1、2021 年长春市中考数学一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）1（2）的值为（）ABC2D22据报道，我省今年前 4 个月货物贸易进出口总值为 52860000000 元人民币，比去年同期增长 28.2%其中 52860000000 这个数用科学记数法表示为（）A0.52861011B5.2861010C52.86109D52861073如图是一个几何体的三视图，这个几何体是（）A圆锥B长方体C球D圆柱4关于 x 的一元二次方程 x26x+m0 有两个不相等的实数根，则 m 的值可能是（）A8B9C10D115如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图已知 A、B 两点
2、间的距离为 30 米，A，则缆车从 A 点到达 B 点，上升的高度（BC 的长）为（）A30sin米B米C30cos米D米6如图，AB 是O 的直径，BC 是O 的切线，若BAC35，则ACB 的大小为（）A35B45C55D657在ABC 中，BAC90，ABAC用无刻度的直尺和圆规在 BC 边上找一点 D，使ACD 为等腰三角形下列作法不正确的是（）ABCD8如图，在平面直角坐标系中，点 A、B 在函数 y（k0，x0）的图象上，过点 A 作 x 轴的垂线，与函数 y（x0）的图象交于点 C，连结 BC 交 x 轴于点 D若点 A 的横坐标为 1，BC3BD，则点 B 的横坐标为（）AB2
3、CD3二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）9分解因式：a2+2a10不等式组的所有整数解为 11将一副三角板按如图所示的方式摆放，点 D 在边 AC 上，BCEF，则ADE 的大小为 度12如图是圆弧形状的铁轨示意图，半径 OA 的长度为 200 米，圆心角AOB90，则这段铁轨的长度为 米（铁轨的宽度忽略不计，结果保留）13如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 AOB 的斜边 OA 在 y 轴上，OA2，点 B 在第一象限标记点 B 的位置后，将AOB 沿 x 轴正方向平移至A1O1B1的位置，使 A1O1经过点 B，再标记点 B1的位置，继续平移至A2O2B2
4、的位置，使 A2O2经过点 B1，此时点 B2的坐标为 14如图，在平面直角坐标系中，点 A（2，4）在抛物线 yax2上，过点 A 作 y 轴的垂线，交抛物线于另一点 B，点 C、D 在线段 AB 上，分别过点 C、D 作 x 轴的垂线交抛物线于 E、F 两点当四边形 CDFE为正方形时，线段 CD 的长为 三、解答题（本大题共 10 小题，共 78 分）15先化简，再求值：（a+2）（a2）+a（1a），其中 a+416在一个不透明的口袋中装有三个小球，分别标记数字 1、2、3，每个小球除数字不同外其余均相同小明和小亮玩摸球游戏，两人各摸一个球，谁摸到的数字大谁获胜，摸到相同数字记为平局小
5、明从口袋中摸出一个小球记下数字后放回并搅匀，小亮再从口袋中摸出一个小球用画树状图（或列表）的方法，求小明获胜的概率17为助力乡村发展，某购物平台推出有机大米促销活动，其中每千克有机大米的售价仅比普通大米多2 元，用 420 元购买的有机大米与用 300 元购买的普通大米的重量相同求每千克有机大米的售价为多少元？18如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AC4，BD8，点 E 在边 AD 上，AEAD，连结 BE 交 AC 于点 M（1）求 AM 的长（2）tanMBO 的值为 19稳定的粮食产量是人民幸福生活的基本保障，为了解粮食产量情况，小明查阅相关资料得到如下信
6、息：长春市 2020 年的粮食总产量达到 960 万吨，比上年增长约 9%其中玉米产量增长约 12%，水稻产量下降约 2%，其他农作物产量下降约 10%根据以上信息回答下列问题：（1）2020 年玉米产量比 2019 年玉米产量多 万吨（2）扇形统计图中 n 的值为（3）计算 2020 年水稻的产量（4）小明发现如果这样计算 2020 年粮食总产量的年增长率：0，就与 2020 年粮食总产量比上年增长约 9%不符，请说明原因20图、图、图均是 44 的正方形网格，每个小正方形的边长均为 1，每个小正方形的顶点称为格点，点 A、B、C 均为格点只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点 M，按
