1、第一章 集合与常用逻辑用语考点测试2 命题及其关系、充分条件与必要条件第一部分 考点通关练高考概览 高考在本考点的常考题型为选择题，分值 5 分，低难度考纲研读1.理解命题的概念2了解“若 p，则 q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系3理解充分条件、必要条件与充要条件的含义第1步狂刷小题 基础练答案解析解析 对原命题的条件进行否定作为逆否命题的结论，对原命题的结论进行否定作为逆否命题的条件，由此知命题“若 a2b20，则 a0 且 b0”的逆否命题是“若 a0 或 b0，则 a2b20”，故选 D.一、基础小题1命题“若 a2b20，则 a0 且 b0”的逆否命题
2、是()A若 a2b20，则 a0 且 b0B若 a2b20，则 a0 或 b0C若 a0 且 b0，则 a2b20D若 a0 或 b0，则 a2b20答案2下列命题：“若 ab，则 ab”的否命题；“若 a1，则 ax2x30 的解集为 R”的逆否命题；“周长相等的圆面积相等”的逆命题；“若 2x 为有理数，则 x 为无理数”的逆否命题其中真命题的序号为()ABCD解析 对于，逆命题为真，故否命题为真；对于，原命题为真，故逆否命题为真；对于，“面积相等的圆周长相等”为真；对于，“若2x 为有理数，则 x 为 0 或无理数”，故原命题为假，逆否命题为假故选B.解析答案3已知命题：如果 x3，那么
3、 xb 成立的必要不充分条件，若 ab，则 a1b 一定成立，a3b3 也一定成立，但是当 a3b3 成立时，ab 也一定成立，故选 B.答案解析4下面四个条件中，使 ab 成立的必要不充分条件是()Aa1bBa1bC|a|b|Da3b3答案解析解析 对原命题的条件进行否定作为逆否命题的结论，对原命题的结论进行否定作为逆否命题的条件，由此知命题“若 x21，则1x1”的逆否命题是“若 x1 或 x1，则 x21”故选 D.5命题“若 x21，则1x1”的逆否命题是()A若 x21，则 x1 或 x1B若1x1，则 x21 或 x1D若 x1 或 x1，则 x21解析 由 f(x)，g(x)均为
4、奇函数可得 h(x)f(x)g(x)为偶函数，反之则不成立，如 h(x)x2，f(x)x2x21，g(x)x21，h(x)是偶函数，但 f(x)，g(x)都不是奇函数，故原命题的逆命题是假命题，其否命题也是假命题，只有其逆否命题是真命题故选 B.6命题“f(x)，g(x)是定义在 R 上的函数，h(x)f(x)g(x)，若 f(x)，g(x)均为奇函数，则 h(x)为偶函数”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是()A0 B1 C2 D3答案解析解析 0，则“6”“sin12”，“sin12”“6或 56”，已知 0，则“6”是“sin12”的充分不必要条件故选 A.答案解析7已知 02t
5、，则 mt 且 nt”的逆命题；“相似三角形的面积相等”的否命题；“末位数字不为零的数能被 3 整除”的逆否命题；命题“若 c1，则方程 x22xc0 没有实数根”的否命题ABCD解析 因为中所给命题的逆命题“若 mt 且 nt，则 mn2t”成立，所以为真命题因为中所给命题的否命题“如果两个三角形不相似，那么它们的面积不相等”不成立，所以为假命题因为中所给命题的逆否命题“如果一个数不能被 3 整除，那么它的末位数字为零”不成立，所以为假命题因为中所给命题的否命题“若c1，则方程x22xc0有实数根”成立，所以为真命题综上知，应选 A.解析解析 ab1 时，两直线分别为 xy10 与 xy10
6、，斜率相同，所以平行，充分性成立；当直线 axy10 与直线 xby10 平行时，b0 显然不符合，所以 b0，由斜率相等，得 a1b，显然不一定是 ab1，所以必要性不成立，故选 A.答案解析9“ab1”是“直线 axy10 与直线 xby10 平行”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析 由 4 种命题的相互关系，可知原命题的否命题与逆命题互为逆否命题答案解析10若命题p的逆命题是q，命题p的否命题是r，则q是r的_(填“否命题”“逆命题”或“逆否命题”)答案 逆否命题解析 由 p 得：12x1，由 q 得：axa1，因为 q 是 p 的必要而不充分
