1、湖南省湘东九校2022年7月高二期末联考数学试卷总分：150分 时量：120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1. 已知复数，其中，是虚数单位，若为纯虚数，则的值为（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. -1或12. “”是“”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件3. 下表是茶颜悦色“幽兰拿铁”一天的销售量（单位：杯）与温度（单位：摄氏度）的对比表，根据表中数据计算得到的经验回归方程是，则的值为（ ）温度（）1819202122销售量（）79849496A. 86
2、B. 88 C. 90 D. 924. 若，则 （ ）A. B. C. 0 D. 5. 已知函数的部分图象如下图所示，则函数的解析式可能是（ ）A. B. C. D. 6. 第19届亚运会即将在西子湖畔-杭州召开，为了办好这一届“中国特色、浙江风采、杭州韵味、精彩纷呈”的体育文化盛会，杭州亚运会组委会决定进行赛会志愿者招募，在杭大学生纷纷踊跃参加.现有4名大学生志愿者，通过培训后，拟安排在游泳、篮球、体操三个项目进行志愿者服务，假设每个项目至少安排一名志愿者，且每位志愿者只能参与其中一个项目，在甲被安排到游泳项目的条件下，乙也被安排到游泳项目的概率为 （ ）A. B. C. D. 7. 线段是
3、圆的一条直径，直线上有一动点，则的最小值为（ ）A.9 B. 10 C.11 D. 128. 若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，可以形成一个新的数列，再把所得数列按照同样的方法可以不断构造出新的数列.现将数列1，3进行构造，第1次得到数列1，4，3；第2次得到数列1，5，4，7，3；依次构造，第次得到数列1，.记，若成立，则的最小值为 （ ）A. 6 B. 7 C. 8 D. 9二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列说法正确的有（ ）A. 若为对立事件，则B. 若为互斥事件，则C
4、. 若，且事件互斥，则相互独立D. 若，则10. 已知，且，则（ ）A. B. C. D. 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线上存在点（点不与左、右顶点重合），使得，则双曲线的离心率的可能取值为 （ ）A. B. C. D. 212. 如图，在棱长为2的正方体中，点分别是线段上的动点（含端点），则下列说法正确的是（ ）A. B. 的最小值为C. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围为D. 与所成角的取值范围为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 的展开式中的系数为_（用数字作答）.14. 已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，点是抛物线上一点，到准线的距离为，且，则抛
5、物线的方程为_.15. 足球运动成为了当今世界上开展最广、影响最大、最具魅力、拥有球迷数最多的体育项目之一，2022年卡塔尔世界杯是第22届世界杯足球赛，比赛于2022年11月21日至12月18日在卡塔尔境内7座城市中的12座球场举行.已知某中球的表面上有四个点，平面平面，为等腰直角三角形，则该足球的表面积为_.16. 若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是_.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）在中，角的对边分别为，且满足.（1）求角的值；（2）若，且的面积为，求边上的中线的长.18. （12分）已知等差数列满足，数列的前项和满足.
