最大2把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是()A cm2 B4 cm2C3 cm2 D2 cm2【解析】选D.设两段长分别为x cm， (12x)cm，这两个正三角形的边长分别为 cm， cm，面积
2、之和为S(x).令S(x)0，解得x6.则x6是S(x)的极小值点，也是最小值点，所以S(x)minS(6)2 cm2.3容积为108升的底面为正方形的长方体无盖水箱，要使用料最省，它的高为()A2分米 B3分米 C4分米 D6分米【解析】选B.设水箱的底面边长为a分米，高为h分米，则Va2h108，即h.用料最省，即表面积最小S表S底S侧a24aha24aa2.S表2a，令S表2a0，解得a6，此时h3分米4体积为16的圆柱，当它的半径为_时，圆柱的表面积最小【解析】设圆柱底面半径为r，母线长为l.所以16r2l，即l.则圆柱的表面积S2r22rl2r22r2r2，由S4r0，得r2.当0r
3、2时，S2时，S0，S单调递增所以当r2时，圆柱的表面积最小答案：25要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20，要使其体积最大，则高为多少？【解析】设圆锥的高为x，则圆锥底面半径r，所以圆锥体积：Vr2xxx3x，所以Vx2，令V0，解得：x，当x时，V0；当x时，V0，所以当x时，V取得最大值，即体积最大时，圆锥的高为.综合突破练(25分钟50分)一、选择题(每小题5分，共20分)1某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx381x286，则该生产厂家获取的最大年利润为()A300万元 B252万元C200万元 D128万元【解析】选C.由题意，函数yx381x2
4、86，所以yx281，当0x0，函数f(x)为单调递增函数；当x9时，y0，函数f(x)为单调递减函数，所以当x9时，y有最大值，此时最大值为200万元2以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为()A10 B15 C25 D50【解析】选C.设PNx，PQ2y则x2y225，S2xy，S24x2y24x2(25x2)100x24x4，设tx2，则S2100t4t2，(S2)1008t.知当t时，S2的最大值252，即S的最大值为25.3用长为30 cm的钢条围成一个长方体形状的框架(即12条棱长总和为30 cm)，要求长方体的长与宽之比为32，则该长方体最大体积是()A2
5、4 cm3 B15 cm3 C12 cm3 D6 cm3【解析】选B.设该长方体的宽是x cm，由题意知，其长是cm，高是cm，(0x3)，则该长方体的体积V(x)xxx3x2，V(x)x2x，由V(x)0，得到x2(x0舍去)，当0x0；当2x3时，V(x)0可知r.所以 建造费用y34r246r11r27r2，(0r)，则y14r.当r时，y0.当r时，该容器的建造费用最小二、填空题(每小题5分，共10分)5做一个无盖的圆柱形水桶，若要使水桶的容积是27，且用料最省，则水桶的底面半径为_【解析】用料最省，即水桶的表面积最小设圆柱形水桶的表面积为S，底面半径为r(r0)，则r2h27，即水桶
6、的高为，所以Sr22rr2(r0).求导数，得S 2r.令S0，解得r3.当0r3时，S0；当r3时，S0.所以当r3时，圆柱形水桶的表面积最小，即用料最省答案：36已知一个圆柱的轴截面是周长为12米的长方形，则满足这个条件的圆柱的最大体积是_立方米【解析】设圆柱的高为h，底面圆的半径为r，则212，即h62r，由h62r0，r0，可得0r3，圆柱的体积VS底hr2h，将h62r代入，可得Vr2，构造函数fr2，0r0，函数f单调递增；r时，f0，函数f单调递减，所以f的最大值为f22(622)8.即r2时该圆柱的体积最大，最大体积是8立方米答案：8三、解答题(每小题10分，共20分)7某地需
7、要修建一条大型输油管道，其通过120公里宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站).经预算，修建一个增压站的工程费用为400万元，铺设距离为x公里的相邻两增压站之间的输油管道费用为(x2x)万元设余下工程的总费用为y万元(1)试将y表示成关于x的函数(2)需要修建多少个增压站才能使总费用y最小？【解析】(1)依题意可知余下工程有段管道，有个增压站，故余下工程的总费用为y(x2x)400120x280，所以将y表示成关于x的函数为y120x280(0x120).(2)由(1)知y120x280(0x0，f(x
8、)递增，当x(4 050，)时，f(x)0，f(x)递减，所以当x4 050时，f(x)最大，最大值为f(4 050)307 050.创新迁移练(2021焦作高二检测)某个体户计划在市政府规划的摊位同时销售A，B两种小商品当投资额为x千元时，在销售A，B商品中所获收益分别为f(x)千元与g(x)千元，其中f(x)2x，g(x)5ln ，如果该个体户准备共投入5千元销售A，B两种小商品，为使总收益最大，则A商品需投入()A4千元 B3千元 C2千元 D1千元【解析】选B.设投入经销B商品x千元(0x5)，则投入经销A商品的资金为(5x)千元，获得的收益为S(x)千元，则S(x)2(5x)5ln (2x1)5ln (2x1)2x10(0x5)，S(x)2，当0x0，函数S(x)在0，2)上单调递增；当2x5时，S(x)0，函数S(x)在(2，5上单调递减；所以当x2时，函数S(x)取得最大值S(2)65ln 5，所以当投入经销B商品的资金为2千元，投入经销A商品的资金为3千元时，此时总收益最大