7、条件，所以 a12且 a11，所以 0a12.答案解析11设 p：ln(2x1)0，q：(xa)x(a1)0，若 q 是 p 的必要而不充分条件，则实数 a 的取值范围是_答案 0，12解析 由题知 pqst，又 tr，rq，qst，故 p 是 t 的充分条件，r 是 t 的充要条件答案解析12设 p，r 都是 q 的充分条件，s 是 q 的充要条件，t 是 s 的必要条件，t 是 r 的充分条件，那么 p 是 t 的_条件，r 是 t 的_条件(用“充分”“必要”或“充要”填空)充分充要答案二、高考小题13(2019全国卷)设，为两个平面，则 的充要条件是()A 内有无数条直线与 平行B 内
8、有两条相交直线与 平行C，平行于同一条直线D，垂直于同一平面解析 若，则 内有无数条直线与 平行，反之则不成立；若，平行于同一条直线，则 与 可以平行也可以相交；若，垂直于同一个平面，则 与 可以平行也可以相交，故 A，C，D 中的条件均不是 的充要条件根据平面与平面平行的判定定理知，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则两平面平行，反之也成立因此 B 中的条件是 的充要条件故选 B.解析解析 由“x25x0”可得“0 x5”；由“|x1|1”可得“0 x2”由“0 x5”不能推出“0 x2”，但由“0 x2”可以推出“0 x5”，所以“x25x0”是“|x1|1”的必要而不充分条件故
9、选 B.答案解析14(2019天津高考)设 xR，则“x25x0”是“|x1|0，b0，ab4，2 abab4.ab4，此时充分性成立当 a0，b0，ab4 时，令 a4，b1，则 ab54，这与 ab4 矛盾，因此必要性不成立综上所述，当 a0，b0 时，“ab4”是“ab4”的充分不必要条件故选 A.答案解析15(2019浙江高考)若 a0，b0，则“ab4”是“ab4”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案16(2019北京高考)设点 A，B，C 不共线，则“AB与AC 的夹角为锐角”是“|ABAC|BC|”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条
10、件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析解析 因为点 A，B，C 不共线，由向量加法的三角形法则，可知BCAC AB，所以|ABAC|BC|等价于|AB AC|AC AB|，因模为正，故不等号两边平方得AB 2AC 22|AB|AC|cosAC 2AB 22|AC|AB|cos(为AB与AC 的夹角)，整理得 4|AB|AC|cos0，故 cos0，即 为锐角又以上推理过程可逆，所以“AB与AC 的夹角为锐角”是“|ABAC|BC|”的充分必要条件故选 C.解析 f(x)cosxbsinx 为偶函数，对任意的 xR，都有 f(x)f(x)，即 cos(x)bsin(x)cosxbsinx，2
11、bsinx0.由 x 的任意性，得 b0.故 f(x)为偶函数b0.必要性成立反过来，若 b0，则 f(x)cosx 是偶函数充分性成立“b0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件故选 C.答案解析17(2019北京高考)设函数 f(x)cosxbsinx(b 为常数)，则“b0”是“f(x)为偶函数”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析|a3b|3ab|a3b|2|3ab|2a26ab9b29a26abb22a23ab2b20，又|a|b|1，ab0ab，故选 C.答案解析18(2018北京高考)设 a，b 均为单位向量，则“|a3b|3ab|”
12、是“ab”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析 由|x12|12得12x1212，解得 0 x1.由 x31 得 x1.当 0 x1时能得到 x1 一定成立；当 x1 时，0 x1 不一定成立所以“|x12|12”是“x31”的充分而不必要条件故选 A.答案解析19(2018天津高考)设 xR，则“|x12|12”是“x31”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析 根据函数单调性的概念，只要找到一个定义域为0,2的不单调函数，满足在定义域内有唯一的最小值点，且 f(x)minf(0)即可，除所给答案外，还可以