7、下列要求作图：（1）在图中，连结 MA、MB，使 MAMB；（2）在图中，连结 MA、MB、MC，使 MAMBMC；（3）在图中，连结 MA、MC，使AMC2ABC21（8 分）九章算术中记载，浮箭漏（图）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间某学校 STEAM 小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究：【实验观察】实验小组通过观察，每 2 小时记录一次箭尺读数，得到如表：供水时间 x（小时）02468箭尺读数 y（厘米）618304254【探索发现】建立平面直角坐标系，如图，
8、横轴表示供水时间 x纵轴表示箭尺读数 y，描出以表格中数据为坐标的各点观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由【结论应用】应用上述发现的规律估算：供水时间达到 12 小时时，箭尺的读数为多少厘米？如果本次实验记录的开始时间是上午 8：00，那当箭尺读数为 90 厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为 100 厘米）22（9 分）实践与探究操作一：如图，已知正方形纸片 ABCD，将正方形纸片沿过点 A 的直线折叠，使点 B 落在正方形 ABCD的内部，点 B 的对应点为点 M，折痕为 AE，再将纸片沿过点 A
9、 的直线折叠，使 AD 与 AM 重合，折痕为AF，则EAF度操作二：如图，将正方形纸片沿 EF 继续折叠，点 C 的对应点为点 N我们发现，当点 E 的位置不同时，点 N 的位置也不同当点 E 在 BC 边的某一位置时，点 N 恰好落在折痕 AE 上，则AEF度在图中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：（1）设 AM 与 NF 的交点为点 P求证：ANPFNE；（2）若 AB，则线段 AP 的长为 23如图，在ABC 中，C90，AB5，BC3，点 D 为边 AC 的中点动点 P 从点 A 出发，沿折线ABBC 以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 运动，当点 P 不与点 A、C 重合时，
10、连结 PD作点 A 关于直线 PD 的对称点 A，连结 AD、AA设点 P 的运动时间为 t 秒（1）线段 AD 的长为；（2）用含 t 的代数式表示线段 BP 的长；（3）当点 A在ABC 内部时，求 t 的取值范围；（4）当AAD 与B 相等时，直接写出 t 的值24在平面直角坐标系中，抛物线 y2（xm）2+2m（m 为常数）的顶点为 A（1）当 m时，点 A 的坐标是，抛物线与 y 轴交点的坐标是；（2）若点 A 在第一象限，且 OA，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数值 y 随 x的增大而减小时 x 的取值范围；（3）当 x2m 时，若函数 y2（xm）2+m 的最小值为
11、 3，求 m 的值；（4）分别过点 P（4，2）、Q（4，22m）作 y 轴的垂线，交抛物线的对称轴于点 M、N当抛物线 y2（xm）2+2m 与四边形 PQNM 的边有两个交点时，将这两个交点分别记为点 B、点 C，且点 B 的纵坐标大于点 C 的纵坐标若点 B 到 y 轴的距离与点 C 到 x 轴的距离相等，直接写出 m 的值参考答案1C2B3.D4A5A6C7A8B90、111751210013（3，1）142+215解：原式a24+aa2a4，当 a+4 时，原式+441617每千克有机大米的售价为 7 元1819解：（1）79270785（万吨），故答案为：85；（2）182.5%2
12、.5%15%，n15，故答案为：15；（3）147（12%）144.06（万吨），答：2020 年水稻的产量为 144.06 万吨；（4）正确的计算方法为：（792+144.06+2470714727）（707+147+27）100%9%，因为题中式子中的几个百分数基数不同，所以不能这样计算20（7 分）图、图、图均是 44 的正方形网格，每个小正方形的边长均为 1，每个小正方形的顶点称为格点，点 A、B、C 均为格点只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点 M，按下列要求作图：（1）在图中，连结 MA、MB，使 MAMB；（2）在图中，连结 MA、MB、MC，使 MAMBMC；（3）在图
