1、2015-2016学年河北省沧州市高三（上）质检数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1复数（i为虚数单位）的共轭复数为（）ABCD2设集合I=x|x|3，xZ，A=1，2，B=2，1，2，则A（CIB）=（）A1B1，2C2D0，1，23cos735=（）ABCD4在三棱柱ABCA1B1C1中，A1A平面ABC，AB=2BC，AC=AA1=BC，则直线AB1与平面BB1C1C所成的角的正切值为（）ABCD5已知等差数列an的前n项和为Sn，S5=20，则6a4+3a5=（）A20B4C12D206在四边形ABCD中，M
2、为BD上靠近D的三等分点，且满足=x+y，则实数x，y的值分别为（）A，B，C，D，7设Sn为等比数列an的前n项和，记命题甲：4a2a4=0，命题乙：S4=5S2，则命题甲成立是命题乙成立的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件8已知某几何体的三视图如图，根据图中的标出的尺寸（单位：dm），可得这个几何体的体积是（）A dm3B dm3C dm3D3dm39在平行四边形ABCD中，AC=5，BD=4，则=（）ABCD10设变量x，y满足约束条件，则满足dx=4x+y的t的最大值为（）Ae4Be1C1De11函数f（x）=，若f（t）1，则使函数g（t）=t+为减
3、函数的a的取值范围是（）A（，B（0，）C（0，D（，1）12如图所示：一张正方形状的黑色硬质板，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形的图形，设小矩形的长、宽分别为a，b（2a10），剪去部分的面积为8，则+的最大值为（）A1BCD2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13已知数列an，点（1，a1），（2，a2）（n，an）均在同一条斜率大于零的直线上，满足a1=1，a3=a4，则数列an的前n项和为14已知函数f（x）=x2+ax+c（a0，b0）则函数g（x）=alnx+在点（b，g（b）处切线的斜率最小值是15在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若2ccosB=2a+b
4、，ABC的面积为S=c，则ab的最小值为16定义函数：G（x）=，下列结论正确的G（a）G（b）=G（a+b）；G（a）+G（b）2G（）；G（a+b）1+a+b；G（ab）=G（a）G（b）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若tanA=3，cosC=，c=4（1）求角B；（2）求ABC的面积18已知数列an的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意的nN*，都有2，an，Sn为等差数列（1）求数列an的通项公式；（2）设数列bn的通项公式是bn=，试比较bn的前n项和Tn与的大小19设函数h（x）=x2mx，g（x）=ln
5、x（）设f（t）=m（sinx+cosx）dx且f=2，若函数h（x）与g（x）在x=x0处的切线平行，求这两切线间的距离；（）任意x0，不等式h（x）g（x）恒成立，求实数m的取值范围20如图，在ABC中，AOBC于O，OB=2OA=2OC=4，点D，E，F分别为OA，OB，OC的中点，BD与AE相交于H，CD与AF相交于G，将ABO沿OA折起，使二面角BOAC为直二面角（）在底面BOC的边BC上是否存在一点P，使得OPGH，若存在，请计算BP的长度；若不存在，请说明理由；（）求二面角AGHD的余弦值21已知f（x）是定义在（0，+）上的函数，且对任意正数x，y都满足f（xy）=f（x）+f
6、（y），且当x1时，f（x）0，f（3）=1（1）求几何A=x|f（x）f（x1）+2；（2）比较f（a+1lna）与f（+1+lna）的大小，并说明理由22设函数f（x）=ax（1）若a=0，求f（x）的单调增区间；（2）当b=1时，若存在x1，x2e，e2，使f（x1）f（x2）+a成立，求实数a的最小值（其中e为自然对数的底数）2015-2016学年河北省沧州市高三（上）质检数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1复数（i为虚数单位）的共轭复数为（）ABCD【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】先
