1、试卷第 1页，总 6页高二下理科数学间周测（八)一、单选题1设 xR，则“23x”是“21x”的（）A充分不必要条件B必要条件C充分条件D既不充分也不必要条件2下列计算错误的是（）Asin0 xdxB12014x dxC1021dx D1122102x dxx dx3已知 ab1，则11a 与11b 的大小关系是()A11a 11b B11a 11b C11a 11b D11a 11b 4某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为20,40，40,60，60,80，80,100，若低于 60 分的人数是 30 人，则该班的学生人数是()A45B50C75D1005设
2、,x y R，且0 xy，则222241xyyx的最小值为（）A 9B9C10D06在极坐标系下，极坐标方程302（0）表示的图形是（）A两个圆B一个圆和一条射线C两条直线D一条直线和一条射线试卷第 2页，总 6页7已知点 A 是曲线2213xy 上任意一点，则点 A 到直线sin()66 的距离的最大值是（）A62B6C 362D 2 68已知函数()f x 是定义在 R 上的偶函数，且满足2(01),2()1(1)xxxxf xxxe ，若函数()()F xf xm有 6 个零点，则实数 m 的取值范围是A211(,)16 eB211(,0)(0,)16eC210,eD210,)e二、填空
3、题9连掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n，记向量,am n 与向量1,1b的夹角为，则 为锐角的概率是_10过抛物线28yx的焦点的一条直线交抛物线与,A B 两点，正三角形 ABC 的顶点C 在直线2x 上，则 ABC的边长是_.三、解答题11已知 20 f xaxaxa a.（1）当1a 时,求 f xx的解集;（2）若不存在实数 x,使 3f x 成立,求 a 的取值范围.试卷第 3页，总 6页12已知某圆的极坐标方程为24 2 cos604求：（1）圆的直角坐标方程和参数方程；（2）在圆上所有的点(,)x y 中，xy 的最大值和最小值13某学校随机抽取 100 名考生的某次考试成
4、绩，按照75，80），80，85），85，90），90，95），95，100（满分 100 分）分为 5 组，制成如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于 75 分）已知第 3 组，第 4 组，第 5 组的频数成等差数列；第1 组，第 5 组，第 4 组的频率成等比数列（1）求频率分布直方图中 a 的值，并估计抽取的 100 名学生成绩的中位数和平均数 x（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）若从第 3 组、第 4 组、第 5 组中按分层抽样的方法抽取 6 人，并从中选出 3 人，求这 3 人中至少有 1 人来自第 4 组的概率试卷第 4页，总 6页14如图，四边形 A
5、BCD 是菱形，EA 平面 ABCD，/EFAC，/CF平面 BDE，G 是 AB 中点 1 求证：/EG平面 BCF；2 若 AEAB，60BAD，求二面角 ABED的余弦值试卷第 5页，总 6页15已知椭圆的焦点坐标为F1(1,0)，F2(1,0)，过F2垂直于长轴的直线交椭圆于 P、Q两点，且 PQ=3.()求椭圆的方程；()过F2的直线 l 与椭圆交于不同的两点 M、N，则F1MN 的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.试卷第 6页，总 6页16已知函数 2,2.718282af xxlnxxx aR e,是自然对数的底数.（1）若
6、ae ，讨论 fx 的单调性；（2）若 fx 有两个极值点12,x x，求 a 的取值范围，并证明:1212x xxx.本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 1页，总 14页参考答案1A【解析】【分析】分析两个命题的真假即得，即命题23x21x 和21x 23x【详解】2321xx为真，但21x 时 121x 13x所以命题21x 23x为假故应为充分不必要条件故选：A【点睛】本题考查充分必要条件判断，充分必要条件实质上是判断相应命题的真假：pq为真，则 p 是q的充分条件，q是 p 的必要条件2C【解析】【分析】利用定积分的性质、几何意义、运算法则求解【详解】在 A 中
7、，-sin-cosx=-cos-cos-=0 xdx，在 B 中，根据定积分的几何意义，122011 x dx=1=44，在 C 中，11002dx=2202x，根据定积分的运算法则与几何意义，易知102211x dxx dx+120 x dx=1202 x dx，故选 C.【点睛】本题考查了定积分的计算，求定积分的方法有三种：定义法（可操作性不强），微积分基本定理法和利用定积分的几何意义求定积分.本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 2页，总 14页3B【解析】【分析】利用作差比较法得解.【详解】ab1，a10，b10，ab0.11a 11b 11baab0.11a 1
