1、沧州一中寒假作业数学（九）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知i为虚数单位，复数：，若，则的值为A. 0B. 1C. 2D. 2. 已知集合，则为A. B. C. D. 3. 已知等差数列的前n项和为，且，则公差d的值为A. 1B. 2C. 3D. 44. 2018年，某地认真贯彻落实中央十九大精神和各项宏观调控政策，经济运行平稳增长，民生保障持续加强，惠民富民成效显著，城镇居民收入稳步增长，收入结构稳中趋优据当地统计局公布的数据，现将8月份至12月份当地的人均月收入增长率如图一与人均月收入绘制成如图二所示的不完整的条形统计图现给出如下信息：月份人均月收入增长率为；月份人均月
2、收入约为1442元；月份人均月收入有所下降；从上图可知该地9月份至12月份这四个月与8月份相比人均月收入均得到提高其中正确的信息个数为A. 1B. 2C. 3D. 45. 如图所示的几何图形中，ABCD为菱形，C为EF的中点，现在几何图形中任取一点，则该点取自的概率为A. B. C. D. 6. 已知椭圆O：的左、右焦点分别为，过左焦点的直线l与椭圆的一个交点为M，右焦点关于直线l的对称点为P，若为正三角形，且其面积为，则该椭圆的离心率为A. B. C. D. 7. 如图所示的中，点D，E分别在边AB，CD上，则向量A. 9B. 4C. D. 8. 设定义在R上的偶函数满足：，且当时，若，则a
3、，b，c的大小关系为A. B. C. D. 9. 若某几何体被一平面所截后剩下几何体的三视图如图所示，则剩下几何体的体积为A. 10B. 15C. 20D. 2510. 已知函数的一条对称轴与相邻的一个对称中心的距离为，将其向右平移后得到函数的图象，若函数的图象在区间上单调递增，则的取值范围为A. B. C. D. 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点P为左支上任意一点，直线l是双曲线的一条渐近线，点P在直线l上的射影为Q，且当取最小值5时，的最大值为A. B. C. D. 1012. 已知，函数，设的最大值为M，且对任意的实数a，b恒有成立，则实数K的最大值为A. 4B. 2C. D.
4、二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知，则的值为_14. 现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4的四个座位，甲、乙，丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有_种用数字作答15. 若变量x，y满足，则的取值范围为_16. 历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，即，此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余
5、数构成一个新的数列，又记数列满足，则的值为_三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 中，点D在边BC上，且求AD的长；若于H，求18. 如图，三棱锥中，E是AD的中点，为正三角形，平面平面BCD求证：；求直线BE与平面ABC所成角的正弦值19. 按照国际乒联的规定，标准的乒乓球在直径符合条件下，重量为克，其重量的误差在区间内就认为是合格产品，在正常情况下样本的重量误差x服从正态分布，现从某厂生产的一批产品中随机抽取10件样本，其重量如下：计算上述10件产品的误差的平均数及标准差s；利用中求的平均数，标准差s，估计这批产品的合格率能否达到；如果产品的误差服从正态分布，那么从这批产品中随
6、机抽取10件产品，则有不合格产品的概率为多少附：若随机变量x服从正态分布，则；用，用分别代替计算20. 已知O为坐标原点，抛物线E：与直线l：交于点A，B两点，且求抛物线E的方程；线段AB的中点为Q，过点Q且斜率为k的直线交抛物线E于C，D两点，若直线OC，OD分别与直线交于M，N两点，当时，求斜率k的值21. 已知函数求函数的单调区间；当时，函数在上的最小值为，若不等式有解，求实数t的取值范围22. 在平面直角坐标系xOy中，圆C：，直线：，直线过点，倾斜角为，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系写出直线与圆C的交点极坐标及直线的参数方程；设直线与圆C交于点E，F，求的值23. 已
7、知函数当时，作出函数的图象，并写出不等式的解集；当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围答案和解析1.【答案】A【解析】解：，由，得，即，则，故选：A把代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求解本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题2.【答案】B【解析】解：集合，故选：B先分别求出集合A和B，由此能求出本题主要考查集合的表示方法，交集的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力3.【答案】C【解析】解：，解得故选：C利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题4.【答案】C【
