1、第二章 函数、导数及其应用 第三节函数的单调性与最值第二章 函数、导数及其应用 主干知识梳理 一、函数的单调性1单调函数的定义增函数减函数定义设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2第二章 函数、导数及其应用 定义当x1x2时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象自左向右看图象f(x1)f(x2)逐渐上升逐渐下降第二章 函数、导数及其应用 2.单调区间的定义若函数yf(x)在区间D上是或，则称函数yf(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，叫做yf(x)的单调
2、区间增函数减函数区间D第二章 函数、导数及其应用 二、函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件对于任意xI，都有；存在x0I，使得对于任意xI，都有；存在x0I，使得结论M为最大值M为最小值f(x)Mf(x)Mf(x0)Mf(x0)M第二章 函数、导数及其应用 基础自测自评1(2013北京高考)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，)上单调递减的是()Ay1x ByexCyx21 Dylg|x|C A 选项为奇函数，B 选项为非奇非偶函数，D 选项虽为偶函数但在(0，)上是增函数，故选 C.第二章 函数、导数及其应用 2函数 y(2k1)xb 在(，)上是减函数，则()
3、Ak12Bk12Dk12D 函数 y(2k1)xb 是减函数，则 2k10，即 k12.第二章 函数、导数及其应用 3(教材习题改编)函数 f(x)11x（1x）的最大值是()A.45B.54C.34D.43D 1x(1x)x2x1 x1223434，011x（1x）43.第二章 函数、导数及其应用 4(教材习题改编)f(x)x22x(x2，4)的单调增区间为_；f(x)max_解析 函数f(x)的对称轴x1，单调增区间为1，4，f(x)maxf(2)f(4)8.答案 1，4 8第二章 函数、导数及其应用 5已知函数 f(x)为 R 上的减函数，若 mn，则 f(m)_f(n)；若 f1x f
4、(n)；1x 1，即|x|1，且 x0.故1x(1，0)(0，1)第二章 函数、导数及其应用 关键要点点拨1函数的单调性是局部性质从定义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质，是局部的特征在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调第二章 函数、导数及其应用 2函数的单调区间的求法函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间第二章
5、函数、导数及其应用 注意 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“”联结，也不能用“或”联结第二章 函数、导数及其应用 典题导入判断函数 f(x)xax(a0)在(0，)上的单调性函数单调性的判断第二章 函数、导数及其应用 听课记录 设 x1x20，则 f(x1)f(x2)x1ax1 x2ax2(x1x2)ax1ax2(x1x2)a（x2x1）x1x2(x1x2)1 ax1x2.第二章 函数、导数及其应用 当 ax1x20 时，x1x20，1 ax1x20，有 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)0)是减函数；当 x1x2 a时，x1x20，
6、1 ax1x20，第二章 函数、导数及其应用 有 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，此时，函数 f(x)xax(a0)是增函数综上可知，函数 f(x)xax(a0)在(0，a 上为减函数；在 a，)上为增函数第二章 函数、导数及其应用 规律方法对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法：(1)结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)证明；(2)可导函数则可以利用导数证明对于抽象函数单调性的证明，一般采用定义法进行第二章 函数、导数及其应用 跟踪训练1判断函数 g(x)2xx1在(1，)上的单调性解析 任取 x1，x2(1，)，且 x1x2，则 g(x
7、1)g(x2)2x1x112x2x21 2（x1x2）（x11）（x21），由于 1x1x2，所以 x1x20，因此 g(x1)g(x2)0，即 g(x1)12，得1x1.由 f(x)12，得 x1 或 x1.所以 f12(x)2x，x1，12，1x1，2x，x1.故 f12(x)的单调递增区间为(，1)答案 C第二章 函数、导数及其应用 互动探究若本例中 f(x)2|x|变为 f(x)log2|x|，其他条件不变，则 fk(x)的单调增区间为_解析 函数 f(x)log2|x|，k12时，函数 fk(x)的图象如图所示，由图示可得函数 fk(x)的单调递增区间为(0，2 答案(0，2 第二章