8、1b.故答案为 B【点睛】(1)本题主要考查比较法比较实数大小，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)比差的一般步骤是：作差变形（配方、因式分解、通分等）与零比下结论；比商的一般步骤是：作商变形（配方、因式分解、通分等）与 1 比下结论.如果两个数都是正数，一般用比商，其它一般用比差.4D【解析】【分析】由频率分布直方图求出低于 60 分的频率，再由低于 60 分的人数是 30 人，能求出该班的学生人数【详解】由频率分布直方图得低于 60 分的频率为：0.0050.010200.3，低于 60 分的人数是 30 人，该班的学生人数是：301000.3 故选 D【点睛】本题考查班
9、级学生人数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 3页，总 14页5B【解析】【分析】利用柯西不等式得出最小值【详解】（x224y）（y221x）（x 12 yxy）29当且仅当 xy2xy即 xy=2时取等号故选：B【点睛】本题考查了柯西不等式的应用，熟记不等式准确计算是关键，属于基础题6B【解析】【分析】将极坐标方程进行转换，结合转化之后的方程即可求得最终结果【详解】解：由题意可得，极坐标方程为：3 或2，据此可得极坐标方程表示的图形是一个圆和一条射线故选：B【点睛】本题考查极坐标方程及其应用，重点考查学生
10、对基础概念的理解，属于基础题7C【解析】【分析】先将直线sin()66 化为直角坐标系下的方程，再用椭圆的参数方程设出点 A 的坐标，利用点到直线的距离求解.【详解】本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 4页，总 14页由直线sin()66，有31sincos622，即32 60yx.又点 A 是曲线2213xy 上任意一点，设 3 cos,sinA则点 A 到直线32 60yx的距离为：3sin3 cos2 63 1d6 sin2 643 622当sin14 时取得等号.故选：C【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、椭圆的参数方程和点到直线的距离,属于中档题.
11、8C【解析】【分析】将原问题转化为两个函数有六个交点的问题，结合函数的解析式利用导数研究函数图像的变化情况，由函数图像即可确定实数 m 的取值范围.【详解】函数()()F xf xm有 6 个零点，等价于函数()yf x与 ym有 6 个交点，当01x时，2211()()2416xf xxx，当1x 时，1()xxf xe，2()exxfx，当1,2x时，()f x 递增，当(2,)x 时，()f x 递减，()f x 的极大值为：21(2)fe，作出函数()f x 的图象如下图，本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 5页，总 14页()yf x与 ym的图象有 6 个交
12、点，须210me，表示为区间形式即210,e.故选 C.【点睛】本题主要考查导函数研究函数图像的性质，数形结合的数学思想，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9 512【解析】连掷两次骰子分别得到点数 m,n,所组成的向量(m,n)的个数共有 36 种由于向量(m,n)与向量(1,1)的夹角为锐角,(m,n)(1,1)0，即 mn，满足题意的情况如下：当 m=2 时，n=1；当 m=3 时，n=1，2；当 m=4 时，n=1，2，3；当 m=5 时，n=1，2，3，4；当 m=6 时，n=1，2，3，4，5；共有 15 种，故所求事件的概率为：1553612.10
13、24【解析】【分析】由抛物线的方程与几何性质，利用ABC是正三角形，求出直线 AB 的斜率和方程，再与抛物线方程联立，求得弦长|AB|的值.本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 6页，总 14页【详解】解：抛物线方程为28yx，焦点为 2,0P，准线方程为:2l x ，如图所示，由ABC是正三角形，设 M 为 AB 的中点，11,AAl BBl MNl，垂足分别为11,A B和 N，则11111()222MNBBAAAFBFAB，32MCAB，又3cossinsin3CMNNMFAFx，直线 AB 的斜率为2323tan2313kAFx，AB 直线方程为2(2)2yx；由
14、22(2)28yxyx，消去 y，得22040 xx，1220 xx，12|20424ABxxp.故答案为：24.【点睛】本题考查了直线与抛物线方程的应用问题，也考查了弦长公式，是中档题.11(1)|1x x 或3x.(2)5a【解析】本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 7页，总 14页【分析】(1)当1a 时,不等式即21xxx,零点分段可得不等式的解集为|1x x 或3x.(2)依题意，结合绝对值三角不等式的性质可得 23f xa,据此求解绝对值不等式可得5a.【详解】(1)当1a 时,21f xxx,则 f xx即21xxx,当2x 时,原不等式可化为21xxx