13、中，连结 MA、MC，使AMC2ABC【分析】（1）根据勾股定理得 MAMB（2）连接 AC，取 AC 中点 M，MAMBMC（3）取ABC 内心 M，由圆周角定理得AMC2ABC【解答】解：如图，21（8 分）九章算术中记载，浮箭漏（图）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间某学校 STEAM 小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究：【实验观察】实验小组通过观察，每 2 小时记录一次箭尺读数，得到如表：供水时间 x（小时）02468箭尺读数 y（厘米）618304254【探
14、索发现】建立平面直角坐标系，如图，横轴表示供水时间 x纵轴表示箭尺读数 y，描出以表格中数据为坐标的各点观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由【结论应用】应用上述发现的规律估算：供水时间达到 12 小时时，箭尺的读数为多少厘米？如果本次实验记录的开始时间是上午 8：00，那当箭尺读数为 90 厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为 100 厘米）【分析】【探索发现】在平面直角坐标系中描出以表格中数据为坐标的各点即可；观察上述各点的分布规律，可得它们是否在同一条直线上，设这条直线所对应的函数表达式为 ykx
15、+b，利用待定系数法即可求解；【结论应用】应用上述发现的规律估算：利用前面求得的函数表达式求出 x12 时，y 的值即可得出箭尺的读数；利用前面求得的函数表达式求出 y90 时，x 的值，由本次实验记录的开始时间是上午 8：00，即可求解【解答】解：【探索发现】如图，观察上述各点的分布规律，可得它们是否在同一条直线上，设这条直线所对应的函数表达式为 ykx+b，则，解得：，y6x+6；结论应用】应用上述发现的规律估算：x12 时，y612+678，供水时间达到 12 小时时，箭尺的读数为 78 厘米；y90 时，6x+690，解得：x14，供水时间为 14 小时，本次实验记录的开始时间是上午
16、8：00，8：00+1422：00，当箭尺读数为 90 厘米时是 22 点钟22（9 分）实践与探究操作一：如图，已知正方形纸片 ABCD，将正方形纸片沿过点 A 的直线折叠，使点 B 落在正方形 ABCD的内部，点 B 的对应点为点 M，折痕为 AE，再将纸片沿过点 A 的直线折叠，使 AD 与 AM 重合，折痕为AF，则EAF45度操作二：如图，将正方形纸片沿 EF 继续折叠，点 C 的对应点为点 N我们发现，当点 E 的位置不同时，点 N 的位置也不同当点 E 在 BC 边的某一位置时，点 N 恰好落在折痕 AE 上，则AEF60度在图中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：（1）设 A
17、M 与 NF 的交点为点 P求证：ANPFNE；（2）若 AB，则线段 AP 的长为22【分析】操作一：由正方形的性质得BAD90，再由折叠的性质得：BAEMAE，DAFMAF，即可求解；操作二：证ANF 是等腰直角三角形，得AFN45，则AFDAFM45+NFE，求出NFECFE30，即可求解；（1）由等腰直角三角形的性质得 ANFN，再证NAPNFE30，由 ASA 即可得出结论；（2）由全等三角形的性质得 APFE，PNEN，再证AEB60，然后由含 30角的直角三角形的性质得 BEAB1，AE2BE2，ANPNa，AP2PN2a，由 AN+ENAE 得出方程，求解即可【解答】操作一：解
18、：四边形 ABCD 是正方形，CBAD90，由折叠的性质得：BAEMAE，DAFMAF，MAE+MAFBAE+DAFBAD45，即EAF45，故答案为：45；操作二：解：四边形 ABCD 是正方形，BC90，由折叠的性质得：NFECFE，ENFC90，AFDAFM，ANF1809090，由操作一得：EAF45，ANF 是等腰直角三角形，AFN45，AFDAFM45+NFE，2（45+NFE）+CFE180，NFECFE30，AEF903060，故答案为：60；（1）证明：ANF 是等腰直角三角形，ANFN，AMFANF90，APNFPM，NAPNFE30，在ANP 和FNE 中，ANPFNE（
19、ASA）；（2）由（1）得：ANPFNE，APFE，PNEN，NFECFE30，ENFC90，NEFCEF60，AEB60，B90，BAE30，BEAB1，AE2BE2，设 PNENa，ANP90，NAP30，ANPNa，AP2PN2a，AN+ENAE，a+a2，解得：a1，AP2a22，故答案为：2223（10 分）如图，在ABC 中，C90，AB5，BC3，点 D 为边 AC 的中点动点 P 从点 A 出发，沿折线 ABBC 以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 运动，当点 P 不与点 A、C 重合时，连结 PD作点 A关于直线 PD 的对称点 A，连结 AD、AA设点 P 的运动时间为