13、举出 f(x)0，x0，1x，0f(0)对任意的 x(0,2都成立，则f(x)在0,2上是增函数”为假命题的一个函数是_答案 f(x)sinx，x0,2(答案不唯一)解析 命题 p 的逆命题是“若 x2ab，则 xa2b2”，故 A，B 都错误；命题 p 的否命题是“若 xa2b2，则 x2ab”，故 C 正确，D 错误答案解析三、模拟小题21(2020陕西渭南摸底)已知命题 p：若 xa2b2，则 x2ab，则下列说法正确的是()A命题 p 的逆命题是“若 xa2b2，则 x2ab”B命题 p 的逆命题是“若 x2ab，则 xa2b2”C命题 p 的否命题是“若 xa2b2，则 x2ab”D
14、命题 p 的否命题是“若 xa2b2，则 xb，则1a1b”的否命题；“若 xy0，则 x，y 互为相反数”的逆命题；“若 x24，则2x0 在(0，)上恒成立，则 0a21，解得 a3，所以 p 是 q 的必要不充分条件故选 B.答案解析24(2019山西吕梁一模)设 p：关于 x 的方程 4x2xa0 有解；q：函数 f(x)log2(xa2)在区间(0，)上恒为正值，则 p 是 q 的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析 由 bc，得 bc0，得 a(bc)0；反之不成立故“a(bc)0”是“bc”的必要不充分条件答案解析25(2019郑州模拟)设平面
15、向量 a，b，c 均为非零向量，则“a(bc)0”是“bc”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案26(2019西安八校联考)在ABC 中，“ABBC0”是“ABC 是钝角三角形”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析 解法一：设AB与BC 的夹角为，因为ABBC 0，即|AB|BC|cos0，所以 cos0，90，又因为B180，所以 90B0”是“ABC 是钝角三角形”的充分不必要条件，故选 A.解法二：由ABBC 0，得BABC 0，即 cosB0，所以 90B0”是“ABC 是钝角三角形”的充分不必要条件，故选
16、 A.解析答案27 (2020 广 西 南 宁 摸 底)已 知 集 合 Px|xk12，kZ，Q x|xk2，kZ，记原命题：“xP，则 xQ”，那么，在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是()A0 B1 C2 D4解 析 因 为 P x|xk12，kZ x|x2k12，kZ，Q x|xk2，kZ，所以 P Q，所以原命题“xP，则 xQ”为真命题，则原命题的逆否命题为真命题原命题的逆命题“xQ，则 xP”为假命题，则原命题的否命题为假命题，所以真命题的个数为 2.解析答案解析解析 由命题 p 中的不等式(xm)23(xm)，得(xm)(xm3)0，解得 xm3 或 xm.由命
17、题 q 中的不等式 x23x40，得(x1)(x4)0，解得4x3(xm)”是“命题 q：x2 3x 40”成 立 的 必 要 不 充 分 条 件，则 实 数 m 的 取 值 范 围 为_答案(，71，)第2步精做大题 能力练一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型二、模拟大题1(2019沈阳模拟)已知函数 f(x)2sin2x3(xR)设 p：x4，2，q：m3f(x)m3.若 p 是 q 的充分条件，求实数 m 的取值范围解 因为 p：x4，2 2x36，23，所以 f(x)1,2，又因为 p 是 q 的充分条件，所以m32，解得1ma(a0)和条件 q：12x23x10，请选取适当的实数 a 的值，分别利用所给出的两个条件作为 A，B 构造命题：“若 A 则 B”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题解 已知条件 p 即 5x1a，得 x1a5.已知条件 q 即 2x23x10，得 x1；令 a4，则 p 即 x1，此时必有 pq 成立，反之不然故可以选取一个实数是 a4，A 为 p，B 为 q，对应的命题是若 A 则 B.由以上过程可知这一命题的原命题为真命题，而它的逆命题为假命题解本课结束