1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 选修2-2 导数及其应用 第一章 研究函数，从量的方面研究事物运动变化是微积分的基本方法从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产生了公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述比如庄子一书中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣”这些都是朴素的、也是很典型的极限思想归
2、纳起来，微积分大约解决四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题第二类问题是求曲线的切线的问题第三类问题是求函数的最大值和最小值问题第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积1.1 导 数第1课时 函数的平均变化率第一章 课堂典例探究 2课 时 作 业 3课前自主预习 1课前自主预习你登过泰山吗？登山过程中，你会体验到“六龙过万壑”的雄奇，感受到“会当凌绝顶，一览众山小”的豪迈当爬到“十八盘”时，你感觉怎样？是平缓的山好攀登，还是陡峭的山好攀登？你能从数学的角度来反映山坡的平缓和陡峭程度吗？1.过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线斜率是
3、什么？2平均速度的定义是什么？答案：1.当x1x2时，直线P1P2的斜率k y1y2x1x2；当x1x2时，直线的斜率不存在2平均速度：指物体的运动过程中的路程与时间的比值.一、函数的平均变化率一般地，已知函数yf(x)，x0，x1是定义域内不同的两点，记xx1x0，yy1y0f(x1)f(x0)f(x0 x)f(x0)，则当x0时，商fx0 xfx0 xyx(*)称作函数yf(x)在区间x0，x0 x(x0)(或x0 x，x0(x0)之间的平均速度不大于5，则t的取值范围是_答案(0,1解析 质点在2到2t之间的平均速度为v2t21221t4tt2t4t.又 v5，即4t5，所以t1.又t0
4、，所以t的取值范围为(0,1导学号05300001课堂典例探究函数的平均变化率求函数yf(x)1x 在区间1,1x内的平均变化率分析 解决此问题的关键是求函数的增量y.导学号05300002解析 yf(1x)f(1)11x11 1x1x 11x1 1x 1xx1 1x 1x.函数y1x 在区间1,1x内的平均变化率为 yx 11 1x 1x.方法总结 解答过程中，要正确地运用公式，利用分子有理化来简化从结果可以得到，当x取不同的值时，函数的平均变化率也不同平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说曲线的陡峭程度是平均变化率的“视觉化”已知函数f(x)x2x的图象上一点(1，2)及邻近一点(1
5、x，2y)，则yx为()A3 B3x(x)2C3(x)2D3x答案 D导学号05300003解析 yf(1x)f(1)(1x)2(1x)(2)(x)23x，yxx23xxx3.故选D.求运动物体的平均速度以初速度v0竖直上抛一物体的位移(单位：m)与时间(单位：s)的关系为：s(t)v0t12gt2.(1)求物体从时刻t0到时刻t0t这段时间的平均速度 v；(2)求物体在t10s到10.4s这段时间的平均速度分析 此题关键在于求出ss(t0t)s(t0)，再求 v st.导学号05300004解析(1)由t0到t0t，则改变量为t.ss(t0t)s(t0)v0(t0t)12g(t0t)2v0t
6、012gt20tv0gt0t12g(t)2.v sttv0gt0t12gt2tv0gt012gt.(2)当t010s，t0.4s，则物体在t10s到10.4s这段时间的平均速度vv010g12g0.4v010.2g(m/s)方法总结 在这里平均速度就是一个平均变化率的问题因此，只有正确理解平均变化率的概念，才能正确研究与平均速度有关的问题已知物体做自由落体运动的运动方程为s12gt2(g为重力加速度)求：(1)物体在t0到t0t这段时间的平均速度；(2)物体在t110s到t210.1s这段时间内的平均速度导学号05300005解析(1)当t由t0取得一个改变量t时，s取得相应改变量为s12g(
7、t0t)212gt20gt0t12g(t)2.因此，在t0到t0t这段时间内，物体的平均速度为v stgt0t12gt2tgt012t.(2)当t110s，t0.1s时，在t1到(t1t)这段时间内，物体的平均速度为 vg10120.1 10.05g.平均变化率的几何意义过曲线yf(x)x3上两点P(1,1)和Q(1x,1y)作曲线的割线，求出当x0.1时割线的斜率分析 割线PQ的斜率即为函数f(x)从1到1x的平均变化率yx.导学号05300006解析 yf(1x)f(1)(1x)313x3(x)2(x)3，割线PQ的斜率yxx33x23xx(x)23x3.当x0.1时，割线PQ的斜率k y
8、x(0.1)230.133.31.方法总结 如图所示，函数f(x)的平均变化率的几何意义是：直线AB的斜率事实上：kAByAyBxAxBfx2fx1x2x1yx.根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率求函数f(x)x3在区间x0，x0 x上的平均变化率错解 函数f(x)x3在x0，x0 x上的平均变化率为fx0fx0 xxx30 x0 x3xx30 x303x0 x23x20 xx3x3x203x0 x(x)23x203x0 x(x)2.导学号05300007辨析 在解答本题的过程中，易出现yf(x0)f(x0 x)，从而使 yx 计算错误的情况，导致这种情况的原因是平均变化率的意义理解不清造成的正解 函数f(x)x3在x0，x0 x上的平均变化率为fx0 xfx0 xx0 x3x30 xx303x20 x3x0 x2x3x30 x3x203x0 x(x)2.函数的平均变化率平均变化率的定义平均变化率的几何意义平均速度的求法课 时 作 业（点此链接）