7、对复数进行化简运算，由共轭复数的定义可得答案【解答】解： =，复数（i为虚数单位）的共轭复数为，故选：B2设集合I=x|x|3，xZ，A=1，2，B=2，1，2，则A（CIB）=（）A1B1，2C2D0，1，2【考点】交、并、补集的混合运算【分析】把集合A用列举法表示，然后求出CIB，最后进行并集运算【解答】解：因为I=x|x|3，xZ=2，1，0，1，2，B=2，1，2，所以，CIB=0，1，又因为A=1，2，所以A（CIB）=1，20，1=0，1，2故选D3cos735=（）ABCD【考点】三角函数的化简求值【分析】利用诱导公式，两角和与差的余弦函数公式解答【解答】解：cos735=cos
8、15=cos（4530）=cos45cos30+sin45sin30=故选：D4在三棱柱ABCA1B1C1中，A1A平面ABC，AB=2BC，AC=AA1=BC，则直线AB1与平面BB1C1C所成的角的正切值为（）ABCD【考点】异面直线及其所成的角【分析】证明AC平面BB1C1C，连接CB1，则CB1A为直线AB1与平面平面BCC1B1所成的角，由此能求出直线AB1与平面BCC1B1所成角的正切值【解答】解：由题意，设BC=1，则AB=2，AC=AA1=，ACBC，ACCC1，AC平面BB1C1C，连接CB1，则CB1A为直线AB1与平面平面BCC1B1所成的角，CB1=2，tanCB1A=
9、，故选B5已知等差数列an的前n项和为Sn，S5=20，则6a4+3a5=（）A20B4C12D20【考点】等差数列的前n项和【分析】求出数列的第三项，然后化简所求的表达式，求解即可【解答】解：等差数列an的前n项和为Sn，公差为d，S5=20，可得a3=4，6a4+3a5=6（a3+d）+3（a3+2d）=3a3=12故选：C6在四边形ABCD中，M为BD上靠近D的三等分点，且满足=x+y，则实数x，y的值分别为（）A，B，C，D，【考点】平面向量的基本定理及其意义【分析】可画出图形，根据向量加法、减法，及数乘的几何意义便有，这样根据平面向量基本定理便可得出x，y的值，从而找出正确选项【解答
10、】解：如图，=；又；故选：A7设Sn为等比数列an的前n项和，记命题甲：4a2a4=0，命题乙：S4=5S2，则命题甲成立是命题乙成立的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合等比数列的性质和通项公式的计算进行判断即可【解答】解：若4a2a4=0，则4a2=a4，即，解得q=2，当q=1时，S4=5S2，不成立，即q1，则由S4=5S2，得=5，即1q4=5（1q2），即（1q2）（1+q2）=5（1q2），则（1q2）（q24）0，即q2=1或q2=4，即q=2或q=1（舍）或q=1
11、，则命题甲成立是命题乙成立的充分不必要条件，故选：A8已知某几何体的三视图如图，根据图中的标出的尺寸（单位：dm），可得这个几何体的体积是（）A dm3B dm3C dm3D3dm3【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知几何体左、右各是半球和两个圆柱，半球的直径是2，圆柱的高为2，底面直径为2，中间圆柱的高为3，底面直径为1，由体积公式可得结论【解答】解：由三视图可知几何体左、右各是半球和两个圆柱，半球的直径是2，圆柱的高为2，底面直径为2，中间圆柱的高为3，底面直径为1，由体积公式得V=dm3故选：B9在平行四边形ABCD中，AC=5，BD=4，则=（）ABCD【考点】平面向量数量
