1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 选修2-1第三章 空间向量与立体几何成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 空间向量与立体几何 第三章 第三章 3.1 3.1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 3.1 空间向量及其运算3.1.2 空间向量的基本定理第三章 第三章 3.1 3.1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 课堂典例探究 2课 时 作 业 3课前自主预习 1第三章 3.1 3.1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 课前自主预习第三章 3.1 3.1.2 成才之
2、路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 问题 1：下图中的向量AB，AD，AA 是不共面的三个向量，请问向量AC 与它们是什么关系？第三章 3.1 3.1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 问题 2：如果向量AB、AD、AA 分别和向量 a，b，c 共线，能否用向量 a，b，c 表示AC.第三章 3.1 3.1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 1.平面内，平行向量基本定理如果_，则 ab；反之，如果 ab，且 b0，则一定存在_实数，使_第三章 3.1 3.1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2
3、-1 2平面向量基本定理如果e1和e2是一个平面内的两个_的向量，那么该平面内的任一向量a，_的一对实数a1，a2，使a_；其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组_，记为e1，e2a1e1a2e2叫做向量a关于基底e1，e2的分解式答案：1.ab 唯一一个 ab 2.不平行 存在唯一 a1e1a2e2 基底第三章 3.1 3.1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 一、共线向量定理1共线向量定理两个空间向量 a，b(b0)，ab 的充要条件是存在唯一的实数 x，使 axb.第三章 3.1 3.1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数
4、学 选修2-1 2共线向量定理的理解(1)当我们说 a，b 共线时，表示 a，b 的两基线既可能是同一直线，也可能是平行直线，当我们说 ab 时，也具有同样的意义(2)在共线向量定理中，b0 不可去掉，否则实数 x 就不唯一，如 b0 时，若 a0，则 x 的值有无穷多个，而 b0 时，若 a0，则 x 不存在第三章 3.1 3.1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 已知向量a，b不共线，pkab，qak2b，若p，q共线，则k的值是()A0 B1C1D2答案 C解析 若 p，q 共线，则存在唯一的实数 x，使 pxq，kabxaxk2b.kx1xk2 k1.导学
5、号 64150637第三章 3.1 3.1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 二、共面向量定理1向量 a 平行于平面 的定义已知向量 a，作OA a，如果 a 的基线 OA 平行于平面 或在 内，则就说向量 a 平行于平面，记作 a，如图：第三章 3.1 3.1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 2共面向量的定义平行于同一平面的向量，叫做共面向量3共面向量定理如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的一对实数x，y，使cxayb.注意：(1)a是用a的基线平行于或在内定义的，所以a与l是有区别也有联系的(
6、2)空间两个向量一定共面；空间三个向量可能共面，也可能不共面第三章 3.1 3.1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 4共面向量定理的理解(1)共面向量定理给出了平面向量的表示式，说明两个不共线的向量能确定一个平面，它是判定三个向量是否共面的依据(2)共面向量定理的推论是判定空间四点是否共面的依据注意：两向量共线，但它们所在的直线不一定共线，也可能平行；两向量共面，但它们所在的直线不一定共面，也可能异面第三章 3.1 3.1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 下列条件使 M 与 A、B、C 一定共面的是()A.OM 2OA OB OC
7、B.OM OA OB OC 0C.DM 13OA 13OB 13OCD.MA MB MC 0导学号 64150638第三章 3.1 3.1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 答案 D解析 由MA MB MC 0 得MA MB MC，MA，MB，MC 共面，M，A，B，C 四点共面故选D.第三章 3.1 3.1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 三、空间向量分解定理1空间向量分解定理如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在一个唯一有序实数组 x，y，z，使 pxaybzc.注：此定理又叫空间向量基本定理2基底如果三