15、,解得3x;当12x时,原不等式可化为21axx,解得1x ,原不等式无解;当1x 时,原不等式可化为21xxx,解得1x .综上可得,原不等式的解集为|1x x 或3x.(2)依题意得,对xR,都有 3f x,则 22f xaxaxaaxaxa23a,所以23a 或23a ,所以5a 或1a (舍去),所以5a.【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想12(1)22222xy，22cos22sinxy；(2)9,1【解析】【分析】(
16、1)先化简圆的极坐标方程化为普通方程，再根据普通方程写出圆的参数方程.(2)由(1)可知xy(22 cos)(22 sin)=322(cos sin)(cos sin)2.再换元求函数的最大值和最小值.【详解】(1)原方程可化为242(coscossinsin)4460，本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 8页，总 14页即24cos 4sin 60.因为2x2y2，xcos，ysin，所以可化为 x2y24x4y60，即(x2)2(y2)22，即为所求圆的普通方程设2(2)cos22(2)sin2xy,所以参数方程为22 cos22 sinxy(为参数)(2)由(1)
17、可知 xy(22 cos)(22 sin)422(cos sin)2cos sin 322(cos sin)(cos sin)2.设 tcos sin，则 t2 sin()4，t2，2 所以 xy322 tt2(t2)21.当 t2 时，xy 有最小值 1；当 t2 时，xy 有最大值 9.【点睛】(1)本题主要考查极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查圆的参数方程和圆中的最值问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)解决本题的关键有两点，其一是利用参数方程设点22 cos22 sinxy 其二是设 tcossin2 sin()4，t2，2 13(1)a0.04，中位数 2
18、603平均数 87.25；(2)4 5【解析】【分析】（1）根据频率之和为 1，即可求出 a 的值，再根据频率分布直方图求出平均数，中位数。（2）首先分别按比例从第 3 组、第 4 组、第 5 组中抽出 3、2、1 人，从 6 位同学中抽取 3 位同学本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 9页，总 14页有 20 种可能，找出 3 人中至少有 1 人来自第 4 组的情况。【详解】（1）设第 3 组，第 5 组的频率分别为 x，y，由题意可得22 551 50.070.0155 0.01xyaxyaya ，解得 x0.3，y0.1，a0.04，1100 x（75808085
19、8590909595 10053530201022222）87.25，由频率分布直方图知，中位数在85，90），设中位数为 m，则 0.015+0.075+0.06（m85）0.5，解得中位数 m2603（2）成绩较好的第 3 组、第 4 组、第 5 组中的人数分别为 30，20，10，按分层抽样的方法在各组抽取的人数分别为 3，2，1，设第 3 组的 3 位同学分别为 A1，A2，A3，第 4 组的 2 位同学分别为 B1，B2，第 5 组的 1 位同学为 C，则从 6 位同学中抽取 3 位同学有 20 种可能，分别为：（123AAA，），（A1，A2，B1），（A1，A2，B2），（A1，
20、A2，C），（A1，A3，B1），（A1，A3，B2），（A1，A3，C），（A1，B1，B2），（A1，B1，C），（A1，B2，C），（A2，A3，B1），（A2，A3，B2），（A2，A3，C），（A2，B1，B2），（A2，B1，C），（A2，B2，C），（A3，B1，B2），（A3，B1，C），（A3，B2，C），（B1，B2，C），这 3 人中至少有 1 人来自第 4 组包含的基本事件有 16 个，分别为：（A1，A2，B1），（A1，A2，B2），（A1，A3，B1），（A1，A3，B2），（A1，B1，B2），（A1，B1，C），（A1，B2，C），（A2，A3，B1），（A2
