1、第二章 函数、导数及其应用 第九节 函数与方程 第二章 函数、导数及其应用 主干知识梳理一、函数的零点1定义：对于函数yf(x)(xD)，把使成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点2函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与有交点函数yf(x)有f(x)0 x轴零点第二章 函数、导数及其应用 3函数零点的判定(零点存在性定理)：如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数yf(x)在区间内有零点，即存在c(a，b)，使得，这个也就是方程f(x)0的根f(a)f(b)0)的图象与零点的关系000二次
2、函数yax2bxc(a0)的图象与x轴的交点(x1，0)无交点零点个数(x1，0)(x2，0)两个一个零个，第二章 函数、导数及其应用 三、二分法 对于在区间a，b上连续不断且的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间，使区间的两个端点逐步逼近，进而得到零点近似值的方法叫做二分法f(a)f(b)0一分为二零点第二章 函数、导数及其应用 基础自测自评1(教材习题改编)下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是()C第二章 函数、导数及其应用 2若函数 f(x)axb 有一个零点是 2，那么函数 g(x)bx2ax的零点是()A0，2 B0，12C0，12D2，12C 2ab0，g(
3、x)2ax2axax(2x1)零点为 0 和12.第二章 函数、导数及其应用 3(2014唐山模拟)函数 f(x)x1313x的零点个数是()A0 B1C2 D3B 函数 f(x)x1313x的零点个数，即方程x1313x0 的根的个数，亦即函数 yx13的图象与函数 y13x图象的交点个数，画出两者 的图象(如图)，可得交点的个数为 1.第二章 函数、导数及其应用 4用二分法求函数 yf(x)在区间(2，4)上的近似解，验证f(2)f(4)0，给定精确度 0.01，取区间(2，4)的中点 x12423，计算得 f(2)f(x1)0，则此时零点 x0_(填区间)解析 由 f(2)f(3)0 可
4、知 x0(2，3)答案(2，3)第二章 函数、导数及其应用 5已知函数 f(x)x2xa 在区间(0，1)上有零点，则实数 a 的取值范围是_解析 函数 f(x)x2xa 在(0，1)上有零点 f(0)f(1)0.即 a(a2)0，解得2a0.答案(2，0)第二章 函数、导数及其应用 关键要点点拨1函数的零点不是点：函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的实数根，也就是函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标第二章 函数、导数及其应用 2对函数零点存在的判断中，必须强调：(1)f(x)在a，b上连续；(2)
5、f(a)f(b)0；(3)在(a，b)内存在零点这是零点存在的一个充分条件，但不必要3对于定义域内连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号第二章 函数、导数及其应用 典题导入(2014西安质检)函数 f(x)log2x1x的零点所在的区间为()A.0，12 B.12，1C(1，2)D(2，3)确定函数零点所在的区间第二章 函数、导数及其应用 听课记录 f12 log212230，f(1)log21110;f(2)log22120，故函数零点所在区间为(1，2)答案 C第二章 函数、导数及其应用 规律方法利用函数零点的存在性定理判断零点所在的区间时，首先看函数yf(x)在区间a，b
6、上的图象是否连续不断，再看是否有f(a)f(b)0.若有，则函数yf(x)在区间(a，b)内必有零点第二章 函数、导数及其应用 跟踪训练1(2014衡水模拟)设函数 yx3 与 y12x2的图象交点为(x0，y0)，则 x0 所在的区间是()A(0，1)B(1，2)C(2，3)D(3，4)B 设函数 f(x)x312x2，f(1)f(2)0，且 f(x)为单调函数，则 x0(1，2)第二章 函数、导数及其应用 典题导入(1)(2012湖北高考)函数f(x)xcos 2x在区间0，2上的零点的个数为()A2 B3C4D5判断函数零点个数第二章 函数、导数及其应用 听课记录 令 f(x)xcos
7、2x0，得 x0 或 cos 2x0，故 x0或 2xk2，kZ，即 x0 或 xk2 4，kZ.又 x0，2，故 k 可取 0，1，2，3，故零点的个数有 5 个答案 D第二章 函数、导数及其应用(2)已知f(x)|lg x|，x0，2|x|，x0，则函数 y2f2(x)3f(x)1 的零点个数是_听课记录 方程 2f2(x)3f(x)10 的解为 f(x)12或 1.第二章 函数、导数及其应用 作出yf(x)的图象，由图象知零点的个数为5.答案 5第二章 函数、导数及其应用 规律方法判断函数零点个数的常用方法(1)解方程法：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性
8、定理法：利用定理不仅要判断函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点第二章 函数、导数及其应用(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数第二章 函数、导数及其应用 跟踪训练2(2014哈尔滨四校统考)已知函数 yf(x)(xR)满足 f(x1)f(x)，且当 x(1，1时，f(x)|x|，函数g(x)sin x，x01x，x0，则函数 h(x)f(x)g(x)在区间5，5上的零点的个数为()A8 B9C10 D1