12、积的运算【分析】利用向量加法、减法的三角形法则把用向量表示，平方后作差得答案【解答】解：，=，则=故选：C10设变量x，y满足约束条件，则满足dx=4x+y的t的最大值为（）Ae4Be1C1De【考点】简单线性规划【分析】画出满足条件的平面区域，求出z的最大值，从而求出t的最大值即可【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，设z=4x+y，由，解得，当直线y=4x+z过A（，），z最大，故z的最大值是，dx=lnt，故t故选：D11函数f（x）=，若f（t）1，则使函数g（t）=t+为减函数的a的取值范围是（）A（，B（0，）C（0，D（，1）【考点】分段函数的应用【分析】根据分段函数，先
13、求出3t0，再根据g（t）=t+为减函数，则g（t）=10，在（3，0）上恒成立，解得即可【解答】解：当x1时，f（x）=（）x7f（1）=5，当x1时，f（x）=f（1）=0，f（t）1，（）t71，或1，解得3t1，1t0，3t0，g（t）=t+为减函数，g（t）=10，在（3，0）上恒成立，t2=9，解得0a，故选：C12如图所示：一张正方形状的黑色硬质板，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形的图形，设小矩形的长、宽分别为a，b（2a10），剪去部分的面积为8，则+的最大值为（）A1BCD2【考点】基本不等式在最值问题中的应用【分析】由题意，2ab=8，b=，从而将问题转化为关于a的函数
14、，利用基本不等式，即可得出结论【解答】解：由题意，2ab=8，b=，2a10，+=+=1+=，当且仅当a=，即a=6时， +的最大值为，故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13已知数列an，点（1，a1），（2，a2）（n，an）均在同一条斜率大于零的直线上，满足a1=1，a3=a4，则数列an的前n项和为n2【考点】数列的求和【分析】设直线方程为y=kx+b，k0，则an=kn+b，得到anan1=k，由等差数列的定义，得到数列an为递增的等差数列，再根据a1=1，a3=a4，求出公差，根据数列的前n项和公式计算即可【解答】解：设直线方程为y=kx+b，k0，则an=kn+b，a
15、nan1=k，由等差数列的定义，数列an为递增的等差数列，由a1=1，a3=a4，得到1+2k=（1+k）24，解得k=2，an=2n1，数列an的前n项和为Sn=n2，故答案为：n214已知函数f（x）=x2+ax+c（a0，b0）则函数g（x）=alnx+在点（b，g（b）处切线的斜率最小值是2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】根据已知条件得到g（x）=alnx+的导函数，根据限制性条件a0，b0和基本不等式进行解答【解答】解：因为g（x）=alnx+，所以g（x）=+又因为a0，b0，所以g（b）=+=+2，所以斜率的最小值是2故答案是：215在ABC中，角A、B、C的对边分
16、别为a、b、c，若2ccosB=2a+b，ABC的面积为S=c，则ab的最小值为【考点】余弦定理；正弦定理【分析】由条件里用正弦定理、两角和的正弦公式求得cosC=，C=根据ABC的面积为S=absinC=ab=c，求得c=3ab再由余弦定理化简可得9a2b2=a2+b2+ab3ab，由此求得ab的最小值【解答】解：在ABC中，由条件用正弦定理可得2sinCcosB=2sinA+sinB=2sin（B+C）+sinB，即 2sinCcosB=2sinBcosC+2sinCcosB+sinB，2sinBcosC+sinB=0，cosC=，C=由于ABC的面积为S=absinC=ab=c，c=3a
17、b再由余弦定理可得c2=a2+b22abcosC，整理可得9a2b2=a2+b2+ab3ab，当且仅当a=b时，取等号，ab，故答案为：16定义函数：G（x）=，下列结论正确的G（a）G（b）=G（a+b）；G（a）+G（b）2G（）；G（a+b）1+a+b；G（ab）=G（a）G（b）【考点】分段函数的应用【分析】画出函数G（x）=的图象，数形结合逐一分析四个结论的真假，可得答案【解答】解：G（x）=的图象如下图所示：当a0，b0时，G（a）G（b）=G（a+b）不成立，故错误；函数在y轴左侧的图象平等于x轴不具有凸凹性，函数在y轴右侧为凹函数，故G（a）+G（b）2G（）恒成立，故正确；由