21、，A3，B2），（A2，B1，B2），（A2，B1，C），（A2，B2，C），（A3，B1，B2），（A3，B1，C），（A3，B2，C），（B1，B2，C），这 3 人中至少有 1 人来自第 4 组的概率为 P164205【点睛】本题主要考查了频率分布直方图以及概率，属于基础题。本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 10页，总 14页14（1）详见解析；（2）77【解析】【分析】1 设 ACBDO，连结 OE，OF，推导出/OECF，OF 平面 ABCD，以 O 为原点，OA，OB，OF 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明/EG平面 B
22、CF 2 求出平面 ABE 的法向量和平面 BDE 的法向量，利用向量法能求出二面角 ABED的余弦值【详解】1 证明：设 ACBDO，连结 OE，OF，四边形 ABCD 是菱形，EA 平面 ABCD，/EFAC，/CF平面 BDE，/COEF，EFAOCO，OF 平面 ABCD，设OAa，OBb，AEc，以 O 为原点，OA，OB，OF 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，则(,E a 0，)c，,02 2a bG，(0,Bb，0)，(,Ca0，0)，(0,F0，)c，(0,FB b，)c，(,FCa 0，)c，,22abEGc，设平面 BCF 的法向量为(,nxy，)z，则
23、00n FBbyczn FCaxcz，取 zb，得(,bcna c，)b，022abcbn EGccba ，EG 平面 BCF，E/G平面 BCF 2 设2AEAB，60BAD，1OB，3OA，3,0,0A，(0,B1，0)，3,0,2E，0,1,0D，本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 11页，总 14页3,1,2BE，3,1,0BA，0,2,0BD，设平面 ABE 的法向量(,nxy，)z，则30320n BAxyn BExyz，取1x，得1,3,0n，设平面 BDE 的法向量(,mxy，)z，则32020m BExyzm BDy，取2x，得(2,m 0，3)，设二
24、面角 ABED的平面角为，则27747m ncosm n，二面角 ABED的余弦值为77【点睛】本题主要考查了线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题15（1）x24+y23=1；（2）存在，AMN 内切圆面积最大值是916，直线方程为 x=1.【解析】(1)设椭圆方程为x2a2+y2b21(ab0)，由焦点坐标可得 c1.由|PQ|3，可得2b2a 3.又 a2b21，得 a2，b 3.故椭圆方程为x24+y231.(2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，不妨令 y10，y20，所以 f(t
25、)在1，)上单调递增，有 f(t)f(1)4，SF1MN124 3，当 t1，m0 时，SF1MN3，又 SF1MN4R，Rmax34这时所求内切圆面积的最大值为916.故F1MN 内切圆面积的最大值为916，且此时直线 l 的方程为 x1.16（1）减区间是10,e，增区间是 1,e；（2）10,e，证明见解析.【解析】【分析】（1）当 ae 时，求得函数 fx 的导函数 fx 以及二阶导函数 fx，由此求得 fx的单调区间.（2）令()0fx=求得ln xax，构造函数 ln xg xx，利用导数求得 g x 的单调区间、极值和最值，结合 fx 有两个极值点，求得 a 的取值范围.将12,
26、x x 代入 fxlnxax列方程组，由1212212212lnlnlnxxx xxaxxxxx证得1212x xxx.【详解】（1）fxlnxaxlnxex，10ef，又 10fxex，所以 fx 在(0)，单增，本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 13页，总 14页从而当10,ex时，0,fxf x递减，当1,xe时，fx 递增.（2）fxlnxax.令 ln0 xfxax，令 ln xg xx，则 21 ln xgxx故 g x 在0,e 递增，在(,)e 递减，所以 max1g xg ee.注意到当1x 时 0g x，所以当0a 时，fx 有一个极值点，当10a
27、e时，fx 有两个极值点，当1ae时，fx 没有极值点，综上10,ae因为12,x x 是 fx 的两个极值点，所以11112222ln0lnln0lnxaxxaxxaxxax不妨设12xx，得121xex，因为 g x 在(,)e 递减，且122xxx，所以1212212212lnlnlnxxxxxaxxxxx又12121212lnlnlnx xxxa xxaxx所以121212121212lnlnxxx xx xxxxxxx【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间，考查利用导数研究函数的极值点，考查利用本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 14页，总 14页导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.