1、课时素养评价十三定积分在物理中的应用(15分钟30分)1.物体以速度v(t)=3t2-2t+3(m/s)做直线运动,它在时刻t=0(s)到t=3(s)这段时间内的位移是()A.9 mB.18 mC.27 mD.36 m【解析】选C.s=v(t)dt(3t2-2t+3)dt=(t3-t2+3t)=27(m).2.一物体沿直线以v=2t+1(t的单位:s,v的单位:m/s)的速度运动,则该物体在12 s间行进的路程为()A.1 mB.2 mC.3 mD.4 m【解析】选D.s=(2t+1)dt=(t2+t)=4(m).3.一物体在力F(x)=4x-1(单位:N)的作用下,沿着与力F相同的方向,从x
2、=1运动到x=3处(单位:m),则力F(x)所做的功为()A.8 JB.10 JC.12 JD.14 J【解析】选D.由变力做功公式有:W=(4x-1)dx=(2x2-x)=14(J).4.若做变速运动的物体v(t)=t2,在0ta内经过的路程为9,则实数a的值为()A.1B.2C.3D.4【解析】选C.v(t)dt=9,即t2dt=t3=a3=9,解得a=3.5.若1 N的力能使弹簧伸长2 cm,则使弹簧伸长12 cm时克服弹力所做的功为_.【解析】弹簧的伸长与所受到的拉力成正比,设F=kx,求得k=50,所以F(x)=50x,所以W=50xdx=25x2=0.36(J).答案:0.36 J
3、6.一物体在变力F(x)=(x的单位:m,F的单位:N)的作用下,沿着与力F相同的方向从x=0运动到x=5处,求变力所做的功.【解析】变力F(x)所做的功为W=(2x+4)dx+(x2+2x)dx=(x2+4x)+=12+60=72(J).所以变力所做的功为72 J.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.一列车沿直线轨道前进,刹车后列车速度v(t)=27-0.9t,则列车从刹车到停车走过的路程为()A.405B.540C.810D.945【解析】选A. 停车时v(t)=0,由27-0.9t=0,得t=30,所以所求路程s=v(t)dt=(27-0.9t)dt=(27t-0.4
4、5t2)=405.2.在弹性限度内,弹簧每拉长1 cm要用5 N的拉力,要把弹簧拉长2 dm,则拉力做的功为()A.0.1 JB.0.5 JC.5 JD.10 J【解析】选D. 设弹簧所受的拉力F(x)=kx,弹簧受5 N拉力的伸长量为1 cm,由题意,得5=0.01k,得k=500,所以F(x)=500x,依题意,得W=500xdx=250x2=10(J).3.如果某质点以初速度v(0)=1,加速度a(t)=6t做直线运动,则质点在t=2时的瞬时速度为()A.5B.7C.9D.13【解析】选D.v(2)-v(0)=a(t)dt=6tdt=3t2,所以v(2)=v(0)+322=1+12=13
5、.4.以初速度40 m/s竖直向上抛一物体,t s时刻的速度v=40-10t2,则此物体达到最高时的高度为()A. mB. mC. mD. m【解析】选A.v=40-10t2=0,t=2,(40-10t2)dt=402-8=(m).5.物体A以速度v=3t2+1(t的单位:s,v的单位:m/s)在一直线上运动,在此直线上,物体A出发的同时,物体B在物体A的正前方5 m处以v=10t(t的单位:s,v的单位:m/s)的速度与A同向运动,则两物体相遇时物体A运动的距离为()A.110 mB.120 mC.130 mD.140 m【解析】选C.依题意,设自开始运动到两物体相遇所用时间为x s,则(3
6、t2+1)dt=5+10tdt,即x3+x=5+5x2,(x-5)(x2+1)=0,因此x=5.两物体相遇时物体A运动的距离等于(3t2+1)dt=t3+t=53+5=130 m.二、填空题(每小题5分,共15分)6.一物体在变力F(x)=2x2-1作用下沿直线由x=1运动到x=3,则力F(x)所做的功等于_.【解析】F(x)所做的功W=(2x2-1)dx=.答案:7.模拟火箭自静止开始竖直向上发射,设起动时即有最大加速度,以此时为起点,加速度满足a(t)=100-4t2,则火箭前3s内的位移等于_.【解析】由题设知,t0=0,v(0)=0,s(0)=0,所以v(t)=(100-4t2)dt=
7、100t-t3,那么s=v(t)dt=(100t-t3)dt=(50t2-t4)=423(m),所以火箭前3 s内的位移为423 m.答案:423 m【误区警示】本题容易混淆运动物体的加速度与瞬时速度的关系,变速直线运动的速度问题的一般解法:做变速直线运动的物体所具有的速度v,等于其加速度函数a=a(t)在时间区间a,b上的定积分,即v=a(t)dt.8.一物体沿直线以v=(单位:m/s)的速度运动,该物体运动开始后10 s内所经过的路程是_m.【解析】s=dt=(1+t=m.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.A、B两站相距7.2 km,一辆电车从A站开往B站,电车开出t s后到达
8、途中C点,这一段速度为1.2t(m/s),到C点速度达24 m/s,从C点到B站前的D点以等速行驶,从D点开始刹车,速度为(24-1.2t)m/s,在B站恰好停车.试求(1)A、C间的距离;(2)B、D间的距离;(3)电车从A站到B站所需的时间.【解析】(1)设从A到C经过t1 s,由1.2t1=24得t1=20,所以AC=1.2tdt=0.6t2=240(m).(2)设从D到B经过t2 s,由24-1.2t2=0得t2=20,所以BD=(24-1.2t)dt=(24t-0.6t2)=240(m).(3)CD=7 200-2240=6 720(m),从C到D的时间t3=280(s),所以从A站
9、到B站的时间为20+280+20=320(s).10.列车以72 km/h的速度行驶,当制动时列车获得加速度a=-0.4 m/s2,问:(1)列车应在进站前多长时间开始制动?(2)列车应在距离车站多远处开始制动?【思路导引】因列车停在车站时,速度为0,故应先求速度-时间函数的表达式,之后令v=0,求出t,再根据定积分计算出路程.【解析】(1)已知列车的速度v0=72 km/h=20 m/s,列车制动时获得的加速度a=-0.4 m/s2.设列车由开始制动到经过t秒后的速度为v(t),则v(t)=20-0.4t.令v(t)=0,得t=50(s).(2)设列车由开始制动到停止时所走过的路程为s,则有
10、s=v(t)dt=(20-0.4t)dt=(20t-0.2t2)=500(m).所以列车应在到站前50 s,离车站500 m处开始制动.1.一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度v(t)=73t+(t的单位:s,v的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是()A.1+25ln 5B.8+25ln C.4+25ln 5D.4+50ln 2【解析】选C.令73t+=0,则t=4或t=-0,舍去.dt=4+25ln 5.2.证明:把质量为m(单位:kg)的物体从地球的表面升高h(单位:m)所做的功W=G,其中G是地球引力常数,M是地球的质量,k是地球的半径.【证明】根据万有引力定律,对于两个距离为r,质量分别为m1、m2的质点,它们之间的引力f=G,其中G为引力常数.则当质量为m的物体距离地面高度为x(0xh)时,地心对它有引力f(x)=G,故该物体从地面升到h处所做的功为W=f(x)dx=Gdx=GMmdx=GMm=GMm=G.得证.