18、图可得：G（x）1+x恒成立，故G（a+b）1+a+b恒成立，故正确；当a，b2时，G（ab）=G（a）G（b）不成立，故错误；故正确的结论是：，故答案为：三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若tanA=3，cosC=，c=4（1）求角B；（2）求ABC的面积【考点】正弦定理；两角和与差的正切函数【分析】（1）根据cosC可求得sinC和tanC，根据tanB=tan（A+C），可求得tanB，进而求得B（2）先由正弦定理可求得b，根据sinA=sin（B+C）求得sinA，进而根据三角形的面积公式求得面积【解答】（本题满分为
19、10分）解：（1）cosC=，sinC=，可得：tanC=2，2分tanB=tan（A+C）=1，又0B，B=4分（2）由正弦定理，可得b=，由sinA=sin（B+C）=sin（+C）得，sinA=ABC面积为：S=bcsinA=610分18已知数列an的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意的nN*，都有2，an，Sn为等差数列（1）求数列an的通项公式；（2）设数列bn的通项公式是bn=，试比较bn的前n项和Tn与的大小【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）利用等差数列的性质得到，两式相减可以推知an=2an1，结合等比数列的定义写出数列an的通项公式；（2）把（1）中求得的结果
20、代入bn=，求出bn，利用裂项相消法求出Tn【解答】解：（1）由已知得：，故Sn+1Sn=an+1=2（an+1an），即an+1=2an，当n=1时，a1=2a12，则a1=2故数列an是以2为首项，公比q=2的等边数列，所以an=22n1=2n；（2）由（1）知，an=2n则bn=（），所以Tn=b1+b2+b3+bn=（1+）=（1+）=（+）19设函数h（x）=x2mx，g（x）=lnx（）设f（t）=m（sinx+cosx）dx且f=2，若函数h（x）与g（x）在x=x0处的切线平行，求这两切线间的距离；（）任意x0，不等式h（x）g（x）恒成立，求实数m的取值范围【考点】利用导数研
21、究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题；定积分【分析】（）运用定积分的运算法则和三角函数的特殊值，可得m=1，分别求出g（x），h（x）的导数，求得切线的斜率，切点，再由点斜式方程可得切线的方程，再由两直线平行间的距离，计算即可得到所求；（）任意x0，不等式h（x）g（x）恒成立，即为x2mxlnx0，由x0，可得mx，设F（x）=x，求出导数，讨论x1，0x1导数的符号，判断单调性，可得最小值，即可得到m的范围【解答】解：（）f（t）=m（sinx+cosx）dx=m（sinxcosx）|=m（sintcost）（10）=m（sintcost1），f=2，可得m（11）=2，解得m=1，则h（
22、x）=x2+x的导数为h（x）=2x+1，g（x）=lnx的导数为g（x）=，由题意可得2x0+1=，解得x0=（1舍去），即有h（x）在x=处的切线的方程为y=2（x），即为2xy=0；g（x）在x=处的切线的方程为yln=2（x），即为2xy1ln2=0则两切线间的距离为d=；（）任意x0，不等式h（x）g（x）恒成立，即为x2mxlnx0，由x0，可得mx，设F（x）=x，F（x）=1=，当x1时，F（x）0，F（x）递增；当0x1时，F（x）0，F（x）递减即有x=1处取得极小值，且为最小值1，则有m1，即m的取值范围是（，120如图，在ABC中，AOBC于O，OB=2OA=2OC=4
23、，点D，E，F分别为OA，OB，OC的中点，BD与AE相交于H，CD与AF相交于G，将ABO沿OA折起，使二面角BOAC为直二面角（）在底面BOC的边BC上是否存在一点P，使得OPGH，若存在，请计算BP的长度；若不存在，请说明理由；（）求二面角AGHD的余弦值【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法【分析】（）根据条件便知H，G分别为AOB，AOC的重心，从而有GHEFBC，并可说明BOC为直角，过O作OPBC，从而有OPGH，而根据摄影定理便有，这样即可求出BP的长度；（）根据上面知OB，OC，OA三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直
