1、第二讲参数方程一曲线的参数方程第一课时参数方程的概念、圆的参数方程 目 标 导 学 1了解引入参数方程的必要性，理解参数方程、普通方程的概念2掌握圆的参数方程及其参数的意义，并能运用圆的参数方程解决简单的最值问题知识梳理1参数方程的概念(1)一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数.(2)对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程2圆的参数方程x2y2r2的参数方程为(为参数)(xa)2(yb)2
2、r2的参数方程为(为参数)参数方程中的参数t是联系x，y的桥梁，它可以有物理意义或几何意义，也可以是没有明显实际意义的变数，参数的选取一般需注意两点：x，y的值可由参数唯一确定；参数x，y的关系比较明显，容易列出方程圆x2y2r2的参数方程中参数的几何意义是射线Ox绕点O逆时针旋转到OM(M(x，y)为圆上的任一点)位置时转过的角度圆(xa)2(yb)2r2的参数方程为其中圆心C(a，b)，其参数的几何意义是过C做CM0x轴交圆于点M0(如图所示)，CM0绕点C逆时针旋转到CM位置时转过的角度参数方程的概念在直角坐标系xOy中，已知曲线C1(t为参数)，与曲线C2(为参数，a0)有一个公共点在
3、x轴上，则a_.【思路探索】欲解此题应先求出C1与x轴的交点，再把这个点代入C2中，即可求出a的值【解析】由令y0，得t，x1.曲线C1与x轴的交点为.由题意得点在曲线C2上，又a0，a.【答案】名 师 点 拨若点(x0，y0)在曲线上，则一定有常用它验证点是否在曲线上.(2019中卫一中月考)已知曲线C的参数方程是(t为参数，aR)，点M(3,4)在曲线C上(1)求常数a的值；(2)判断点A(1,0)，B(3，1)是否在曲线C上解：(1)将点M(3,4)的坐标代入曲线C的参数方程，得解得常数a的值为1.(2)由(1)知，曲线C的参数方程是将点A(1,0)代入参数方程，得解得t0，点A(1,0
4、)在曲线C上将点B(3，1)代入参数方程，得方程组无解，点B(3，1)不在曲线C上圆的参数方程点M在圆(xr)2y2r2(r0)上，O为原点，x轴的正半轴绕原点旋转到OM形成的角为，以为参数，求圆的参数方程【思路探索】画出示意图，找出圆上的点M与参数之间的关系，然后写出参数方程【解】如图所示，设M(x，y)，圆心为C(r,0)，连接CM，OM.当M在x轴上方时，MOx，则MCx2.当M在x轴下方时，MCx2.即当M在x轴上时，对应0或.综上得圆的参数方程为.名 师 点 拨求曲线参数方程的主要步骤是：(1)建立直角坐标系，设M(x，y)为轨迹上任意一点，画出示意图(2)选择适当的参数，参数的选择
5、应注意两点：一是曲线上每一点的坐标x、y与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x、y的值由参数唯一确定(3)根据问题的已知条件，图形的几何性质，物理意义等建立x、y与参数的函数关系(4)注意参数的取值范围，有限制的要标注出来.(2019天津卷)设aR，直线axy20和圆(为参数)相切，则a的值为_解析：圆化为普通方程为(x2)2(y1)24，圆心坐标为(2,1)，圆的半径为2，由直线与圆相切，则有2，解得a.答案：题型三圆的参数方程的应用已知圆的极坐标方程为24cos60.(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；(2)若点P(x，y)在该圆上，求xy的最大值和最小值
6、【思路探索】(1)把xcos ，ysin 代入极坐标方程，可得普通方程，从而可得圆的参数方程(2)利用圆的参数方程把xy转化为三角函数问题，由三角函数的性质可求得xy的最值【解】(1)由24cos60，得2460，即24cos 4sin 60.把xcos ，ysin 代入，得普通方程为x2y24x4y60.将普通方程化为标准形式，得(x2)2(y2)22.令x2cos ，y2sin ，得圆的参数方程为(为参数)(2)由(1)知xy4(cos sin )42sin，1sin1，2xy6.xy的最大值为6，最小值为2.名 师 点 拨利用圆的参数方程求最值时，可以用参数方程表示曲线上点的坐标，再利用三角函数的有界性求解或者把圆的参数方程化成普通方程求解.(2019枣庄检测)已知曲线C：24sin 3，求：(1)曲线C的参数方程；(2)曲线C上到原点O距离最小的点P的坐标解：(1)由曲线C：24sin3，得22sin 2cos 3，xcos ，ysin ，直角坐标方程为x2y22y2x3，化为标准方程为(x1)2(y)21，曲线C的参数方程为(为参数)(2)|OP|2(1cos )2(sin )252sin 2cos 54sin，当2k，kZ，即2k ，kZ时，|OP|最小此时点P的坐标为.