6、（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和.19.（12分）如图所示，四棱锥中，平面平面，底面是边长为2正方形，与交于点，点在线段上.（1）求证：平面；（2）若平面，求平面与平面所成夹角的余弦值.20.（12分）某城市实施了机动车尾号限行，该市报社调查组为了解市民对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成如下表：年龄（岁）频数551015105赞成人数3491073（1）请估计该市市民对“车辆限行”的赞成率和被调查者的年龄平均值；（同一组数据用该区间的中点值作代表）（2）用样本估计总体，将样本频率视为概率，且每位市民是否赞成相互独立.现从全市年龄在的市民中随机选取4人
7、进行追踪调查，记被选4人中不赞成“车辆限行”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望；（3）若在这50名被调查者中随机发出20份的调查问卷，记为所发到的20人中赞成“车辆限行”的人数，求使概率取得最大值的整数.21.（12分）动点与定点的距离和到定直线的距离之比是常数，记动点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）设是曲线上的一动点，由原点向圆引两条切线，分别交曲线于点，若直线的斜率均存在，并分别记为，试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由.22.（12分）已知.（1）求（为的导函数）在上的最小值；（2）讨论函数在上的零点个数.参考答案一、二、选择题题号123456789101112
8、答案CADABBCCABABDBCABD1. C 【解析】由题意可知：，则，故选C.2. A 【解析】由题意可知：，所以“”是“”的充分不必要条件.故选A.3. D【解析】由题意可知：，则.故选D.4. A 【解析】由题意可知：，则，故选A.5. B【解析】由题意可知：为奇函数，排除；在是单调递减函数，排除A；当时，则在单调递增，排除C.故选B.6. B【解析】记“甲被安排到游泳项目”为事件A，记“乙也被安排到游泳项目”为事件B，所求概率为. 故选B.7. C 【解析】，故选C.8. C【解析】由题意可知：，则，则，当时，当时，故选C.9. AB 【解析】，则不相互独立，所以C是错误的；，当相
9、互独立时，才有，所以D是错误的，故选AB.10. ABD【解析】，所以A是正确的；，所以B是正确的；，则，所以C是错误的；，所以D正确的，故选ABD.11. BC【解析】，则，则排除A；记，则，由正弦定理可知：，则，所以B，C是正确的，故选BC.12. ABD【解析】如图1，平面，所以A是正确的；如图2，的最小值就是，所以B是正确的；如图3，直线在面的投影为，则直线与平面所成角为，则，所以C是错误的；如图4，与所成角的最小角为，此时，则，与所成角的最大角是直线或与的夹角，此时，所以D是正确.故选ABD.三、填空题13. 240 【解析】的系数为.14. 【解析】依题意可得，所以抛物线的方程为.
10、15. 【解析】依题意可得，又平面平面且交线为，所以平面，在三角形中，设三角形的外接圆半径为，则有，所以，设足球的半径为，则，所以足球的表面积为.16. 【解析】不等式，在恒成立，即在恒成立，设，则，因为，所以在上单调递减，在上单调递增，且时，；时，若时，恒成立，即恒成立，所以，设，则，所以在上单调递减，所以，即的取值范围为.四、解答题17.【解析】（1）因为，由正弦定理可得，所以.因为，所以.（2）法一：因为，所以，又，所以，又因为为的中点，所以，在中，由余弦定理可得，所以.法二：因为，所以，又，所以，因为为中线，所以，所以，所以.18.【解析】（1）因为为等差数列，且满足，则，所以；又数列
11、满足，则时，时，两式相减可得，即，所以是以-2为首项，-2为公比的等比数列，所以.（2）由（1）可得，所以，两式相减可得，所以，所以.19. 【解析】因为平面平面且交线为，又平面且，所以平面，又平面，所以.因为是边长为2正方形，所以，又，所以，即，又因为，平面，所以平面.（2）因为平面，平面，平面平面，所以，因为为的中点，所以为的中点，以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则有，易得平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则，取，则，设平面与平面所成夹角为，则，所以平面与平面所成夹角的余弦值为.20.【解析】（1）赞成率为，平均年龄为（2）的可能取值为0，1，2，3，4，因为年龄在的市民不赞
12、成“车辆限行”的频率为，所以，所以，所以的分布列为：01234.（3）这50被调查者中，有36人赞成，14人不赞成，所以，由，解得，因为，所以.21.【解析】（1）由题意，点与定点的距离，点到直线的距离，所以，化简得故曲线的方程为；（2）由题意可得，直线的方程分别为，设.由直线与圆相切可得.，同理，所以是方程的两个根，所以，所以，因为是曲线上的一动点，所以，则有，联立方程，所以，所以，同理所以，因为，所以，所以.22.【解析】（1）依题意，记，则，则在上单调递增，所以，故的最小值为2.（2）法一：由题意可知.构造，则， 当时，则，则在 上单调递增，则，所以当时，在只有一个零点； 当时，则，令，则，当时，所以单调递增，当时，令，则，则单调递增，又，则，使得，所以，单调递减，单调递增，又，则，所以单调递减，单调递增，又，则，所以当时，在有两个零点，综上：当时，只有一个零点；当时，有两个零点.法二：由题意可知构造，则，当时，易证，则，此时只有一个零点； 当时，则，令，则，当时，则在单调递增；令，则，当时，则在单调递增，当时，即，则在单调递增，故，即，则在单调递增，此时，此时只有一个零点，当时（同解法一，略）