24、角坐标系，从而可以根据条件求出图形上一些点的坐标，从而可以得到向量的坐标，可设平面AGH的法向量为，而根据即可求出，同样的方法可以求出平面DGH的一个法向量，根据cos=即可得出二面角AGHD的余弦值【解答】解：（）H，G分别为AOB和AOC的重心；连接EF，则GHEF；由已知，EFBC，GHBC；OAOB，OAOC，二面角BOAC为直二面角；BOC为直角；在RtBOC中，过O作BC的垂线，垂足为P，OPBC，又BCGH；OPGH，则由摄影定理得：OB2=BPBC；（）分别以OB，OC，OA为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：O（0，0，0），A（0，0，2），D（0，0，1），B
25、（4，0，0），C（0，2，0），H（），；，；设为平面AGH的法向量，则：；取x1=1，则y1=2，z1=1，；设为平面DGH的法向量，则：；取x2=1，则；由图可知二面角AGHD为锐角，该二面角的余弦值为21已知f（x）是定义在（0，+）上的函数，且对任意正数x，y都满足f（xy）=f（x）+f（y），且当x1时，f（x）0，f（3）=1（1）求几何A=x|f（x）f（x1）+2；（2）比较f（a+1lna）与f（+1+lna）的大小，并说明理由【考点】抽象函数及其应用【分析】形如f（xy）=f（x）+f（y）的函数模型，它的原型就是对数函数y=logax； （1）是通过抽象函数的单调性，
26、脱掉”f“，解不等式； （2）由f（x）的单调性，去掉”f“，实际上就是比较，a+1lna与+1+lna的大小，可用做差法【解答】解：（1）设x1x20，则由条件可知f（）0，又f（x1）=f（）=f（）+f（x2）f（x2），f（x）是定义在（0，+）上的函数增函数 由f（x）f（x1）+2，且f（9）=f（3）+f（3）=2，得到f（x）f（，9（x1），即，1x集合Ax|1x（2）由x0时，lnxx+1可知，a+1lna0， +1+lna0 a+1lna（+1+lna）=a2lna，记 g（a）=a2lna，g（a）=1=（）20，g（a）=a2lna在（0，+）上是单调增函数，且g（1
27、）=0，当a1时，a+1lna+1+lna，f（a+1lna）f（+1+lna）；当a1时，a+1lna+1+lna，f（a+1lna）f（+1+lna）；当a=1时，a+1lna=+1+lna，f（a+1lna）=f（+1+lna）；综上所述：当a1时，a+1lna+1+lna，f（a+1lna）f（+1+lna）； 当a1时，a+1lna+1+lna，f（a+1lna）f（+1+lna）； 当a=1时，a+1lna=+1+lna，f（a+1lna）=f（+1+lna）22设函数f（x）=ax（1）若a=0，求f（x）的单调增区间；（2）当b=1时，若存在x1，x2e，e2，使f（x1）f（
28、x2）+a成立，求实数a的最小值（其中e为自然对数的底数）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求f（x）=的定义域，再求导f（x）=b，从而讨论确定函数的单调性；（2）当b=1时，f（x）=ax，f（x）=a，从而可得当x2=e2时，f（x2）+a有最大值，从而只需使存在x1e，e2，使f（x1）0，从而可得a，从而解得【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=的定义域为（0，1）（1，+），f（x）=b，当b0时，x（e，+）时，f（x）0；故f（x）的单调增区间为（e，+）；当b0时，x（0，1）（1，e）时，f（x）0；故f（x）的单调增区间为（0，1），（1，e）；（2）当b=1时，f（x）=ax，f（x）=a，故f（x2）+a=（）2+，故当x2=e2时，f（x2）+a有最大值，故只需使存在x1e，e2，使f（x1），故ax1，即a，令g（x）=，g（x）=；故g（x）=在e，e2上是减函数，g（e）=1，g（e2）=；故只需使a；故实数a的最小值为2016年12月7日