20、t 秒（1）线段 AD 的长为2；（2）用含 t 的代数式表示线段 BP 的长；（3）当点 A在ABC 内部时，求 t 的取值范围；（4）当AAD 与B 相等时，直接写出 t 的值【分析】（1）由勾股定理求解（2）分类讨论点 P 在 AB 及 BC 上运动两种情况（3）分别求出点 A落在 AB 与 BC 上两个临界值求解（4）分类讨论点 P 在 AB 及 BC 上两种情况，通过添加辅助线求解【解答】解：（1）在 RtABC 中，由勾股定理得：AC4，ADAC2故答案为：2（2）当 0t5 时，点 P 在线段 AB 上运动，PBABAP5t，当 5t8 时，点 P 在 BC 上运动，PBt5综上
21、所述，PB（3）如图，当点 A落在 AB 上时，DPAB，APt，AD2，cosA，在 RtAPD 中，cosA，t如图，当点 A落在 BC 边上时，DPAC，APt，AD2，cosA，在 RtAPD 中，cosA，t如图，点 A运动轨迹为以 D 为圆心，AD 长为半径的圆上，t时，点 A在ABC 内部（4）如图，0t5 时，AADBAAD，ADP+AADBAC+B90，ADPBAC，AEAD1，cosA，t如图，当 5t8 时，AABBAAD，BAC+B90，BAC+AAD90，PEBA，DPCB，在 RtPCD 中，CD2，CP8t，tanDPC，tanDPC，t综上所述，t或24（12
22、分）在平面直角坐标系中，抛物线 y2（xm）2+2m（m 为常数）的顶点为 A（1）当 m时，点 A 的坐标是（，1），抛物线与 y 轴交点的坐标是（0，）；（2）若点 A 在第一象限，且 OA，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数值 y 随 x的增大而减小时 x 的取值范围；（3）当 x2m 时，若函数 y2（xm）2+m 的最小值为 3，求 m 的值；（4）分别过点 P（4，2）、Q（4，22m）作 y 轴的垂线，交抛物线的对称轴于点 M、N当抛物线 y2（xm）2+2m 与四边形 PQNM 的边有两个交点时，将这两个交点分别记为点 B、点 C，且点 B 的纵坐标大于点 C 的纵
23、坐标若点 B 到 y 轴的距离与点 C 到 x 轴的距离相等，直接写出 m 的值【分析】（1）将 m代入抛物线解析式中，即可得出顶点坐标，再令 x0，即可求得答案；（2）运用勾股定理建立方程求解即可；（3）分两种情况进行讨论：当 m0 时，2（2mm）2+m3，解方程即可得出答案；当 m0 时，2（mm）2+m3，解方程即可得出答案；（4）分情况讨论：当 m0 时，若点 B 在 PM 边上，点 C 在 MN 边上，令 y2，则 22（xm）2+2m，解方程即可；若点 B 在 PM 边上，点 C 在 NQ 边上，则 22mm+，解方程即可；若点 B 在 PQ 边上，点 C 在 NQ 边上，则 4
24、22m，不符合题意；当 m0 时，若点 B 在 NQ 边上，点 C 在 PM 边上，无解【解答】解：（1）当 m时，y2（x）2+1，顶点 A（，1），令 x0，得 y，抛物线与 y 轴交点的坐标为（0，），故答案为：（，1），（0，）；（2）点 A（m，2m）在第一象限，且 OA，m2+（2m）2（）2，且 m0，解得：m1，抛物线的解析式为 y2（x1）2+2，当 x1 时，函数值 y 随 x 的增大而减小；（3）当 x2m 时，若函数 y2（xm）2+m 的最小值为 3，分两种情况：2mm，即 m0 时，或 2mm，即 m0 时，当 m0 时，2（2mm）2+m3，解得：m1（舍）或 m
25、，当 m0 时，2（mm）2+m3，解得：m3，综上所述，m 的值为或 3；（4）如图 1，当 m0 时，P（4，2）、Q（4，22m），M（m，2），N（m，22m），抛物线 y2（xm）2+2m 与四边形 PQNM 的边有两个交点，若点 B 在 PM 边上，点 C 在 MN 边上，令 y2，则 22（xm）2+2m，xm+，（xm不符合题意，舍去），B（m+，2），C（m，2m），根据题意，得 2mm+，解得：m，若点 B 在 PM 边上，点 C 在 NQ 边上，则 22mm+，解得：m，若点 B 在 PQ 边上，点 C 在 NQ 边上，则 422m，解得：m10，不符合题意；当 m0 时，如图 2，若点 B 在 NQ 边上，点 C 在 PM 边上，则 22m2（xm）2+2m，xm，|m+|2 或|m|2，解得：m3，综上所述，m 的值为或或3