8、个向量 a，b，c 是三个不共面的向量，则 a，b，c的线性组合 xaybzc 能生成所有的空间向量，这时 a，b，c叫做空间的一个基底，记作a，b，c，其中 a，b，c 都叫做基向量第三章 3.1 3.1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 3空间向量分解定理的理解(1)空间向量基本定理表明，用空间三个不共面的已知向量组a，b，c可以线性表示空间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的(2)空间任意三个不共面的向量 a，b，c 皆可构成空间向量的一个基底，因此，基底有无数个，所以基底的选择范围很广，但在具体的题目或几何体中往往选择具有特殊关系的三个不共面向量作为基底第
9、三章 3.1 3.1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1(3)由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是0.注意：一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念第三章 3.1 3.1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 设xab，ybc，zca，且a，b，c是空间的一组基底，给出下列向量组：a，b，x；x，y，z；b，c，z；x，y，abc其中可以作为空间的基底的向量的有()A1个B2个C3个D4个答案 C导学号 64150639第三章 3.1 3
10、.1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 解析 如图所示，设 aAB，bAA1，cAD，则 xAB1，yAD1，zAC，abcAC1，由 A，B1，C，D1 四点不共面，可知向量 x，y，z 也不共面，同理可知 b，c，z 和 x，y，abc 也不共面第三章 3.1 3.1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 四、共面向量定理的应用如图，空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使APxAByAC；或对空间任意一点 O，有OPOA xAByAC.第三章 3.1 3.1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 人教
11、B版 数学 选修2-1 注意：式称为空间平面 ABC 的向量表示式由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定若空间任意一点 O 和不共线的三点 A，B，C 满足向量关系式OP xOA yOBzOC(其中 xyz1)，则点 P 与点 A，B，C 共面第三章 3.1 3.1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 如图所示，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量法证明：E，F，G，H四点共面导学号 64150640第三章 3.1 3.1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 证明 连接 B
12、G，EG，则EG EBBGEBBFFGEBBF12BDEBBFEH EFEH.由共面向量定理知 E，F，G，H 四点共面第三章 3.1 3.1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 课堂典例探究第三章 3.1 3.1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 向量共线如图所示，ABCD 和 ABEF 都是平行四边形，且不共面，M、N 分别是 AC、BF 的中点，判断CE与MN 是否共线？导学号 64150641第三章 3.1 3.1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 思路分析 要判断CE与MN 是否共线，由共线向量定
13、理是否存在实数 x 使CExMN.若存在则CE与MN 共线，否则CE与MN 不共线解析 M、N 分别是 AC、BF 的中点，而 ABCD、ABEF都是平行四边形，MN MA AFFN12CAAF12FB.又MN MC CEEBBN12CACEAF12FB，第三章 3.1 3.1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 12CAAF12FB12CACEAF12FB.CECA2AFFB2(MA AFFN)CE2MN.CEMN，即CE与MN 共线简解：连 AE，由 ABFE 为平行四边形，且 N 为 BF 的中点知，N 为 AE 中点又 M 为 AC 的中点，MNCE.故CE
14、与MN共线第三章 3.1 3.1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 方法总结 判断向量 a，b 共线的方法有两种：(1)定义法即证明 ab 先证明 a，b 所在基线平行或重合(2)利用“axbab”判断此种方法依据题目条件分为两类题型：ax1e1y1e2z1e3，bx2e1y2e2z2e3(其中 e1，e2，e3不共面)，令 ab，即(x1x2)e1(y1y2)e2(z1z2)e30得方程组x1x20y1y20z1z20，若关于 的方程组有解，则 ab，否则 a 与 b 不平行第三章 3.1 3.1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1
15、a，b 为立体图形中的有向线段，一般方法是选择一个(或多个)含有 a，b 的空间封闭多边形建立向量等式，并将其化简求得关系式 ab 即可第三章 3.1 3.1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 已知四边形 ABCD 是空间四边形，E，H 分别是边 AB，AD的中点，F，G 分别是边 CB，CD 上的点，且CF23CB，CG 23CD.求证：四边形 EFGH 是梯形分析 点 E、H 分别是 AB，AD 的中点，可得 EH 12BD，由CF23CB，CG 23CD，可得 GF 23BD，由此可得 EHFG，但 EH 和 FG 不相等导学号 64150642第三章 3.
