1、第二章 函数、导数及其应用考点测试12 函数与方程第一部分 考点通关练高考概览高考在本考点的常考题型为选择题，分值 5 分，中、高等难度考纲研读结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数第1步狂刷小题 基础练一、基础小题1下列函数图象与 x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是()解析 能用二分法求零点的函数必须在给定区间a，b上连续不断，并且有 f(a)f(b)0.A，B 中不存在 f(x)0，D 中函数不连续故选 C.答案解析解析 f12 20，零点在12，1 上，故选 C.答案解析2函数 f(x)ex2x3 的零点所在的一个区间为()A(1,
2、0)B0，12C.12，1D1，32解析 因为函数 f(x)15xlog3x在(0，)上是减函数，所以当 0 x1f(x0)又 x0 是函数 f(x)的零点，因此 f(x0)0，所以 f(x1)0，即此时 f(x1)的值恒为正值，故选 A.答案解析3已知函数 f(x)15xlog3x，若 x0 是函数 f(x)的零点，且 0 x1x0，则f(x1)的值()A恒为正值B等于 0C恒为负值D不大于 0解析 f(x)x58x31，f(0)0，f(0)f(0.5)0，其中一个零点所在的区间为(0,0.5)，第二次应计算的函数值为 f(0.25)，故选 D.答案解析4用二分法研究函数 f(x)x58x3
3、1 的零点时，第一次经过计算得f(0)0，则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为()A(0,0.5)，f(0.125)B(0.5,1)，f(0.875)C(0.5,1)，f(0.75)D(0,0.5)，f(0.25)解析 因为函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，所以 f(0)0.因为 f(x)在(0，)上单调递增，f12 f(2)0 时函数 f(x)有 1 个零点根据奇函数的对称性可知，当 x0 时，f(x)2x2x4，则 f(x)的零点个数是()A2 B3 C4 D5解析 令 f(x)2x，g(x)x2，因为 f(1.8)3.482，g(1.8)3.24，f(2.2)4.5
4、95，g(2.2)4.84.令 h(x)2xx2，则 h(1.8)0，h(2.2)0，f13 0，f12 0的大致图象(图略)观察它与直线 ym 的交点，得知当 m0 或 m1 时，有交点，即函数 g(x)f(x)xm 有零点答案解析8已知函数 f(x)0，x0，ex，x0，则使函数 g(x)f(x)xm 有零点的实数 m 的取值范围是()A0,1)B(，1)C(，1(2，)D(，0(1，)答案9设函数 f(x)13xln x，则函数 f(x)()A在区间1e，1，(1，e)内均有零点B在区间1e，1，(1，e)内均无零点C在区间1e，1 内有零点，在区间(1，e)内无零点D在区间1e，1 内
5、无零点，在区间(1，e)内有零点解析 解法一：令 f(x)0 得13xln x作出函数 y13x 和 yln x 的图象，如图，显然 f(x)在1e，1 内无零点，在(1，e)内有零点解法二：当 x1e，e 时，函数图象是连续的，且 f(x)131xx33x 0，f(1)130，f(e)13e10，所以函数 f(x)在区间1e，1 内无零点，在区间(1，e)内有唯一的零点解析答案10设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(x2)f(2x)，当 x2,0时，f(x)22x1，则在区间(2,6)上关于 x 的方程 f(x)log8(x2)0的解的个数为()A1 B2 C3 D4解析 原方
6、程等价于 yf(x)与 ylog8(x2)的图象的交点个数问题，由 f(x2)f(2x)，可知 f(x)的图象关于直线 x2 对称，再根据 f(x)是偶函数这一性质，可由 f(x)在2,0上的解析式，作出 f(x)在(0,2)上的图象，进而作出 f(x)在(2,6)上的图象，如图所示再在同一坐标系下，画出 ylog8(x2)的图象，注意其图象过点(6,1)，由图可知，两图象在区间(2,6)内有三个交点，从而原方程有三个根，故选C.解析答案(2,1)解析 函数 f(x)的大致图象如图所示，则 f(1)0，即 1(a21)a20，得2a1.若关于 x 的方程 f(x)14xa(aR)恰有两个互异的
7、实数解，则 a 的取值范围为()A.54，94B54，94C.54，94 1 D54，94 1解析 如图，分别画出两函数 yf(x)和 y14xa 的图象(1)先研究当 0 x1 时，直线 y14xa 与 y2 x的图象只有一个交点的情况当直线 y14xa 过点 B(1,2)时，214a，解得 a94.所以 0a94.解析(2)再研究当 x1 时，直线 y14xa 与 y1x的图象只有一个交点的情况：相切时，由 y 1x214，得 x2，此时切点为2，12，则 a1.相交时，由图象可知直线 y14xa 从过点 A 向上移动时与 y1x的图象只有一个交点过点 A(1,1)时，114a，解得 a5
