1、20192020 学年高三年级上学期 第二次摸底考试（数学）学科试卷（理）参考答案 131 14 25 15 3 16x|3 x 2 17解：(1)当 n=1 时，a1=S1=2a11，a1=1，当 n2 时，an=SnSn1=(2an1)(2an11)=2an2an1，an=2an1，当 n=2 时，S2=2a21 即 1+a2=2a21，a2=2，a2=2a1，an为以 1 为首项，2 为公比的等比数列，an=2n1，b1=1,b4=a3=4，d=413bb=1，bn=n (2)由(1)可得：cn=2n11(1)n n+，所以 Tn=Sn(1111112231nn+)=121 11nn +
2、=1221nn+18(1)证明：PA平面 PCD，且 CD平面 PCD，PACD 又 ADCD 且 PAAD=A，CD平面 PAD，又 CD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD(2)解：取 AD 的中点 O，连接 PO PA=PD，POAD 又平面 PAD平面 ABCD，PO平面 ABCD，建立如图所示的直角坐标系，D(0,1,0)，C(2,1,0)，P(0,0,1)，B(4,1,0)，BC=(2,2,0),PB=(4,1,1)，平面 PBC 的一个法向量m=(1,1,3)，平面 PAD 的一个法向量n=DC=(2,0,0)cos=m nm n =1 2 3 4 5 6 B A B C
3、B A 7 8 9 10 11 12 A D C C D D 211 2=1111，平面 PBC 与平面 PAD 所成角的余弦值为 1111 19(1)f(x)=2 3 sinxcosx+cos2x=2(32sin2x 12cos2x)=2sin(2x 6)，由 2+2k2x 6 2k+2 (kZ)，得 k 6 xk+3(kZ)，又x0,，函数 f(x)在0,上的单调递减区间为0,3 和 56,；(2)f(A)=2 2sin(2A 6)=2，即 sin(2A 6)=1，ABC 为锐角三角形，2A 6=2，A=3 在ABC 中，由余弦定理得：a2=b2+c22bccosA，又 a=2，4=b2+
4、c2bc2bcbc=bc，当且仅当 b=c=2 时,(bc)max=4，SABC=12bcsinA 3 当 b=c=2 时,(SABC)max=3 20(1)解：椭圆右焦点 F(1,0)，c=1，抛物线 x2=4 3 y 的焦点坐标(0,3)，b=3，b2=3，a2=b2+c2=4，椭圆 C：2243xy+=1；(2)证明：由题意，m0，M(0,1m)，设 A(x1,y1)，B(x2,y2)由221143xmyxy=+=(3m2+4)y2+6my9=0，=(6m)2+36(3m2+4)=144(m2+1)0 y1+y2=2634mm+,y1y2=2934m+，又由 MA=1 AF,MB=2 B
5、F得：1=111my，2=121my 1+2=212121 yymy y+=83；(3)解：m=0 时，得 N(52,0)，猜想：m 变化时，直线 AE 与 BD 相交于定点 N(52,0)，由(2)知 A(x1,y1)，B(x2,y2)于是 D(4,y1)，E(4,y2)，先证直线 AE 过定点 N：直线 AE 的方程为：yy2=y22114yyx(x4)当 x=52时 y=y2+2114yyx(524)=211213()22(4)yymy yx+=221693234342(4)mmmmx+=0 所以，点 N 在直线 AE 上，同理可得点 N 在直线 BD 上 即 m 变化时，直线 AE 与
6、 BD 相交于定点 N(52,0)21解：(1)函数 f(x)=lnxax2+(2a)x 的定义域为(0,+)，f(x)=1x2ax+(2a)=(1)(21)axxx+，当 a0 时，f(x)0，则 f(x)在(0,+)上单调递增；当 a0 时，若 x(0,1a)，则 f(x)0，若 x(1a,+)，则 f(x)0，且 f(x)在(0,1a)上单调递增，在(1a,+)上单调递减，不妨设 0 x1 1a0，F(x)在(0,1a)上单调递增，F(x)F(1a)=f(1a)f(2a 1a)=0，即 f(x)f(2ax)，x(0,1a)，又 x1，x2 是函数 f(x)的两个零点且 0 x1 1a，f
7、(x1)f(2ax1)，又f(x1)=f(x2)，f(x2)2ax1，x1+x2 2a，得证 22解：(1)由 2=sin+34得，x2+y2=y+34，即 x2+(y 12)2=1，曲线 C 的参数方程为cos1sin2xy=+(为参数).(2)解法一 若=34，则直线 l 的参数方程为212212xtyt=+,代入 x2+y2=y+34，整理得 4t2+62 t+1=0，=7216=560，t1+t2=3 22，t1t2=14，|AB|=|t1t2|=2121 2()4ttt t+=142.解法二 若=34，则直线 l 的直角坐标方程为 x+y=0，曲线 C 为圆，它的直角坐标方程为 x2
8、+(y 12)2=1，圆心为(0,12)，半径 r=1，圆心到直线 l 的距离 d=122=24，|AB|=222rd=118=142 23解：(1)当 a=2 时，f(x)=|x4|+2=2,46,4xxx x ，当 x4 时，由 xf(x)8，得 x22x80，得 x4 当 x4 时，由 xf(x)8，得 x26x+80，得 2x4，不等式 xf(x)8 的解集为x|x2 (2)由 f(x)|x1|+4 有解，可得|x2a|x1|4a 有解，又|x2a|x1|(x2a)(x1)|=|2a1|2a1|4a 当 a4 时，不等式恒成立当 12a4 时，不等式可化为 2a14a，可得 53a4，当 a 12时，不等式可化为 12a4a，可得 a3 实数 a 的取值范围是(,3 53,+)