1、第二章 函数、导数及其应用 第十二节 导数的应用(一)第二章 函数、导数及其应用 主干知识梳理 一、函数的单调性 在(a，b)内可导函数f(x)，f(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f(x)0f(x)在(a，b)上为f(x)0f(x)在(a，b)上为增函数减函数第二章 函数、导数及其应用 二、函数的极值1函数的极小值：函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其它点的函数值都小，f(a)0，而且在点xa附近的左侧，右侧，则点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值f(x)0f(x)0第二章 函数、导数及其应用 2函数的极大值：函数yf(x)在点x
2、b的函数值f(b)比它在点xb附近的其他点的函数值都大，f(b)0，而且在点xb附近的左侧，右侧，则点b叫做函数yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值f(x)0f(x)0第二章 函数、导数及其应用 三、函数的最值1在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值2若函数f(x)在a，b上单调递增，则为函数的最小值，为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则为函数的最大值，为函数的最小值f(a)f(b)f(a)f(b)第二章 函数、导数及其应用 基础自测自评1(教材习题改编)若函数f(x)x3ax2
3、3x9在x3时取得极值，则a等于()A2 B3C4D5D f(x)3x22ax3，f(3)0，a5.第二章 函数、导数及其应用 2(2013浙江高考)已知函数yf(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数yf(x)的图象如右图所示，则该函数的图象是()第二章 函数、导数及其应用 第二章 函数、导数及其应用 B 由导函数图象知，函数f(x)在1，1上为增函数当x(1，0)时f(x)由小到大，则f(x)图象的增长趋势由缓到快，当x(0，1)时f(x)由大到小，则f(x)的图象增长趋势由快到缓，故选B.第二章 函数、导数及其应用 3(2012陕西高考)设函数f(x)xex，则()Ax1为f(x)的极
4、大值点Bx1为f(x)的极小值点Cx1为f(x)的极大值点Dx1为f(x)的极小值点D 求导得f(x)exxexex(x1)，令f(x)ex(x1)0，解得x1，易知x1是函数f(x)的极小值点第二章 函数、导数及其应用 4函数 f(x)x33x23x4 在0，2上的最小值是_解析 f(x)x22x3，f(x)0，x0，2，得 x1.比较 f(0)4，f(1)173，f(2)103.可知最小值为173.答案 173第二章 函数、导数及其应用 5已知a0，函数f(x)x3ax在1，)上是单调增函数，则a的最大值是_解析 f(x)3x2a在x1，)上f(x)0，则f(1)0a3.答案 3第二章 函
5、数、导数及其应用 关键要点点拨1f(x)0与f(x)为增函数的关系：f(x)0能推出f(x)为增函数，但反之不一定如函数f(x)x3在(，)上单调递增，但f(x)0，所以f(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件2可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f(x0)0是可导函数f(x)在xx0处取得极值的必要不充分条件例如函数yx3在x0处有y|x00，但x0不是极值点此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点第二章 函数、导数及其应用 3可导函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数
6、值的比较第二章 函数、导数及其应用 典题导入(2012山东高考改编)已知函数 f(x)ln xkex(k 为常数，e2.718 28是自然对数的底数)，曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线与 x 轴平行(1)求 k 的值；(2)求 f(x)的单调区间运用导数解决函数的单调性问题第二章 函数、导数及其应用 听课记录(1)由 f(x)ln xkex，得 f(x)1kxxln xxex，x(0，)，由于曲线 yf(x)在(1，f(1)处的切线与 x 轴平行，所以 f(1)0，因此 k1.第二章 函数、导数及其应用(2)由(1)得 f(x)1xex(1xxln x)，x(0，)，令 h(x)1x
7、xln x，x(0，)，当 x(0，1)时，h(x)0；当 x(1，)时，h(x)0，所以 x(0，1)时，f(x)0；x(1，)时，f(x)0，即f(x)在(，2)上单调递增；当x(2，1)时，f(x)0，即f(x)在(1，)上单调递增从而函数f(x)在x2处取得极大值f(2)21，在x1处取得极小值f(1)6.第二章 函数、导数及其应用 典题导入已知函数f(x)(xk)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间0，1上的最小值运用导数解决函数的最值问题第二章 函数、导数及其应用 听课记录(1)f(x)(xk1)ex.令 f(x)0，得 xk1.f(x)与 f(x)的情况如下：