8、4.所以 a54.结合图象可得，所求实数 a 的取值范围为54，94 1故选 D.解析答案15(2019浙江高考)设 a，bR，函数f(x)x，x0，13x312a1x2ax，x0.若函数 yf(x)axb 恰有 3 个零点，则()Aa1，b0 Ba0Ca1，b1，b0解析 由题意，bf(x)ax1ax，x0，13x312a1x2，x0.设 yb，g(x)1ax，x0，13x312a1x2，x0.即以上两个函数的图象恰有 3 个交点，根据选项进行讨论当 a0，可知 g(x)在(，0)上单调递增；由 g(x)x2(a1)xxx(a1)(x0)，a11，即 a10 时，因为 g(x)xx(a1)(
9、x0)，所以当 x0 时，由 g(x)0 可得 0 x0 可得 xa1，所以当 x0 时，g(x)在(0，a1)上单调递减，g(x)在(a1，)上单调递增如图，yb 与 yg(x)(x0)的图象至多有 2 个交点解析当 1a0，即1a1 时，由图象可得，若要 yg(x)与 yb 的图象有3 个交点，必有 b0；当 1a0 时，yg(x)与 yb 的图象可以有 1 个、2 个或无数个交点，但不存在恰有 3 个交点的情况，不符合题意，舍去；当 1a1 时，yg(x)与 yb 的图象可以有 1 个或 2 个交点，但不存在恰有 3 个交点的情况，不符合题意，舍去综上，1a1，b0，g(x)f(x)xa
10、.若g(x)存在 2 个零点，则 a 的取值范围是()A1,0)B0，)C1，)D1，)解析 画出函数 f(x)的图象，再画出直线 yx 并上下移动，可以发现当直线过点 A 时，直线与函数 f(x)的图象有两个交点，并且向下无限移动，都可以保证直线与函数 f(x)的图象有两个交点，即方程 f(x)xa 有两个解，也就是函数 g(x)有两个零点，此时满足a1，即 a1，故选 C.解析答案17(2017全国卷)已知函数 f(x)x22xa(ex1ex1)有唯一零点，则 a()A12B13C12D1解析 解法一：f(x)x22xa(ex1ex1)(x1)2aex1e(x1)1，令 tx1，则 g(t
11、)f(t1)t2aetet 1.g(t)(t)2a(etet)1g(t)，函数 g(t)为偶函数f(x)有唯一零点，g(t)也有唯一零点又 g(t)为偶函数，由偶函数的性质知 g(0)0，2a10，解得 a12.故选 C.解析解法二：f(x)0a(ex1ex1)x22x.ex1ex12 ex1ex12，当且仅当 x1 时取“”x22x(x1)211，当且仅当 x1 时取“”若 a0，则 a(ex1ex1)2a，要使 f(x)有唯一零点，则必有 2a1，即 a12.若 a0，则 f(x)的零点不唯一故选 C.解析答案 3解析 0 x，63x6196.由题可知，当 3x62，3x632 或 3x6
12、52 时，f(x)0.解得 x9，49 或79.故函数 f(x)cos3x6 在0，上有 3 个零点答案解析18(2018全国卷)函数 f(x)cos3x6 在0，的零点个数为_答案(4,8)答案19(2018天津高考)已知 a0，函数f(x)x22axa，x0，x22ax2a，x0.若关于 x 的方程 f(x)ax 恰有 2 个互异的实数解，则 a 的取值范围是_解析 设 g(x)f(x)axx2axa，x0，x2ax2a，x0，方程 f(x)ax 恰有 2 个互异的实数解即函数 yg(x)有两个零点，即 yg(x)的图象与 x 轴有 2 个交点，满足条件的 yg(x)的图象有以下三种情况：
13、情况一：则1a24a0，2a28a0，4a8.解析情况二：则1a24a0，不等式组无解解析情况三：则1a24a0，2a28a0，解得 a0(舍去)综上，满足条件的 a 的取值范围是(4,8)解析答案(1,4)(1,3(4，)解析 当 2 时，不等式 f(x)0 等价于x2，x40或x2，x24x30，即2x4 或 1x2，故不等式 f(x)0 的解集为(1,4)答案解析20(2018浙江高考)已知 R，函数f(x)x4，x，x24x3，x.当 2 时，不等式 f(x)4.两个零点为 1,4，由图可知，此时 13.综上，的取值范围为(1,3(4，)解析解析 因为 f(x)在区间1,1上是增函数，
14、且 f12 f12 0，所以 f(x)在区间12，12 上有唯一的零点所以方程 f(x)0 在区间1,1内有唯一的实数根答案解析21(2019沧州模拟)设 f(x)是区间1,1上的增函数，且 f12 f12 1，0blog320，f(1)log321log3212，且 a2a2，即25a0 恒成立，即对于任意 bR，b24ab4a0 恒成立，所以有(4a)24(4a)0a2a0，解得 0a0)(1)作出函数 f(x)的图象；(2)当 0ab，且 f(a)f(b)时，求1a1b的值；(3)若方程 f(x)m 有两个不相等的正根，求 m 的取值范围(2)因为 f(x)|11x|1x1，x0，1，11x，x1，故 f(x)在(0,1上是减函数，而在(1，)上是增函数由 0ab 且 f(a)f(b)，得 0a1b，且1a111b，所以1a1b2.(3)由函数 f(x)的图象可知，当 0m1 时，函数 f(x)的图象与直线 ym 有两个不同的交点，即方程 f(x)m 有两个不相等的正根解本课结束