1、第三章 三角函数、解三角形 第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式第三章 三角函数、解三角形 主干知识梳理 一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式1C()：cos()；2C()：cos()；3S()：sin()；cos cos sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin 第三章 三角函数、解三角形 4S()：sin()sin cos cos sin；5T()：tan()tan tan 1tan tan；6T()：tan()tan tan 1tan tan 第三章 三角函数、解三角形 二、二倍角的正弦、余弦、正切公式 1S2：sin 2 2sin cos；2C2
2、：cos 2 cos2 sin2 2cos2 1 12sin2；3T2：tan 2 2tan 1tan2第三章 三角函数、解三角形 三、常用的公式变形 1tan tan tan()(1tan tan )；2cos2 1cos 22，sin2 1cos 22；31sin 2(sin cos )2，1sin 2(sin cos )2，sin cos 2sin 4.第三章 三角函数、解三角形 基础自测自评1sin 68sin 67sin 23cos 68的值为()A 22 B.22C.32D1B 原式sin 68cos 23cos 68sin 23 sin(6823)sin 45 22.第三章 三角
3、函数、解三角形 2(2014郑州模拟)已知 x2，0，cos x45，则 tan 2x()A.724B 724C.247D247第三章 三角函数、解三角形 3已知 sin 23，则 cos(2)等于()A 53B19C.19D.53B cos(2)cos 2(12sin2)2sin21249119.第三章 三角函数、解三角形 4(教材习题改编)若 cos 45，是第三象限角，则 sin 4_解析 由已知条件 sin 1cos235，sin4 22 sin 22 cos 7 210.答案 7 210第三章 三角函数、解三角形 5若 tan 4 25，则 tan _解析 tan4 tan 11ta
4、n 25，即 5tan 522tan.则 7tan 3，故 tan 37.答案 37第三章 三角函数、解三角形 关键要点点拨1两角和与差的三角函数公式的理解：(1)正弦公式概括为“正余，余正符号同”“符号同”指的是前面是两角和，则后面中间为“”号；前面是两角差，则后面中间为“”号(2)余弦公式概括为“余余，正正符号异”(3)二倍角公式实际就是由两角和公式中令所得特别地，对于余弦：cos 2cos2sin22cos2112sin2，这三个公式各有用处，同等重要，特别是逆用即为“降幂公式”，在考题中常有体现第三章 三角函数、解三角形 2重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角
5、为：对角的分拆要尽可能化成已知角、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形第三章 三角函数、解三角形 典题导入已知函数 f(x)Acosx46，xR，且 f3 2.(1)求 A 的值；(2)设，0，2，f4 43 3017，f4 23 85，求 cos()的值三角函数公式的应用第三章 三角函数、解三角形 听课记录(1)因为 f3 Acos126Acos4 22 A 2，所以 A2.(2)由 f443 2cos362cos
6、2 2sin 3017，得 sin 1517，又 0，2，所以 cos 1sin2 817.第三章 三角函数、解三角形 由 f423 2cos662cos 85，得 cos 45，又 0，2，所以 sin 1cos235，所以 cos()cos cos sin sin 817451517351385.第三章 三角函数、解三角形 互动探究本例中条件若变为“f5 53 65，cos()1213且，试求 sin 的值”第三章 三角函数、解三角形 解析 由 f553 65，得 sin 35.又 cos()1213，02，sin()112132 513.cos 45.sin sin()sin()cos
7、cos()sin，sin 513451213351665.第三章 三角函数、解三角形 规律方法两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用、的三角函数表示的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的第三章 三角函数、解三角形 跟踪训练1(1)已知 sin 35，2，则cos 22sin 4_(2)(2014济南模拟)已知 为锐角，cos 55，则 tan4 2()A3 B17C43D7第三章 三角函数、解三角形 解析(1)cos 22sin4cos2sin2222 sin 22 cos cos sin，sin 35，2，cos
8、45.原式75.第三章 三角函数、解三角形(2)依题意得，sin 2 55，故 tan 2，tan 2 221443，所以 tan42 14314317.答案(1)75(2)B第三章 三角函数、解三角形 典题导入(2014德州一模)已知函数 f(x)2cos2x2 3sin x.(1)求函数 f(x)的最小正周期和值域；(2)若 为第二象限角，且 f 3 13，求cos 21cos 2 sin 2 的值三角函数公式的逆用与变形应用第三章 三角函数、解三角形 听课记录(1)f(x)2cos2x2 3sin x1cos x 3sin x12cosx3，周期 T2，f(x)的值域为1，3(2)f3
9、13，12cos 13，即 cos 13.为第二象限角，sin 2 23.第三章 三角函数、解三角形 cos 21cos 2sin 2cos2sin22cos22sin cos cos sin 2cos 132 232312 22.第三章 三角函数、解三角形 规律方法运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan tan tan()(1tan tan)和二倍角的余弦公式的多种变形等第三章 三角函数、解三角形 跟踪训练2(1)已知 sin 6 cos 4 35，则 sin 3 的值为()A.45 B.35C.32D.35(2)若 34，则(1tan )(1
