1、二圆锥曲线的参数方程 目 标 导 学 1理解椭圆、双曲线、抛物线的参数的几何意义2掌握椭圆的参数方程在计算最值问题中的应用，了解双曲线、抛物线的参数方程在计算中的应用知识梳理1椭圆1(ab0)的参数方程为(为参数)1(ab0)的参数方程为(为参数)2双曲线1(a0，b0)的参数方程为(为参数)3抛物线y22px(p0)的参数方程为(为参数)或(t为参数)(1)从几何变换的角度看，通过伸缩变换，令椭圆1可以变成圆x2y21，利用圆x2y21的参数方程(是参数)，可以得到椭圆1的参数方程(是参数)，因此，参数的几何意义是椭圆上任意一点M所对应的圆的半径OA(或OB)的旋转角(称为点M的离心角)，而
2、不是OM的旋转角(2)同一条圆锥曲线的参数方程的形式不是唯一的，如椭圆1的参数方程可以是也可以是二者只是形式不同而已在解题时，写圆锥曲线的参数方程时，要结合题目中所给的条件，选择合适的参数求解题型一椭圆的参数方程及其应用(1)中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10，离心率为，则椭圆的参数方程为_；(2)设P为椭圆1上一点，且xOP，则点P的坐标为_；(3)点P在椭圆y21上，则点P到直线l：x2y0的距离的最大值为_【思路探索】对于(1)可先求出椭圆的普通方程，再求其参数方程；对于(2)(3)可利用椭圆的参数方程，求解【解析】(1)由题意得得又椭圆的焦点在x轴上，b2
3、a2c216，椭圆的方程为1，其参数方程为(为参数)(2)P在1上，设P的坐标为(4cos ，2sin )，POx，tan 2.或(舍)点P的坐标为.(3)点P在椭圆y21上，设P(2cos ，sin )，由点到直线的距离公式得.点P到直线x2y0的最大距离为.【答案】(1)(为参数)(2)(3)名 师 点 拨利用椭圆的参数方程可以解决与椭圆上的点有关的最值问题，其思想转化为三角函数求最值.(2019汕头质检)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为3212cos 10(0)(1)求曲线C1的直角坐标方程；(2)曲线C2的方程为1，设
4、P，Q分别为曲线C1与曲线C2上的任意一点，求|PQ|的最小值 .解：(1)由xcos ，ysin ，得3(x2y2)12x10.整理得(x2)2y2.所以曲线C1的直角坐标方程为(x2)2y2.(2)把曲线C2：1转化为参数方程为(为参数)，则点Q的坐标可设为(4cos ，2sin )由(1)知，圆C1的圆心坐标为(2,0)，半径r，所以|QC1|2，所以当cos 时，|QC1|min ，所以|PQ|min|QC1|min r.题型二双曲线的参数方程及其应用(1)双曲线(为参数)的离心率为_，渐近线方程为_；(2)将参数方程(t为参数)化为普通方程为_；(3)设M为双曲线x2y21上任意一点
5、，M0(0,2)，则|MM0|的最小值是_【思路探索】对于(1)化参数方程为普通方程再求解；对于(2)直接消参即可；对于(3)可利用双曲线的参数方程求解【解析】(1)由(为参数)得1.其中a225，b216，c2a2b241，e.令0，得yx，其渐近线方程为yx.(2)由(t为参数)得x2y24.(3)双曲线x2y21的参数方程为(为参数)，则M的坐标为，又M0(0,2)，|MM0|22(tan 2)2tan21tan24tan 42(tan 1)23.当tan 1时，|MM0|2有最小值3，从而|MM0|有最小值.【答案】(1)yx(2)x2y24(3)名 师 点 拨1双曲线1(a0，b0)
6、的参数方程为(为参数)其中cos 0，所以k，kZ，这也使令tan 有意义的的取值范围一致故我们通常规定参数的范围为0,2)且，.2与椭圆的参数方程的应用相似，当P在双曲线1上时，可设P，其中0,2)，且，从而把与双曲线上的点的坐标有关问题转化为三角函数问题来处理.(2019衡水高二检测)参数方程(为参数)的普通方程为()Ay2x21 Bx2y21Cy2x21(1y ) Dx2y21(|x|)解析：由xsincos，得x21sin ，由y，得y22sin ，y2x21，又y22sin 1,3，y1，故选C答案：C题型三抛物线的参数方程及其应用已知抛物线(t为参数，p0)上的点M，N对应的参数值
7、为t1，t2，且t1t20，t1t2p2.(1)求抛物线的准线方程及焦点坐标；(2)求M、N两点间的距离【思路探索】对于(1)把参数方程化为普通方程即可求出准线方程及焦点坐标；对于(2)可直接套用两点间的距离公式【解】(1)由(t为参数，p0)得y22px(p0)，其焦点坐标为，准线方程为x.(2)由题可知M，N两点的坐标分别为(2pt，2pt1)，(2pt，2pt2)，|MN| .t1t20，t1t2p2，|MN|2p2p4p2.M，N两点间的距离为4p2.名 师 点 拨若点M在抛物线y22px(p0)上，可根据参数方程设M(2pt2,2pt)，从而把点的坐标转化为与参数t有关的问题求解(2019江南十校联考)已知曲线M的参数方程为(为参数)，曲线N的极坐标方程为cosm.(1)求曲线M的普通方程与曲线N的直角坐标方程；(2)曲线M与曲线N有两个公共点，求m的取值范围解：(1)在曲线M中，由xcos sin ，得x2cos23sin22sin cos 12sin22sin cos 1y，又xcos sin 2cos，x2,2曲线M的普通方程为yx21，x2,2由cosm，得cos sin m.化为直角坐标方程为xym0.(2)曲线M与曲线N有两个公共点，在2,2上有两组解，即方程x2xm10在2,2上有两解令g(x)x2xm1，x2,2，则解得m，实数m的取值范围是.