8、x(，k1)k1(k1，)f(x)0 f(x)ek1 第二章 函数、导数及其应用 所以，f(x)的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是(k1，)(2)当k10，即k1时，函数f(x)在0，1上单调递增，所以f(x)在区间0，1上的最小值为f(0)k；当0k11，即1k2时，由(1)知f(x)在0，k1)上单调递减，在(k1，1上单调递增，所以f(x)在区间0，1上的最小值为f(k1)ek1；当k11时，即k2时，函数f(x)在0，1上单调递减，所以f(x)在区间0，1上的最小值为f(1)(1k)e.第二章 函数、导数及其应用 互动探究本题条件不变，求f(x)在区间0，1上的最大值解析 当k
9、10，即k1时，函数f(x)在0，1上单调递增所以f(x)在0，1上的最大值为f(1)(1k)e.当0k11，即1k2时，第二章 函数、导数及其应用 由(1)知 f(x)在0，k1)上单调递减，在(k1，1上单调递增，所以 f(x)在区间0，1上的最大值为 f(0)和 f(1)较大者若 f(0)f(1)，所以k(1k)e，即 k ee1.当 1k ee1时函数 f(x)的最大值为 f(1)(1k)e，当 ee1k2 时，函数 f(x)的最大值为 f(0)k，当 k11 时，即 k2 时，函数 f(x)在0，1上单调递减 第二章 函数、导数及其应用 所以 f(x)在0，1上的最大值为 f(0)k
10、.综上所述，当 k ee1时，f(x)的最大值为 f(1)(1k)e.当 k ee1时，f(x)的最大值为 f(0)k.第二章 函数、导数及其应用 规律方法求函数f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值第二章 函数、导数及其应用 跟踪训练3(2013浙江高考)已知aR，函数f(x)2x33(a1)x26ax.(1)若a1，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)若|a|1，求f(x)在闭区间0，2|a|
11、上的最小值第二章 函数、导数及其应用 解析(1)当a1时，f(x)6x212x6，所以f(2)6.又因为f(2)4，所以切线方程为y6x8.(2)记g(a)为f(x)在闭区间0，2|a|上的最小值f(x)6x26(a1)x6a6(x1)(xa)令f(x)0，得到x11，x2a.当a1时，第二章 函数、导数及其应用 比较 f(0)0 和 f(a)a2(3a)的大小可得 g(a)0，1a3，a2（3a），a3.当 a1 时，x0(0，1)1(1，a)a(a，2a)2af(x)00f(x)0单调递增极大值3a1单调递减极小值a2(3a)单调递增4a3第二章 函数、导数及其应用 得 g(a)3a1.综
12、上所述，f(x)在闭区间0，2|a|上的最小值为 g(a)3a1，a1，0，1a3，a2（3a），a3.x0(0，1)1(1，2a)2af(x)0f(x)0单调递减极小值3a1单调递增28a324a2第二章 函数、导数及其应用 (理)(2013浙江高考)已知aR，函数f(x)x33x23ax3a3.(1)求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)当x0，2时，求|f(x)|的最大值【创新探究】分类讨论思想在导数中的应用第二章 函数、导数及其应用【思路导析】(1)求出f(1)与f(1)，写出切线方程yf(1)f(1)(x1);(2)通过利用导数研究函数yf(x)在0，2上的单调情况求
13、|f(x)|的最大值，注意对参数a分类讨论【解析】(1)由题意得f(x)3x26x3a，故f(1)3a3.又f(1)1，所以所求的切线方程为y(3a3)x3a4.第二章 函数、导数及其应用(2)由于 f(x)3(x1)23(a1)，0 x2，故(i)当 a0 时，有 f(x)0，此时 f(x)在0，2上单调递减，故|f(x)|maxmax|f(0)|，|f(2)|33a.(ii)当 a1 时，有 f(x)0，此时 f(x)在0，2上单调递增，故|f(x)|maxmax|f(0)|，|f(2)|3a1.(iii)当 0a1 时，设 x11 1a，x21 1a，则 0 x1x22，f(x)3(xx
14、1)(xx2)第二章 函数、导数及其应用 列表如下：x0(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2，2)2f(x)00f(x)33a单调递增极大值f(x1)单调递减极小值f(x2)单调递增3a1第二章 函数、导数及其应用 由于 f(x1)12(1a)1a，f(x2)12(1a)1a，故 f(x1)f(x2)20，f(x1)f(x2)4(1a)1a0.从而 f(x1)|f(x2)|.所以|f(x)|maxmaxf(0)，|f(2)|，f(x1)第二章 函数、导数及其应用()当 0a23时，f(0)|f(2)|.又 f(x1)f(0)2(1a)1a(23a)a2（34a）2（1a）1a23a0，故|
15、f(x)|maxf(x1)12(1a)1a.第二章 函数、导数及其应用()当23a1 时，|f(2)|f(2)，且 f(2)f(0)又 f(x1)|f(2)|2(1a)1a(3a2)a2（34a）2（1a）1a3a2，所以，当23a34时，f(x1)|f(2)|.第二章 函数、导数及其应用 故|f(x)|maxf(x1)12(1a)1a.当34a1 时，f(x1)|f(2)|.故|f(x)|max|f(2)|3a1.综上所述，|f(x)|max33a，a0，12（1a）1a，0a34，3a1，a34.第二章 函数、导数及其应用 (文)(2012山东高考)已知函数f(x)ax2bxln x(a，