10、tan )的值是_第三章 三角函数、解三角形 解析(1)由条件得 32 sin 32cos 4 35，即12sin 32 cos 45.sin3 45.(2)1tan34 tan()tan tan 1tan tan，tan tan 1tan tan.1tan tan tan tan 2，即(1tan)(1tan)2.答案(1)A(2)2第三章 三角函数、解三角形 典题导入(1)(2014南昌月考)已知 tan()12，tan 17，且，(0，)，求 2 的值角的变换第三章 三角函数、解三角形 听课记录 tan tan()tan（）tan 1tan（）tan 1217112（17）131(0，)
11、，04tan(2)tan()tan（）tan 1tan（）tan 121311213 第三章 三角函数、解三角形 又tan 170.(0，)(2，)2(，0)234.答案 43第三章 三角函数、解三角形(2)(2012江苏高考)设 为锐角，若 cos 6 45，则 sin2 12的值为_听课记录 因为 为锐角，cos6 45，所以 sin6 35，sin 26 2425，第三章 三角函数、解三角形 cos 26 725，所以 sin2 12 sin26 42425 22 725 22 17 250.答案 17 250第三章 三角函数、解三角形 规律方法1当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表
12、示为两个“已知角”的和或差的形式；2当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”第三章 三角函数、解三角形 3常见的配角技巧：22；()；()；12()()；12()()；4 2 4 ；4 4 .第三章 三角函数、解三角形 跟踪训练3设 tan 25，tan 4 14，则 tan 4()A.1318 B.1322C.322D.16第三章 三角函数、解三角形 C tan4 tan()4 tan（）tan41tan（）tan4 322.第三章 三角函数、解三角形(2012福建高考)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都
13、等于同一个常数：sin213cos217sin 13cos 17；sin215cos215sin 15cos 15；sin218cos212sin 18cos 12；【创新探究】特殊与一般思想在三角变换中的应用第三章 三角函数、解三角形 sin2(18)cos248sin(18)cos 48；sin2(25)cos255sin(25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论第三章 三角函数、解三角形【思路导析】选择某个化简求值，观察规律推广到一般结论并给出证明【解析】解法一：(1)选择式，计算如下：
14、sin215cos215sin 15cos 15 112sin 3011434.第三章 三角函数、解三角形(2)三角恒等式为 sin2cos2(30)sin cos(30)34.证明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin2(cos 30cos sin 30sin)2sin(cos 30cos sin 30sin)第三章 三角函数、解三角形 sin234cos2 32 sin cos 14sin2 32 sin cos 12sin2 34sin234cos234.解法二：(1)同解法一(2)三角恒等式为 sin2cos2(30)sin cos(30)34.第三章 三角函数、解
15、三角形 证明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)1cos 221cos（602）2sin(cos 30cos sin 30sin)1212cos 21212(cos 60cos 2sin 60sin 2)32 sin cos 12sin2 第三章 三角函数、解三角形 1212cos 21214cos 2 34 sin 2 34 sin 214(1cos 2)114cos 21414cos 234.【高手支招】本题主要考查和差公式，二倍角公式等基础知识，着重考查学生由特殊到一般的归纳探究能力体现了特殊与一般思想，化归与转化思想的运用，较好地体现了高考命题创新这一要求第三章 三角函
16、数、解三角形 体验高考1(2013重庆高考)4cos 50tan 40()A.2 B.2 32C.3D2 21第三章 三角函数、解三角形 C 4cos 50tan 404cos 50sin 40cos 40 4sin 40cos 40cos 40sin 40cos 40 2sin 80sin 40cos 402cos 10sin 40cos 40 2cos 10sin（3010）cos 4032cos 10 32 sin 10cos 40 3（cos 30cos 10sin 30sin 10）cos 40 3cos 40cos 40 3.第三章 三角函数、解三角形 2(2012山东高考)若 4
17、，2，sin 2 3 78，则 sin ()A.35B.45C.74D.34第三章 三角函数、解三角形 D 利用二倍角的三角函数公式和同角三角函数关系求解 4，2，22，.cos 2 1sin2218，sin 1cos 2234.第三章 三角函数、解三角形 3(2012重庆高考)设 tan ，tan 是方程 x23x20 的两根，则 tan()的值为()A3 B1C1 D3A 利用两角和的正切公式求解 tan，tan 是方程 x23x20 的两根，tan tan 3，tan tan 2，tan()tan tan 1tan tan 3123.第三章 三角函数、解三角形 4(2013四川高考)设 sin 2sin ，2，则 tan 2的值是_解析 sin 2sin，2sin cos sin.又2，cos 12.第三章 三角函数、解三角形 sin 1cos2 32.sin 2 32，cos 22cos2112.tan 2sin 2cos 2 3.答案 3第三章 三角函数、解三角形 课时作业