8、解析】解：由8月份至12月份当地的人均月收入增长率折线图与人均月收入条形统计图，知：在中，10月份人均月收入增长率为，故正确；在中，11月份人均月收入约为1442元，故正确；在中，12月份人均月收入高于8月和9月，故错误；在中，从上图可知该地9月份至12月份这四个月与8月份相比人均月收入均得到提高，故正确故选：C由8月份至12月份当地的人均月收入增长率折线图与人均月收入条形统计图直接判断求解本题考查命题真假的判断，考查频率分布直方图的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力5.【答案】D【解析】解：由题意，在几何图形中任取一点，则该点取自的概率为故选：D分别求出菱形ABCD与三角形BE
9、C，DFC的面积，再由测度比是面积比得答案本题考查几何概型概率的求法，考查三角形面积的应用，是基础题6.【答案】C【解析】解：如图，由题意，垂直平分，又为正三角形，垂直平分，则四边形为菱形，边长为2c，且由题意，解得，故选：C由题意画出图形，可得则四边形为菱形，边长为2c，且由已知三角形面积求得c，进一步求解a，则两向量可求本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，是中档题7.【答案】D【解析】解：根据题意，则，在中，又由，则，则，则，则；故选：D根据题意，分析可得，在中，由余弦定理可得DC的值，结合勾股定理可得，又由，计算可得答案本题考查平面向量的数量
10、积的计算，关键是掌握平面向量数量积的计算公式，属于基础题8.【答案】B【解析】解：偶函数满足：，即，则函数是周期为4的周期函数，当时，则，则在上是减函数，则，即，即，故选：B根据函数奇偶性和对称性，求出函数是周期为4的周期函数，利用导数判断函数在上的单调性，利用周期性和单调性的关系进行转化求解即可本题主要考查函数值的大小比较，结合条件判断函数的周期性和单调性，利用函数周期性和单调性的关系进行转化是解决本题的关键9.【答案】A【解析】解：由三视图可知几何体底面为边长为2的正方形，四条侧棱长分别为1，2，3，4将两个相同的几何体组合成一个长方体，则长方体的高为5，故几何体的体积为故选：A将两个相同
11、的几何体组合成一个长方体，则几何体体积为长方体体积的一半本题考查了棱柱的结构特征，几何体的体积计算，属于中档题10.【答案】B【解析】解：的一条对称轴与相邻的一个对称中心的距离为，得，即得，即，将其向右平移后得到函数的图象，即，由，得，即的单调递增区间为，函数的图象在区间上单调递增，即且，即，即，当时，则的取值范围为，故选：B根据对称轴和对称中心的距离关系，求出函数的周期和，利用平移关系求出，结合三角函数的单调性求出函数的单调递增区间，建立不等式关系进行求解即可本题主要考查三角函数的图象和性质，利用条件求出函数的周期和，利用平移关系求出的解析式以及函数的单调递增区间，建立不等式关系是解决本题的
12、关键11.【答案】A【解析】解：，即取最小值为，当且仅当时等号成立，故选A根据双曲线的定义和性质可得：，再根据基本不等式可得最大值本题考查了双曲线的性质，属中档题12.【答案】D【解析】解：令，则，令，则，又对任意的实数a，b恒有成立，因为，所以，所以k最大值为故选：D令，则，令，则，又因为对任意的实数a，b恒有成立，所以，所以可得的最值，由绝对值不等式的性质，可得k的范围，进而得到k的最大值本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用导数判断单调性，考查绝对值不等式的性质和化简整理的运算能力，属于中档题13.【答案】【解析】解：，故答案为：由已知利用诱导公式可求的值，根据二倍角的余弦函数公式可求
13、，即可计算得解本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题14.【答案】8【解析】解：根据题意，分3步进行分析：，甲先选座位，可以在4个座位中任选1个，有4种情况，乙与甲不能相邻，则乙有1种选法；，将丙、丁安排在剩下的2个座位，有种情况，则有种不同的选法；故答案为：8据题意，分3步进行分析：，甲先选座位，可以在4个座位中任选1个，乙与甲不能相邻，则乙有1种选法，将丙、丁安排在剩下的2个座位，由分步计数原理计算可得答案本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题15.【答案】【解析】解：，可得，设，则m的几何意义是区域内的点到
14、点的距离的平方，作出不等式组对应的平面区域如图，由解得，解得则点D到B的距离最小，此时，AD的距离最大，此时即，故答案为：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合两点间的距离公式进行求解即可本题主要考查线性规划的应用，根据零点间的距离公式，结合数形结合是解决本题的关键16.【答案】3【解析】解：由题意可得：，；，数列是周期为6的数列，由，则，数列从第三项开始为周期是6的周期数列故答案为：3由题意可得：，；，可得数列是周期为6的数列，由，计算，可得数列从第三项开始为周期是6的周期数列即可得出题考查了数列递推关系、斐波那契数列的性质、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题17