16、bR)(1)设a0，求f(x)的单调区间；(2)设a0，且对任意x0，f(x)f(1)试比较ln a与2b的大小【思路导析】第一问中函数f(x)ax2bxln x的单调区间需利用导数来解决，需要对a，b进行分类讨论第二问要根据已知条件和第一问的知识储备，构造新的函数利用单调性来解决第二章 函数、导数及其应用【解析】(1)由 f(x)ax2bxln x，x(0，)，得 f(x)2ax2bx1x.()当 a0 时，f(x)bx1x.(i)若 b0，当 x0 时，f(x)0 恒成立，所以函数 f(x)的单调递减区间是(0，)第二章 函数、导数及其应用(ii)若 b0，当 0 x1b时，f(x)0，函
17、数 f(x)单调递减；当 x1b时，f(x)0，函数 f(x)单调递增 所以函数 f(x)的单调递减区间是(0，1b)，单调递增区间是(1b，)()当 a0 时，令 f(x)0，得 2ax2bx10.第二章 函数、导数及其应用 由 b28a0，得 x1b b28a4a，x2b b28a4a.显然，x10，x20.当 0 xx2 时，f(x)0，函数 f(x)单调递减；当 xx2 时，f(x)0，函数 f(x)单调递增 所以函数 f(x)的单调递减区间是(0，b b28a4a)，单调递增区间是(b b28a4a，)第二章 函数、导数及其应用 综上所述，当 a0，b0 时，函数 f(x)的单调递减
18、区间是(0，);当 a0，b0 时，函数 f(x)的单调递减区间是(0，1b)，单调递增区间是(1b，);当 a0 时，函数 f(x)的单调递减区间是0，b b28a4a，单调递增区间是b b28a4a，.第二章 函数、导数及其应用(2)由题意，函数 f(x)在 x1 处取得最小值，由(1)知b b28a4a是 f(x)的唯一极小值点 故b b28a4a1，整理得 2ab1 即 b12a.令 g(x)24xln x.则 g(x)14xx.第二章 函数、导数及其应用 令 g(x)0，得 x14，当 0 x14时，g(x)0，g(x)单调递增；当 x14时，g(x)0，g(x)单调递减 因此 g(
19、x)g(14)1ln 141ln 40.故 g(a)0，即 24aln a2bln a0，即 ln a2b.第二章 函数、导数及其应用【高手支招】对含有参数的函数在研究其单调区间、极值与最值时，应特别注意参数的不同取值对导数值符号的影响，不确定时要对参数进行分类讨论分类时要做到不重不漏，同时还要注意必须是在函数的定义域内求解第二章 函数、导数及其应用 体验高考(理)(2013福建高考)已知函数f(x)xaln x(aR)(1)当a2时，求曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值第二章 函数、导数及其应用 解析 函数 f(x)的定义域为(0，)，f(x)1ax.
20、(1)当 a2 时，f(x)x2ln x，f(x)12x(x0)，因而 f(1)1，f(1)1，所以曲线 yf(x)在点 A(1，f(1)处的切线方程为 y1(x1)，即 xy20.第二章 函数、导数及其应用(2)由 f(x)1axxax，x0 知：当 a0 时，f(x)0，函数 f(x)为(0，)上的增函数，函数 f(x)无极值；当 a0 时，由 f(x)0，解得 xa，又当 x(0，a)时，f(x)0；第二章 函数、导数及其应用 当x(a，)时，f(x)0，从而函数f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aaln a，无极大值综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)
21、在xa处取得极小值aaln a，无极大值第二章 函数、导数及其应用(文)(2013广东高考)设函数f(x)x3kx2x(kR)(1)当k1时，求函数f(x)的单调区间；(2)当k0时，求函数f(x)在k，k上的最小值m和最大值M.第二章 函数、导数及其应用 解析(1)当k1时，f(x)x3x2x，f(x)3x22x1.方程3x22x10的判别式44380，f(x)0恒成立 f(x)的单调递增区间为(，)(2)当k0时，f(x)3x22kx1，方程3x22kx10的判别式4k2434(k23)，第二章 函数、导数及其应用 当 0 时，有 k230，即 3k0 时，f(x)0 恒成立，这时 f(x
22、)在k，k上单调递增，有 mf(k)k3kk2kk，Mf(k)k3kk2k2k3k.当 0 时，有 k230，即 k 3，令 f(x)3x22kx10 得 x1k k2330，x2k k2330，且 x1x20，第二章 函数、导数及其应用 又 x1kk k233k2k k233 4k2 k2330，于是 kx1x20，当 kxx1 或 x2xk 时，f(x)0，f(x)为增函数；当 x1xx2 时，f(x)0，f(x)为减函数，故 Mmaxf(k)，f(x1)，mminf(k)，f(x2)先证 f(k)f(x1)第二章 函数、导数及其应用 3x212kx110，kx213x31x12，f(x1
23、)x31kx21x1x313x31x12x1 x31x12，f(k)f(x1)(2k3k)(x31x12)2k3k12x3112x1 2k312x31(k12x1)，第二章 函数、导数及其应用 又k12x10，要证 f(k)f(x1)，只需证2k312x310 x314k3x13 4k，由 kx10 知 x13 4k 显然成立，f(k)f(x1)再证 f(k)f(x2)第二章 函数、导数及其应用 同理 f(x2)x32x22，有 f(k)f(x2)kx32x22 12(kx2)12(kx32)0，f(k)f(x2)综上所述，Mf(k)2k3k，mf(k)k.第二章 函数、导数及其应用 课时作业