1、第三章 三角函数、解三角形与平面向量考点测试24 正弦定理和余弦定理第一部分 考点通关练高考概览本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题和解答题，分值 5 分、12 分，中、低等难度考纲研读掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题第1步狂刷小题 基础练一、基础小题1在ABC 中，若 AB8，A120，其面积为 4 3，则 BC()A2 13B4 13C2 21D4 7解析 因为 SABC12ABACsinA4 3，故 AC2；由余弦定理得，BC2AB2AC22ABACcosA84，故 BC2 21.故选 C.答案解析2已知 a，b，c 为ABC 的三个内角 A，B，C
2、所对的边，若 3bcosCc(13cosB)，则 sinCsinA()A23 B43 C31 D32解析 由正弦定理得 3sinBcosCsinC3sinCcosB，即 3sin(BC)sinC，因为 ABC，所以 BCA，所以 3sinAsinC，所以 sinCsinA31，故选 C.答案解析3若ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 bsin2AasinB，且 c2b，则ab等于()A.32B43C 2D 3解析 由 bsin2AasinB，得 2sinBsinAcosAsinAsinB，得 cosA12.又 c2b，由余弦定理得 a2b2c22bccosAb24b2
3、4b2123b2，得ab 3.故选 D.答案解析4ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 acsinB10sinC，ab7，且 cosC2 155，则 c()A4 B5 C2 6D7解析 acsinB10sinC.由正弦定理可得 abc10c，即 ab10.cosC2155，cosC 21552 1 15，则 c a2b22abcosC 7221020155.故选 B.答案解析5在ABC 中，a2b2tanAtanB，则ABC 一定是()A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形解析 a2b2tanAtanB，由正弦定理可得，sin2Asin2BtanAt
4、anBsinAcosAsinBcosBsinAcosBsinBcosA，sinAsinB0，sinAsinBcosBcosA，sinAcosAsinBcosB，即 sin2Asin2B，2A2B 或 2A2B，AB 或 AB2，即ABC 为等腰或直角三角形故选 D.答案解析6在锐角ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 sinA2 23，a2，SABC 2，则 b 的值为()A.3B3 22C2 2D2 3答案解析 因为ABC 为锐角三角形，sinA2 23，所以 cosA13.由 SABC12bcsinA 2，得 bc3.由 cosAb2c2a22bc得 b2c26.联立
5、，解得 b 3，故选 A.解析7已知在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a3b，c 5，且 cosC56，则 a_.解析 a3b，c 5，且 cosC56，由余弦定理可得，cosC56a2b2c22ab9b2b2523bb，解得 b1，a3.解析3 8在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，A60，且ABC 外接圆半径为 3，则 a_，若 bc3 3，则ABC 的面积为_解析 A60，且ABC 外接圆半径 R 为 3，由正弦定理 asinA2R，可得 a2RsinA2 3sin603，bc3 3，由余弦定理 a2b2c22bccosA，可得 9b2c2
6、bc(bc)23bc273bc，解得 bc6，SABC12bcsinA126 32 3 32.解析3 3 32二、高考小题9(2019全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 asinAbsinB4csinC，cosA14，则bc()A6 B5 C4 D3解析 asinAbsinB4csinC，由正弦定理得 a2b24c2，即 a24c2b2.由余弦定理得 cosAb2c2a22bcb2c24c2b22bc3c22bc 14，bc6.故选 A.答案解析10(2018全国卷)在ABC 中，cosC2 55，BC1，AC5，则 AB()A4 2B 30C 29D2 5解析
7、 因为 cosC2cos2C212552135，所以 AB2BC2AC22BCACcosC12521535 32，所以 AB4 2.故选 A.答案解析11(2018全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若ABC 的面积为a2b2c24，则 C()A.2B3C4D6解析 由题可知 S ABC12absinCa2b2c24，所以 a2b2c22absinC.由余弦定理得 a2b2c22abcosC，所以 sinCcosC.因为 C(0，)，所以 C4，故选 C.答案解析12(2019浙江高考)在ABC 中，ABC90，AB4，BC3，点 D在线段 AC 上若BDC45，则
8、BD_，cosABD_.解析 如图，易知 sinC45，cosC35.在BDC 中，由正弦定理可得BDsinCBCsinBDC，BDBCsinCsinBDC3452212 25.12 25解析7 210由ABCABDCBD90，可得 cosABDcos(90CBD)sinCBDsin(CBDC)sin(CBDC)sinCcosBDCcosCsinBDC45 22 35 22 7 210.解析13(2018浙江高考)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若 a 7，b2，A60，则 sinB_，c_.解析 由 asinA bsinB得 sinBbasinA 217，由 a2b
