1、章末质量检测(三)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知a，b，c是空间的一个基底，若pab，qab，则()Aa，p，q是空间的一个基底Bb，p，q是空间的一个基底Cc，p，q是空间的一个基底Dp，q与a，b，c中任何一个都不能构成空间的一个基底2若A，B，C，D为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是()22；2233；.A BC D3直三棱柱ABCA1B1C1中，若a，b，c，则等于()Aabc BabcCabc Dabc4已知向量a，b，且a2b，5a6b，7a2b，则一定共线的三点是()AA，B，D BA，B，CCB
2、，C，D DA，C，D5已知空间向量a(3,1,0)，b(x，3,1)，且ab，则x()A3 B1C1 D26已知向量a(1,0，1)，则下列向量中与a成60夹角的是()A(1,1,0) B(1，1,0)C(0，1,1) D(1,0,1)7已知向量i，j，k是一组单位正交向量，m8j3k，ni5j4k，则mn()A7 B20C28 D118已知A(1,0,0)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，D(1,2,0)，E(0,0,1)，则直线DE与平面ABC的关系是()A平行 BDE平面ABCC相交 D平行或DE平面ABC9如图所示，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D
3、上，且BEBB1，DFDD1.若xyz，则xyz等于()A1 B0C. D110已知a，b是两异面直线，A，Ba，C，Db，ACb，BDb且AB2，CD1，则直线a，b所成的角为()A30 B60C90 D4511已知向量a(1,2,3)，b(2，4，6)，|c|，若(ab)c7，则a与c的夹角为()A30 B60C120 D15012正方形ABCD所在平面外有一点P，PA平面ABCD.若PAAB，则平面PAB与平面PCD所成的二面角的大小为()A30 B45C60 D90二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13已知a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)，若a，b，c
4、共面，则_.14已知a(3，6，6)，b(1,3,2)为两平行平面的法向量，则_.15在平行六面体(六个面都是平行四边形的四棱柱)ABCDABCD中，AB1，AD2，AA3，BAD90，BAADAA60，则AC的长为_16在正四面体PABC中，棱长为2，且E是棱AB的中点，则的值为_三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)如图，已知ABCDA1B1C1D1是平行六面体设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上的分点，设，试求，的值18(12分)已知四边形ABCD的顶点分别是A(3，1,2)，B(1,2，1)，C(1,
5、1，3)，D(3，5,3)求证：四边形ABCD是一个梯形19.(12分)在平行六面体ABCDABCD中，a，b，c，P是CA的中点，M是CD上的中点，N是CD的中点，点Q是CA上的点，且CQQA41，用基底a，b，c表示以下向量：(1).(2).(3).(4).20(12分)已知a(x,4,1)，b(2，y，1)，c(3，2，z)，ab，bc，求：(1)a，b，c；(2)ac与bc夹角的余弦值21.(12分)如图所示，已知点P在正方体ABCDABCD的对角线BD上，PDA60.(1)求DP与CC所成角的大小(2)求DP与平面AADD所成角的大小22(12分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，
6、AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC平面AA1C1C，AB3，BC5.(1)求证：AA1平面ABC；(2)求二面角A1BC1B1的余弦值；(3)证明：在线段BC1上存在点D，使得ADA1B，并求的值章末质量检测(三)1解析：假设ck1pk2q，其中k1，k2R，即ck1(ab)k2(ab)，得(k1k2)a(k1k2)bc0，这与a，b，c是空间的一个基底矛盾，故c，p，q是空间的一个基底，故选C.答案：C2解析：中，原式2，不符合题意；中，原式2()()0；中，原式，不符合题意；中，原式()()0.故选C.答案：C3解析：如图，bac.答案：D4解析：5a6b7a2b2a4b2.所以，
