1、雅礼教育集团2022年下学期期末考试试卷高二数学一、选择题：本共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若直线l过点，不过第四象限，则直线l的斜率的最大值为（ ）A0B1CD22函数的一条对称轴方程是（ ）ABCD3若集合，则（ ）ABCD4如图，在同一平面内以平行四边形两边为斜边向外作等腰直角，若，则（ ）ABCD56名志愿者分配到3个社区参加服务工作，每名志愿者只分配到一个社区，每个社区至少分配一名志愿者且人数各不相同，不同的分配方案共有（ ）A540种B360种C180种D120种6双曲线的右焦点F与抛物线的焦点重合，两曲线有一个公共点为P，若，则
2、该双曲线的离心率为（ ）ABCD27函数的零点属于区间（ ）ABCD8己知，若，则的最小值等于（ ）ABCD二、选择题：本共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9已知复数，则（ ）Az的虚部是Bz的共轭复数是Cz的模是Dz在复平面内对应的点是10下列数列中，单调递增的数列是（ ）ABCD11法国数学家笛卡尔开创了解析几何思想方法的先河他研究了许多优美的曲线，在平面直角坐标系中，方程所表示的曲线称为笛卡尔叶形线当时，笛卡尔叶形线具有的性质是（ ）A经过第三象限B关于直线对称C与直线有公共点D与直线没有公共点1
3、2过下列哪些点恰可以作函数的两条切线（ ）ABCD三、本题共4小题，每小题5分，共20分13的展开式的常数项是_14圆与圆的公共弦长等于_15如图，在正方体中，动点M在线段上，异面直线和所成的角为，则的取值范围是_（用区间表示）16曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度，曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大，工程规划中常需要计算曲率，如高铁的弯道设计曲线在点曲率的计算公式是，其中是的导函数则曲线上点的曲率的最大值是_三、本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本题10分）“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时
4、代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员，面向全社会的优质平台该平台首次实现了“有组织，有管理，有指导，有服务”的学习，极大地满足了广大党员干部和人民群众多样化、自主化、便捷化的学习需求，日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门APP某市宣传部门为了解市民利用“学习强国”学习国家政策的情况，从全市抽取1000人进行调查，统计市民每周利用“学习强国”的时长，下图是根据调查结果绘制的频率分布直方图（1）估计该市市民每周利用“学习强国”时长在区间内的概率和每周利用“学习强国”的平均时长；（2）若宣传部为了解市民每周利用“学习强国”的具体情况，准备采用分层抽样的方法从和组中抽取7人了解情况
5、，从这7人中随机选取2人参加座谈会，求所选取的2人来自不同的组的概率18（本题12分）记为数列的前n项和，已知的公差为的等差数列（1）求的通项公式；（2）证明：19（本题12分）如图，中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，（1）求A的大小；（2）若内点P满足，求的大小20（本题12分）如图所示，在直三棱柱中，E为的中点（1）直线与平面的交点记为M，直线与平面的交点记为N证明：直线平面（2）求二面角的大小；21（本题12分）设P，E分别是椭圆的左，右焦点，椭圆上存在点N，满足且的面积为20（1）求b的值；（2）设点P的坐标为，直线过点P，与椭圆交于点A，B，线段的中点记为M若是与的等比中项，求
6、a的最小值，并求出此时直线l的方程22（本小题12分）设函数，曲线在原点处的切线为x轴，（1）求a的值；（2）求方程的解；（3）证明：高二数学期末考试答案1答案：D 解析：直线l的斜率的最大值2解析：，对称轴方程是，取，知是一条对称轴选C3答案：B 解析：4答案：B 解析：5答案：B 解析：共有种6解析：不妨设点P在第一象限，P的坐标为双曲线的焦点是，根据双曲线的定义，答案：A7答案C 解析：因为是增函数，所以有唯一的零点8解析：由题意得，所以设P是直线上的点，是圆上的点，则，而答案：B9答案：BCD10答案：BD11答案：BD 解析：A：若，则B：若点在曲线上，则点也在曲线上C、D：由方程组
7、得方程组无解13答案：2014答案： 解析：易知点为两圆交点，15答案： 解析：连结，由正方体的性质，知，所以异面直线和所成的角即直线与所成的角，的最小值为与平面所成的角设的交点为O，则为与平面所成的角所以的最小值为的最大值为16答案： 解析：对于曲线，当且仅当时等号成立17解：（1）由题意知，该市市民每周利用“学习强国”时长在内的频率为，所以估计该市市民每周利用“学习强国”时长在内的概率为0.3由题意知各组的频率分别为0.05，0.1，0.25，0.3，0.15，0.1，0.05，所以，所以估计该市市民每周利用“学习强国”的平均时长是6.8小时（2）由（1）知，利用“学习强国”时长在和的频率
8、分别为0.25，0.1，故两组人数分别为250，100，采用分层抽样的方法从组抽取5人，记作a，b，c，d，e；从组抽取2人数为，记作A，B；从7人中抽取2人的基本事件有，共21个，来自不同组的基本事件有，共10个，故所求概率另解：18解：（1）因为，所以又因为是公差为的等差数列，所以，所以当时，时，也满足上式所以的通项公式是（2）当时，不等式成立；当时，19解：（1）因为，所以，由余弦定理，得，因为，所以（2）设，在和中分别应用正弦定理，得，因为，所以，又因为，所以，所以20解：根据题意知，两两垂直，分别以为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系因为，E为的中点所以（1）直线与的交点即
9、为直线与平面的交点M，直线与的交点即为直线与平面的交点N，所以所以，所以，又平面平面，所以直线平面（2）设G为的中点，则，因为平面平面，且它们的交线是，所以平面，所以平面的一个法向量，设是平面的法向量，则，令，得，所以二面角的大小是21解：（1）设，根据题意得，解得（2）由中线长公式，又因为，所以设，记，则，从而，即，同理，所以，带入，得整理，得由得，因为，所以a的最小值为7，此时，即直线l的斜率为又点在椭圆内，于是两条直线均满足要求综上，a的最小值是7，此时直线l的方程为或22（1）（2）由（1）知，方程即为，显然是的解，设，则且只有，所以在上单调递增，所以方程方程有唯一的解（3）由（2）知，当时，即，特别地，取，得设，当时，所以在区间上单调递减，当时，即，特别地，取，得