9、2c22bccosA，得c22c30，解得 c3(舍去负值)217解析3 三、模拟小题14(2019黄山一模)已知ABC 的三边满足条件a2bc2bc3，则 A()A30 B45 C60 D120解析 a2bc2bc3 整理可得 b2c2a2bc，由余弦定理可得 cosAb2c2a22bcbc2bc 12，A(0，180)，A120.故选 D.答案解析15(2019赣州中学模拟)在ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为a，b，c.若角 A，B，C 依次成等差数列，且 a1，b 3.则 SABC()A.2B 3C 32D2解析 A，B，C 依次成等差数列，B60，由余弦定理得 b2a2c2
10、2accosB，得 c2，SABC12acsinB 32.故选 C.答案解析16(2019广东化州市高三模拟)在ABC 中，三个内角 A，B，C 所对的边为 a，b，c，若 SABC2 3，ab6，acosBbcosAc2cosC，则 c()A2 7B4 C2 3D3 3解析 acosBbcosAcsinAcosBsinBcosAsinCsinABsinAB1，即有 2cosC1，可得 C60，若 SABC2 3，则12absinC2 3，即有 ab8，又 ab6，由 c2a2b22abcosC(ab)22abab(ab)23ab623812，解得 c2 3.故选 C.答案解析17(2019曲
11、靖一中质量监测)在锐角ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，R 是ABC 的外接圆半径，且 bacosCccosA2 2R，则B()A.6B4C3D23答案解析 由正弦定理，得 asinA bsinB csinC2R，则 a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC，由 bacosCccosA22R，得 2RsinB2RsinAcosC2RsinCcosA2 2R，即 sinBsinAcosCsinCcosA 2，则 sinBsin(AC)2，即 sinBsin(B)sinBsinB2sinB 2，则 sinB 22，因为ABC 是锐角三角形，所以 B4，故选 B.解析18(
12、2019长春二模)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a 2，acosBbsinAc，则ABC 的面积的最大值为_解析 acosBbsinAc，由正弦定理得 sinCsinAcosBsinBsinA，又 ABC，sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB，由得 sinAcosA，即 tanA1，又 A(0，)，A4.a 2，212解析由余弦定理可得 2b2c22bccosAb2c2 2bc2bc 2bc(2 2)bc，可得 bc2 2，当且仅当 bc 时等号成立，ABC 的面积 S12bcsinA 24 bc 24(2 2)212，当且仅当bc 时，等号成立，即
13、面积的最大值为212.解析第2步精做大题 能力练一、高考大题1(2019全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.设(sinBsinC)2sin2AsinBsinC.(1)求 A；(2)若 2ab2c，求 sinC.解(1)由已知得 sin2Bsin2Csin2AsinBsinC，故由正弦定理得 b2c2a2bc.由余弦定理得 cosAb2c2a22bc12.因为 0A180，所以 A60.解(2)由(1)知 B120C，由题设及正弦定理得 2sinAsin(120C)2sinC，即 62 32 cosC12sinC2sinC，可得 cos(C60)22.因为 0C0，所以
14、 cosB2sinB0，从而 cosB2 55.因此 sinB2 cosB2 55.解二、模拟大题4(2019湖北四地七校联考)如图，A，B，C，D 四点共圆，A 为钝角且 sinA35，BABC10，BD6 5.(1)求边 AD 的长；(2)设BDC，CBD，求 sin(2)的值解(1)sinA35，且A 为钝角，cosA135245.在ABD 中，由余弦定理得，AD2AB22ADABcosABD2，AD216AD800，解得 AD4 或 AD20(舍去)，故 AD4.解(2)如图，连接 AC，则BDCBACACBADB，CBDCAD，则 2BCDCDABADCBA，即 2422ABD，故
15、2ABD，则 2 与ABD 互补，于是 sin(2)sinABD，在ABD 中，由正弦定理，得 BDsinAADsinABDsinABD2 525.sin(2)2 525.解5(2019宁夏二模)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 acosA2cbcosB.(1)求角 A；(2)若 b 2，c4，点 D 在ABC 内，且 BD 2，BDCA，求BDC 的面积解(1)acosA2cbcosB，acosB 2ccosAbcosA，由正弦定理，可得 sinAcosB 2sinCcosAsinBcosA，可得 sin(AB)sinC 2sinCcosA，sinC0，cosA 2
16、2，A(0，)，A4.解(2)A4，b 2，c4，由余弦定理可得，BCc2b22bccosA16224 2 22 10，BDCA，BDC34，又 BD 2，由余弦定理可得 BC2BD2CD22BDCDcosBDC，即 102CD22 2CD 22，可得 CD22CD80，解得 CD2 或4(舍去)，SBDC12BDCDsinBDC12 22 22 1.解6(2019太原一模)如图，已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 asinA(ca)sinCbsinB，点 D 是 AC 的中点，DEAC，交 AB于点 E，且 BC2，DE 62.(1)求角 B 的大小；(2)求ABC 的面积解(1)asinA(ca)sinCbsinB，由 asinA bsinB csinC，得 a2c2acb2，由余弦定理，得 cosBa2c2b22ac12，0B，B3.解(2)连接 CE，如图，D 是 AC 的中点，DEAC，AECE，CEAE DEsinA62sinA，AACE，在BCE 中，由正弦定理，得CEsinBBCsinBEC BCsin2A，解62sinAsin322sinAcosA，cosA 22，0A，A4，ACB512，BCEACBACE6，BEC2，CEAE 3，BE1，ABAEBE 31，SABC12ABCE3 32.解本课结束