1、2.3.3-4点到直线的距离公式及两条平行直线间的距离 知识要点要点一点到直线的距离1概念：过一点向直线作垂线，则该点与_之间的距离，就是该点到直线的距离2公式：点 P(x0，y0)到直线：l：AxByC0 的距离，d|Ax0By0C|A2B2.垂足要点二 两平行直线间的距离1概念：夹在两条平行直线间的_的长度就是两条平行直线间的距离2公式：两条平行直线l1：AxByC10与l2：AxByC20之间的距离d|C1C2|A2B2.公垂线段方法技巧求两平行线间的距离可以转化为求点到直线的距离，也可以利用公式利用公式求平行线间的距离时，两直线方程必须是一般式，且 x，y 的系数对应相等当两直线都与
2、x 轴(或 y 轴)垂直时，可利用数形结合来解决当两直线都与 x 轴垂直时，l1：xx1，l2：xx2，则 d|x2x1|；当两直线都与 y 轴垂直时，l1：yy1，l2：yy2，则 d|y2y1|.基础自测1原点到直线x2y50的距离为()A1 B.3C2 D.5解析：由点到直线距离公式得：d|0205|1222 5.故选D.答案：D2两条平行线l1：3x4y70和l2：3x4y120的距离为()A3 B2C1 D.12解析：由平行线间的距离公式得：d|712|32421，故选C.答案：C3若第二象限内的点P(m,1)到直线xy10的距离为2，则m的值为_解析：由|m11|1212 2，得m
3、4或m0，又m0，m4.答案：4题型一点到直线的距离公式的应用1已知点 A(a,2)(a0)到直线 l：xy30 的距离为 1，则 a()A.2B2 2C.21D.21解析：由点到直线的距离公式知，d|a23|2|a1|2 1，得a1 2.又a0，a 21.故选C.答案：C2垂直于直线x3y50且与点P(1,0)的距离是35 10的直线l的方程是_解析：设与直线x3y50垂直的直线的方程为3xym0，则由点到直线的距离公式知：d|310m|3212|m3|10 35 10.所以|m3|6，即m36.得m9或m3，故所求直线l的方程为3xy90或3xy30.答案：3xy90或3xy30方法技巧点
4、到直线的距离的求解方法(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线 xa 或 yb，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成 d|x0a|或 d|y0b|.(3)若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可题型二两条平行线间的距离例 1(1)两直线 3xy30 和 6xmy10 平行，则它们之间的距离为_解析：(1)由题意，得63m1，m2，将直线3xy30化为6x2y60，由两平行线间距离公式，得|16|6222 540 104.答案：(1)104(2)已知
5、直线l与两直线l1：2xy30和l2：2xy10的距离相等，则l的方程为_解析：(2)设直线l的方程为2xyC0，由题意，得|3C|2212|C1|2212，解得C1，直线l的方程为2xy10.答案：(2)2xy10【方法技巧】求两条平行线间距离的方法求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线 l1：ykxb1，l2：ykxb2，且 b1b2 时，d|b1b2|k21；当直线 l1：AxByC10，l2：AxByC20 且 C1C2 时，d|C1C2|A2B2.但必须注意两直线方程中 x，y 的系数对应相等变式训练 1与直线 l：5x12y60 平行且与直线 l 距离为3
6、的直线方程是_解析：与l平行的直线方程为5x12yb0，根据两平行直线间的距离公式得|b6|521223，解得b45或b33.所以所求直线方程为：5x12y450，或5x12y330.答案：5x12y450，或5x12y330.题型三对称问题例 2如图，一束光线从原点 O(0,0)出发，经过直线 l：8x6y25 反射后通过点 P(4,3)，求反射光线的方程及光线从 O 点到达P 点所走过的路程分析：先求出原点关于 l 的对称点，然后利用反射光线的反向延长线过对称点可求方程.解析：设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)，由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得ba(43)1，8a26b22
7、5，解得a4，b3，A的坐标为(4,3)，反射光线的反向延长线过A(4,3)，又由反射光线过P(4,3)，两点纵坐标相等故反射光线所在直线方程为y3.由方程组y3，8x6y25，解得x78，y3，由于反射光线为射线，故反射光线的方程为y3(x78).由光的性质可知，光线从O到P的路程即为AP的长度|AP|，由A(4,3)，P(4,3)知，|AP|4(4)8，光线从O经直线l反射后到达P点所走过的路程为8.方法技巧光线的入射、反射的问题以及在某定直线取点，使它与两定点距离之和最小这类问题均属于点关于直线对称的问题(1)点 A(x0，y0)关于直线 l：AxByC0 的对称点 M(x，y)，可由方
8、程组yy0 xx0(AB)1AB0Axx02Byy02C0求得(2)常用对称的特例有：A(a，b)关于 x 轴的对称点为 A(a，b)；B(a，b)关于 y 轴的对称点为 B(a，b)；C(a，b)关于直线 yx 的对称点为 C(b，a)；D(a，b)关于直线 yx 的对称点为 D(b，a)；P(a，b)关于直线 xm 的对称点为 P(2ma，b)；Q(a，b)关于直线 yn 的对称点为 Q(a,2nb)变式训练 2若点 P(m,0)到点 A(3,2)及 B(2,8)的距离之和最小，求实数 m 的值解析：点A(3,2)关于x轴的对称点为A(3，2)因为点P(m,0)在x轴上，由对称性可知|PA
9、|PA|，所以|PA|PB|PA|PB|，所以当A，P，B三点共线时，|PA|PB|最小因为kAB82232，所以直线AB的方程为y82(x2)，即y2x4.令y0，得x2，即A，P，B三点共线时，点P的坐标为(2,0)，所以所求实数m的值为2.易错辨析选用直线方程的形式不当引发错误例 3过 点 P(2,5)，且与 点(4,1)距 离等 于 6 的 直线 方 程为_解析：当斜率存在时，设所求直线方程为 y5k(x2)，即 kxy2k50，由点到直线的距离公式得：|4k12k5|k216，解得 k 512，故所求直线方程为 5x12y700.当斜率不存在时，直线平行于 y 轴，直线方程为 x2，符合题意综上，所求直线方程为 5x12y700 或 x2.答案：5x12y700 或 x2【易错提醒】易错原因纠错心得忽略了直线的斜率不存在的情况而漏解致错.一般地，求直线方程，设为点斜式或斜截式是常见的两种形式因此，一定要考虑斜率不存在而直线存在的形式.谢谢 观 看