9、1第二章 函数、导数及其应用 B 函数yf(x)(xR)满足f(x1)f(x)，故f(x2)f(x1)f(x)f(x)，即函数f(x)的周期为2，作出x(1，1时，f(x)|x|的图象，并利用周期性作出函数f(x)在5，5上的图象，在同一坐标系内再作出g(x)在5，5上的图象，由图象可知，函数f(x)与g(x)的图象有9个交点，所以函数h(x)f(x)g(x)在区间5，5上的零点的个数为9，选B.第二章 函数、导数及其应用 第二章 函数、导数及其应用 典题导入已知函数f(x)exxa有零点，则a的取值范围是_听课记录 f(x)exxa，f(x)ex1.令f(x)0，得x0.函数零点的应用第二章
10、 函数、导数及其应用 当x0时，f(x)0时，f(x)0，函数f(x)在(0，)上是增函数故f(x)minf(0)1a.若函数f(x)有零点，则f(x)min0，即1a0，得a1.答案(，1第二章 函数、导数及其应用 互动探究若函数变为 f(x)ln x2xa，其他条件不变，则 a 的取值范围为_解析 f(x)ln x2xa，f(x)1x2.令 f(x)0，得 x12.当 012时，f(x)0，f(x)为减函数 第二章 函数、导数及其应用 f(x)maxf12 ln121a.若 f(x)有零点，则 f(x)max0，即 ln121a0.解得 a1ln12，a 的取值范围为1ln 2，.答案 1
11、ln 2，第二章 函数、导数及其应用 规律方法已知函数有零点(方程有根)求参数取值常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解第二章 函数、导数及其应用 跟踪训练3已知函数f(x)满足f(x1)f(x1)，且f(x)是偶函数，当x0，1时，f(x)x，若在区间1，3上函数g(x)f(x)kxk有4个零点，则实数k的取值范围是_解析 由f(x1)f(x1)得，f(x2)f(x)，则f(x)是周期为2的函数
12、第二章 函数、导数及其应用 f(x)是偶函数，当x0，1时，f(x)x，当x1，0时，f(x)x，易得当x1，2时，f(x)x2，当x2，3时，f(x)x2.在区间1，3上函数g(x)f(x)kxk有4个零点，第二章 函数、导数及其应用 即函数 yf(x)与 ykxk 的图象在区间1，3上有 4 个不同的交点作出函数 yf(x)与 ykxk 的图象如图所示，结合图形易知，k0，14.答案 0，14第二章 函数、导数及其应用(2014鞍山模拟)已知函数 f(x)|2x1|，x2，3x1，x2，若方程f(x)a0 有三个不同的实数根，则实数 a 的取值范围为()A(1，3)B(0，3)C(0，2)
13、D(0，1)【创新探究】“图”解函数的零点问题第二章 函数、导数及其应用【思路导析】本题考查利用函数零点个数求参数的取值范围，解题的关键是画出函数f(x)的图象，结合图象，寻求方程有三个实数根的条件【解析】画出函数f(x)的图象如图所示，第二章 函数、导数及其应用 观察图象可知，若方程f(x)a0有三个不同的实数根，则函数yf(x)的图象与直线ya有3个不同的交点，此时需满足0a1，故选D.【答案】D【高手支招】函数零点问题主要有四类：一是判断函数零点或方程根的个数；二是利用函数零点确定函数解析式；三是确定函数零点或方程根的取值范围；四是利用函数零点或根的个数求解参数的取值范围解决这些问题主要
14、用数形结合法第二章 函数、导数及其应用 体验高考1(理)(2013天津高考)函数 f(x)2x|log0.5x|1 的零点个数为()A1 B2C3 D4B 函数 f(x)2x|log0.5x|1 的零点也就是方程 2x|log0.5x|10的根，即 2x|log0.5x|1，整理得|log0.5x|12x.第二章 函数、导数及其应用 令 g(x)|log0.5x|，h(x)12x，作 g(x)，h(x)的图象如图所示 因为两个函数图象有两个交点，所以 f(x)有两个零点第二章 函数、导数及其应用 1(文)(2013湖南高考)函数f(x)ln x的图象与函数g(x)x24x4的图象的交点个数为(
15、)A0B1C2D3C 利用图象知，有两个交点故选C.第二章 函数、导数及其应用 2(理)(2013重庆高考)若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A(a，b)和(b，c)内B(，a)和(a，b)内C(b，c)和(c，)内D(，a)和(c，)内第二章 函数、导数及其应用 A 由题意abc，可得f(a)(ab)(ac)0，f(b)(bc)(ba)0，f(c)(ca)(cb)0.显然f(a)f(b)0，f(b)f(c)0，所以该函数在(a，b)和(b，c)上均有零点，故选A.第二章 函数、导数及其应用 2(文)(2013天津高考)设函数f(
16、x)exx2，g(x)ln xx23.若实数a，b满足f(a)0，g(b)0，则()Ag(a)0f(b)Bf(b)0g(a)C0g(a)f(b)Df(b)g(a)0A 由f(a)eaa20得0a1.由g(b)ln bb230得1b2.因为g(a)ln aa230，f(b)ebb20，所以f(b)0g(a)，故选A.第二章 函数、导数及其应用 3(理)(2013安徽高考)若函数f(x)x3ax2bxc有极值点x1，x2，且f(x1)x1，则关于x的方程3(f(x)22af(x)b0的不同实根个数是()A3B4C5D6第二章 函数、导数及其应用 A 由f(x)3x22axb0得，xx1或xx2，即
17、3(f(x)22af(x)b0的根为f(x)x1或f(x)x2的解如图所示第二章 函数、导数及其应用 由图象可知f(x)x1有2个解，f(x)x2有1个解，因此3(f(x)22af(x)b0的不同实根个数为3.第二章 函数、导数及其应用 3(文)(2012北京高考)函数 f(x)x1212x的零点个数为()A0 B1C2 D3第二章 函数、导数及其应用 B 函数 f(x)x1212x的零点个数即为方程x1212x的根的个数，因此可以利用数形结合，在同一坐标系内画出函数 yx12和函数y12x的图象，两图象的交点个数即为 f(x)x1212x的零点个数，如图所示，其零点个数为 1.第二章 函数、导数及其应用 课时作业