8、 函数、导数及其应用 规律方法求函数的单调区间的常用方法(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间(4)导数法：利用导数的正负确定函数的单调区间第二章 函数、导数及其应用 跟踪训练2(2014广州模拟)设函数 f(x)1，x0，0，x0，1，x0，g(x)x2f(x1)，则函数 g(x)的递减区间是()A(，0 B0，1)C1，)D1，0第二章 函数、导数及其应用 B g(x)x2，x1，0，x1，x2，x1.如图所示
9、，其递减区间是0，1)故选 B.第二章 函数、导数及其应用 典题导入(1)f(x)ax，（x1），（4a2）x2，（x1）是 R 上的单调递增函数，则实数 a 的取值范围为()A(1，)B4，8)C(4，8)D(1，8)单调性的应用第二章 函数、导数及其应用 听课记录 因为 f(x)是 R 上的单调递增函数，由题意可得a1，4a20，a4a22.解得 4a8.答案 B第二章 函数、导数及其应用(2)(2014北京模拟)定义在R上的偶函数f(x)在(0，)上是增函数，则()Af(3)f(4)f()Bf()f(4)f(3)Cf(3)f()f(4)Df(4)f()f(3)第二章 函数、导数及其应用
10、听课记录 f(x)是偶函数，f()f()，f(4)f(4)又f(x)在(0，)上是增函数，f(3)f()f(4)，f(3)f()f(4)，故C正确答案 C第二章 函数、导数及其应用 互动探究在本例(2)条件不变的情况下，试比较 f34 与 f(a2a1)的大小解析 a2a1a12234340，又 f(x)为偶函数，f34 f34，由条件知 f(x)在(0，)为增函数，故 f(a2a1)f34.第二章 函数、导数及其应用 规律方法单调性的应用主要涉及利用单调性求最值，进行大小比较，解抽象函数不等式，解题时要注意：一是函数定义域的限制；二是函数单调性的判定；三是等价转化思想与数形结合思想的运用第二
11、章 函数、导数及其应用 跟踪训练3(1)(2014孝感调研)函数 f(x)1x1在2，3上的最小值为_，最大值为_解析 f(x)1（x1）20，x0)，若 f(x)在12，2 上的值域为12，2，则 a_第二章 函数、导数及其应用 解析 由反比例函数的性质知函数 f(x)1a1x(a0，x0)在12，2上单调递增，所以f12 12，f（2）2.即1a212，1a122，解得 a25.答案 25第二章 函数、导数及其应用 (2014济宁模拟)定义在 R 上的偶函数 f(x)在0，)上递增，f13 0，则满足 f(log18x)0 的 x 的取值范围是()A(0，)B.0，12(2，)C.0，18
12、 12，2D.0，12【创新探究】等价转化思想在利用单调性求解不等式问题中的应用第二章 函数、导数及其应用【思路导析】由于 logx 的符号不确定，故可利用 f(x)f(x)f(|x|)，将不等式进行等价转化后求解【解析】由 f(logx)0f(|logx|)f13，即 logx13或 logx13，0 x12或 x2.【答案】B【思路导析】由于 logx 的符号不确定，故可利用 f(x)f(x)f(|x|)，将不等式进行等价转化后求解【解析】由 f(logx)0f(|logx|)f13，即 logx13或 logx13，0 x12或 x2.【答案】B【思路导析】由于 logx 的符号不确定，
13、故可利用 f(x)f(x)f(|x|)，将不等式进行等价转化后求解【解析】由 f(logx)0f(|logx|)f13，即 logx13或 logx13，0 x12或 x2.【答案】B第二章 函数、导数及其应用【高手支招】若已知f(x)为偶函数且在0，)上递增，那么对于形如f(m)f(n)的不等式中m，n符号不确定可转化为f(m)f(n)f(|m|)f(|n|)|m|n|，可避免分类讨论第二章 函数、导数及其应用 体验高考1(2012浙江高考)设a0，b0，e是自然对数的底数()A若ea2aeb3b，则abB若ea2aeb3b，则abD若ea2aeb3b，则ab.故选A.第二章 函数、导数及其
14、应用 2(2012广东高考)下列函数中，在区间(0，)上为增函数的是()Ayln(x2)By x1Cy12xDyx1x第二章 函数、导数及其应用 A 函数 yln(x2)的定义域为(2，)，y 1x2在(2，)上大于 0 恒成立，(0，)(2，)，函数 yln(x2)在区间(0，)上为增函数第二章 函数、导数及其应用 3(2012安徽高考)若函数 f(x)|2xa|的单调递增区间是3，)，则 a_解析 利用函数图象确定单调区间 f(x)|2xa|2xa，xa2，2xa，xa2.第二章 函数、导数及其应用 作出函数图象，由图象知：函数的单调递增区间为a2，a23，a6.答案 6第二章 函数、导数及其应用 课时作业