1、单元综合测试二(第二章综合测试)时间：120分钟分值：150分第卷(选择题，共50分)一、选择题(每小题5分，共50分)1下列等式正确的是(D)A.B.0C00D.解析：A中，起点相同的向量相减，则取终点，并指向被减向量，即；B中，是一对相反向量，和为0；C中，00，所以A，B，C均不正确，D正确2设向量a(2,4)与向量b(x,6)共线，则实数x(B)A2 B3C4 D6解析：由向量平行的性质，有24x6，解得x3，选B.3已知向量a(1,1)，b(3，m)，a(ab)，则m(C)A2 B2C3 D3解析：由题意，知ab(2，m1)又a(ab)，所以2(m1)，解得m3.4若|ab|ab|2
2、|a|，则向量ab与b的夹角为(D)A. B.C. D.解析：由题意，可知|ab|ab|ab|2|ab|2ab0.设ab与b的夹角为，由|ab|2|a|ab|24|a|2|b|a|，则cos.又0，所以，故选D.5设O，A，M，B为平面上四点，若(1)，且(1,2)，则(B)A点M在线段AB上B点B在线段AM上C点A在线段BM上DO，A，B，M四点共线解析：由题意可知()，即，A，M，B三点共线(1,2)，|，点B在线段AM上故选B.6在RtABC中，C90，AC4，则等于(D)A16 B8C8 D16解析：因为C90，所以0，所以()216.7ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且20，|，则
3、的值为(C)A. B.C3 D2解析：如图所示，取BC边中点M，由20，可得22，则点M与点O重合又由|1，可得|AC|BC|sin602，则|cosC|23.8在ABC中，M是BC的中点，AM3，点P在AM上，且满足2，则()的值为(A)A4 B2C2 D4解析：因为M是BC的中点，2，AM3，所以|2，且2，所以()24.9已知点O为ABC所在平面内一点，且222222，则O一定为ABC的(A)A垂心 B重心C外心 D内心解析：2222，2222，()()()()，()()，()0，20，.同理，.所以点O为ABC的垂心故选A.10已知a，b是单位向量，ab0，若向量c满足|cab|1，则
4、|c|的最大值为(C)A.1 B.C.1 D.2解析：本题考查的是向量的数量积及坐标运算、向量模的运算性质能正确运用向量模的几何意义是解决本题的关键a，b是互相垂直的单位向量，可设a(1,0)，b(0,1)，c(x，y)由|cab|1，得|(x1，y1)|1.(x1)2(y1)21.要使|c|最大，即最大，圆(x1)2(y1)21上的点到原点的距离最大，此时|c|max11.故选C.第卷(非选择题，共100分)二、填空题(每小题5分，共25分)11在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，则2.解析：本题考查向量加法的几何意义2，2.12已知向量a，b的夹角为120，且|a|1，|b|
5、2，则向量ab在向量ab方向上的射影是.解析：由题意，|ab|.又(ab)(ab)|ab|ab|cos(为ab与ab的夹角)，向量ab在向量ab方向上的射影为|ab|cos.13已知向量a(2,1)，b(1,2)，若manb与a2b共线，则.解析：由题意，得manb(2mn，m2n)，a2b(4，3)若manb与a2b共线，则4(m2n)3(2mn)0，所以.14在ABC中，点M，N满足2，.若xy，则x，y.解析：不妨设ACAB，AB4，AC3，利用坐标法，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，建立直角坐标系，A(0,0)，M(0,2)，C(0,3)，B(4,0)，N(2，)则M，A(4,0)
6、，A(0,3)，则x(4,0)y(0,3)，4x2,3y，x，y.15已知O为ABC的外心，AB4，AC2，BAC120.若12，则2123.解析：以A为原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(4,0)，C(1，)设O(2，y)，因为OAOC，所以y，则O.由12，得1(4,0)2(1，)，所以解得所以2123.三、解答题(本题共6小题，共75分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)16(本小题满分12分)已知a(1,2)，b(3,2)(1)当k为何值时，kab与a3b垂直？(2)当k为何值时，kab与a3b平行？平行时它们是同向还是反向？解：(1)kabk(
7、1,2)(3,2)(k3,2k2)，a3b(1,2)3(3,2)(10，4)由(kab)(a3b)，得(kab)(a3b)10(k3)4(2k2)2k380，解得k19.(2)由(kab)(a3b)，得4(k3)10(2k2)，解得k.此时kab(10，4)，所以kab与a3b的方向相反17(本小题满分12分)已知非零向量a，b满足|a|1且(ab)(ab).(1)若ab，求向量a，b的夹角；(2)在(1)的条件下，求|a2b|的值解：(1)(ab)(ab)，a2b2|a|2|b|2.又|a|1，|b|，cosa，b.向量a，b的夹角为.(2)|a2b|1.18(本小题满分12分)如图所示，已
8、知ABC的两边AB、AC的中点分别为M、N，在BN的延长线上取点P，使NPBN.在CM的延长线上取点Q，使MQCM.求证：P、A、Q三点共线证明：，.由已知，.同理可证，又，有公共点A，P、A、Q三点共线19(本小题满分12分)一条宽为 km的河流，水流速度为2 km/h，在河两岸有两个码头A，B，已知AB km，船在水中的最大航速为4 km/h，该船的实际航行速度为多少时能使它从A码头最快到达彼岸B码头？用时多少？解：如图所示，设为水流速度，为航行速度，以AC和AD为邻边作ACED.当AE与AB重合时能最快到达彼岸根据题意，知ACAE.在RtADE和ACED中，|2，|4，AED90，所以|
9、2，sinEAD，所以EAD30，故需要0.5(h)答：船实际航行速度大小为2 km/h，与水流成120角时能最快到达B码头，需要0.5 h.20(本小题满分13分)在ABC中，.(1)求证：ABC为等腰三角形；(2)若|2，且B，求的取值范围解：(1)证明：，()0.又0，()，()()0，220，|2|2，|，即ABC为等腰三角形(2)B，cosB.设|a.又|2，|24，a2a22a2cosB4，a2，a2cosB2.又cosB，.21.(本小题满分14分)如图所示，在RtABC中，已知BCa，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问与的夹角取何值时，的值最大？并求出这个最大值解：解法一：，0.，()()a2a2()a2a2a2cos.当0时，最大，其最大值为0.解法二：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系设|c，|b，则A(0,0)，B(c,0)，C(0，b)，且|2a，|a，设P点的坐标为(x，y)，则Q(x，y)(xc，y)，(x，yb)，(c，b)，(2x，2y)x(xc)y(yb)x2y2cxby，cos，即cxbya2cos.a2a2cos.故当cos1时，即0(与同向)时，最大，其最大值为0.