7、又BD、AB都过点B，所以A，B，D三点共线答案：A5解析：根据题意知ab0，所以3x1(3)010，即3x30，解得x1.答案：C6解析：(1,0，1)(1,1,0)1，夹角不可能为60，(1,0，1)(1，1,0)1，且|(1,0，1)|(1，1,0)|，夹角恰好为60.计算可知C，D不满足题意答案：B7解析：因为m(0,8,3)，n(1,5，4)，所以mn0401228.答案：C8解析：(1,1,1)，(1,0，1)，设平面ABC的一个法向量为n(x，y,1)，则n0，n0，所以解得所以n(1,0,1)又(1，2,1)，所以n(1，2,1)(1,0,1)0，所以n，所以DE平面ABC或D
8、E平面ABC.因为(1,1，1)，所以2，所以A，B，C，D四点共面，即点D在平面ABC内，所以DE平面ABC，选B.答案：B9解析：因为()，所以x1，y1，z，所以xyz.答案：C10解析：由题意得a，b所成的角等于直线AB与CD所成的角，因为，所以()21，所以cos，所以，60.则直线 a，b所成的角为60.故选B.答案：B11解析：设向量ab与c的夹角为，因为ab(1，2，3)，所以|ab|，故cos ，所以60.因为向量ab与a的方向相反，所以a与c的夹角为120.答案：C12解析：如图，建立空间直角坐标系，设AB1，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，P(0,0，1)，D(1,
9、0,0)，C(1,1,0).(1,0，1)，(0，1,0)，则平面PAB的一个法向量n1(1,0,0)设平面PCD的法向量n2(x，y，z)，则得令x1，则z1.所以n2(1,0,1)，cosn1，n2.所以平面PAB与平面PCD所成的二面角的余弦值为.所以此角的大小为45，故选B.答案：B13解析：易知a与b不共线，由共面向量定理可知，要使a，b，c共面，则必存在实数x，y，使得cxayb，即解得答案：14解析：由题意知ab，解得2.答案：215解析：因为，所以2|2|2|2222149212cos 90213cos 60223cos 6023，即|.故AC的长为.答案：16解析：由题意，设
10、a，b，c，建立空间的一个基底a，b，c，在正四面体中(ab)，cb，所以(ab)(cb)(acabbcb2)(22cos 6022cos 6022cos 6022)1.答案：117解析：因为()()()()，又，所以，.18解析：因为(1,2，1)(3，1,2)(2,3，3)，(3，5,3)(1,1，3)(4，6,6)，又，所以和共线，即ABCD.因为(3，5,3)(3，1,2)(0，4,1)，(1,1，3)(1,2，1)(2，1，2)，又，所以AD与BC不平行，所以四边形ABCD为梯形19解析：连接AC，AD，AC.(1)()()(abc)(2)()(2)abc.(3)()()()(22)
11、abc.(4)()abc.20解析：(1)因为ab，所以，解得x2，y4，则a(2,4,1)，b(2，4，1)又bc，所以bc0，即68z0，解得z2，于是c(3，2,2)(2)由(1)得ac(5,2,3)，bc(1，6,1)，设ac与bc的夹角为，因此cos .21解析：(1)如图所示，以D为原点，DA，DC，DD分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，设DA1.则(1,0,0)，(0,0,1)连接BD，BD.在平面BBDD中，延长DP交BD于H.设(m，m,1)(m0)，由已知，60，由|cos，可得2m.解得m，所以.因为cos，所以，45，即DP与CC所成的角为45.(2)平面
12、AADD的一个法向量是(0,1,0)，因为cos，所以，60，可得DP与平面AADD所成的角为30.22解析：(1)因为AA1C1C为正方形，所以AA1AC.因为平面ABC平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线AC，所以AA1平面ABC.(2)由(1)知AA1AC，AA1AB.由题意知AB3，BC5，AC4，所以ABAC.如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz，则B(0,3,0)，A1(0,0,4)，B1(0,3,4)，C1(4,0,4)所以(0,3，4)，(4,0,0)设平面A1BC1的法向量为n(x，y，z)，则即令z3，则x0，y4，所以平面A1BC1的一个法向量为n(0,4,3)同理可得，平面B1BC1的一个法向量为m(3,4,0)所以cosn，m.由题意知二面角A1BC1B1为锐角，所以二面角A1BC1B1的余弦值为.(3)假设D(x1，y1，z1)是线段BC1上一点，且(0,1)，所以(x1，y13，z1)(4，3,4)解得x14，y133，z14，所以(4，33，4)由0，得9250，解得.因为0,1，所以在线段BC1上存在点D，使得ADA1B.此时.