15、.【答案】本题满分为12分解：中，由余弦定理可得：，即：，解得，分，分在中，由余弦定理，可得：，即：，解得：分由可知，分，分分【解析】由已知利用余弦定理可得BC的值，由，可得BD的值，在中，由余弦定理可得AD的值由可知，可求，利用三角函数的定义可求的值本题主要考查了余弦定理，三角函数的定义在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和数形结合思想的应用，属于中档题18.【答案】证明：，平面平面BCD，且平面平面，平面ABD，又平面ABD，解：取BD中点F，连结AF，是正三角形，平面BCD，过F点作，以F为原点，FB，Fy，FA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则0，0，0，0，1，是A
16、D的中点，1，0，设平面ABC的一个法向量为y，则，取，得，设直线BE与平面ABC所成角为，则，直线BE与平面ABC所成角的正弦值为【解析】推导出，平面ABD，由此能证明取BD中点F，连结AF，推导出，平面BCD，过F点作，以F为原点，FB，Fy，FA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BE与平面ABC所成角的正弦值本题考查线线垂直的证明，考查点到平面的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19.【答案】解：，所以由中的计算得，所以因为在内包含了所有的合格产品，也包含了不合格的产品，而所以这批抽查的产品的合格率
17、不能达到因为产品的误差服从正态分布，所以，又为，所以每件产品合格的概率为，所以随机抽取10件产品中有不合格产品的概率为【解析】将数据代入平均数公式求出平均数，再代入方差公式求出方差，取其算术平方根即为标准差由中的计算得，产品的误差服从正态分布，所以，又为，每件产品合格的概率为随机抽取10件产品中有不合格产品的概率为本题考查了正态分布的性质，二项分布，属于中档题20.【答案】解：与直线l：联立可得，设，可得，可得，即，则抛物线的方程为；线段AB的中点为，设直线CD的方程为，联立抛物线方程可得，设，可得，OC：，OD：，联立可得，则，即有，即为，可得满足有两个不等实根则【解析】联立抛物线方程和，运
18、用韦达定理和向量数量积的坐标表示，化简整理，解方程可得p，进而得到抛物线方程；求得Q的坐标，设出直线CD的方程，联立抛物线方程，运用韦达定理，求得M，N的坐标，以及，化简整理，解方程即可得到所求值本题考查抛物线的方程和运用，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，以及化简运算能力，属于中档题21.【答案】解：函数的导数，当时，由得，得或，即或，即或，由得，得或，即或，即，即此时函数的单调递增区间为，单调递减区间为，当时，由得，由知，由得，由知或，即此时函数的单调递增区间为，单调递减区间为，综上时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，时，函数的单调递增区间为，单调递
19、减区间为，由知，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，函数在上的最小值为，不等式有解等价为，即，有解，设函数，则，令得，即当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，则的极小值也是最小值为，从而，实数t的取值范围是【解析】求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可利用函数的单调性和最值之间的关系，先求出的最小值，利用参数分离法进行求解本题主要考查单调的综合应用，利用函数单调性，最值和导数的关系是解决本题的关键考查学生的运算能力综合性较强，运算量较大22.【答案】解：联立方程，解得，所以当时，；当时，所以交点的直角坐标分别为，则对应的极坐标为，由题意得直线的参数方程为为参数；将的
20、参数方程中的x，y代入圆C的方程并整理得：，且，设E，F对应的参数为，则，根据，的几何意义可得【解析】本题考查了简单曲线的极坐标方程以及直线的参数方程，属于中档题联立方程组解得交点的直角坐标，再化成极坐标；联立方程组，利用参数的几何意义可得23.【答案】解：时，函数，作出函数的图象如图所示；从图象可知，不等式的解集为；时，所以不等式转化为，即对时恒成立；所以或，即或对恒成立，所以或，即不等式恒成立时，实数a的取值范围是【解析】时函数，利用分段函数表示，并作出函数的图象，利用图象写出不等式的解集；时不等式化为，去掉绝对值得出关于a的不等式，从而求出关于a的取值范围本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了不等式恒成立应用问题，是中档题