16、1 3.1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 解析 E、H 分别是 AB、AD 的中点，AE12AB，AH12AD，EH AH AE12AD 12AB12(ADAB)12BD 12(CD CB)12(32CG 32CF)34(CG CF)34FG，第三章 3.1 3.1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 EH FG且|EH|34|FG|FG|.又 F 不在EH 上，四边形 EFGH 是梯形.第三章 3.1 3.1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 共面向量概念及应用已知 A、B、C 三点不共线，对平面 A
17、BC 外的任一点 O，若点 M 满足OM 13OA 13OB 13OC，判断(1)MA，MB，MC 三个向量是否共面；(2)点 M 是否在平面 ABC 内思路分析 证明向量共面只需证明MA，MB，MC 其中一个能用其他两个表示即可导学号 64150643第三章 3.1 3.1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 解析(1)OM 13OA 13OB 13OC，OA OBOC 3OM，OA OM(OM OB)(OM OC)，MA BM CM MB MC，向量MA，MB，MC 共面第三章 3.1 3.1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1(2)
18、由(1)知向量MA，MB，MC 共面，三个向量的基线又过同一点 M，M，A，B，C 四点共面，M 在面 ABC 内方法总结 空间一点 M 位于平面ABC 内的充要条件是存在有序实数对 x，y 使MA xMB yMC 成立，同时还可证明OMxOA yOB zOC(xyz1)成立第三章 3.1 3.1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 如图长方体 ABCDA1B1C1D1 中，M 为 DD1 的中点，N 在AC 上，且 ANNC求证：A1N 与A1B、A1M 共面导学号 64150644第三章 3.1 3.1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2
19、-1 解析 如图，连结 A1M、A1N、A1B，则A1B ABAA1，A1M AD 12AA1，第三章 3.1 3.1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 AN23AC23(ABAD)A1N ANAA1 23(ABAD)AA123(ABAA1)23(AD 12AA1)23A1B 23A1M.A1N 与A1B、A1M 共面.第三章 3.1 3.1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 空间向量分解定理空间四边形 OABC 中，G，H 分别是ABC，OBC 的重心，设OA a，OB b，OC c，试用向量 a，b，c表示GH.思路分析 基底a，
20、b，c，已经选取，利用重心的性质将GH 与 a，b，c 联系起来即可导学号 64150645第三章 3.1 3.1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 解析 设 BC 边中点为 D，则GH OH OG，OH 23OD 2312(OB OC)13(bc)，OG OA AG OA 23ADOA 23(OD OA)13OA 2312(OB OC)13a13b13c，第三章 3.1 3.1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 GH 13(bc)13a13b13c13a，GH 13a.方法总结 用基底表示空间向量时，要注意运用数形结合的思想，尽量向
21、基向量靠拢第三章 3.1 3.1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 如图所示，在平行六面体 ABCDABCD中，ABa，AD b，AA c，P 是 CA的中点，M 是 CD的中点，N 是 CD的中点，点 Q 在 CA上，且 CQQA，用基底a，b，c表示以下向量(1)AP；(2)AM；(3)AN；(4)AQ.导学号 64150646第三章 3.1 3.1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 分析 本题是空间向量分解定理的应用，注意结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就表示所需向量，再对照目标即基底a，b，c，将不符合的
22、向量化作新的所需向量，如此反复，直到所涉及向量都可用基底表示解析 连结 AC，AD.(1)AP12(ACAA)12(ABADAA)12(abc)；第三章 3.1 3.1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1(2)AM 12(ACAD AA)12(a2bc)12ab12c；(3)AN 12(AC AD)12(AB AD AA)(AD AA)12(AB2AD 2AA)12abc；(4)AQ ACCQ AC45CA AC45(CAAA)15AC45AA 15(ABAD)45AA 15a15b45c.第三章 3.1 3.1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学
23、选修2-1 利用向量思想巧解几何问题如下图，已知ABCD，从平面 AC 外一点 O 引向量OE kOA，OF kOB，OG kOC，OH kOD，求证：(1)四点 E，F，G，H 共面；(2)平面 AC平面 EG.导学号 64150647第三章 3.1 3.1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 思路分析 本题考查利用空间向量基本定理证四点共面及用共线向量定理证线线平行解析(1)四边形 ABCD 是平行四边形，ACABAD，EGOG OE kOC kOAkACk(ABAD)k(OB OA OD OA)OF OEOH OE EFEHE，F，G，H 共面第三章 3.1
24、3.1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1(2)EFOF OE k(OB OA)kAB，且由(1)知EG kOC kOA kAC，于是 EFAB，EGAC，又EF，EG 是平面 EG 内的相交线，AB，AC 是平面 AC内的相交线，平面 EG平面 AC.第三章 3.1 3.1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 方法总结 在掌握了空间向量知识后，求解立体几何问题又增加了一种新的思想方法，可以设法将欲解的问题转化为对应的向量问题，然后用向量的运算替代几何论证或几何计算，在采用向量方法求解立体几何问题时，必须注意利用向量的运算性质第三章 3.
25、1 3.1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 已知 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，连接 PA，PB，PC，PD，如图所示，点 E，F，G，H 分别为PAB，PBC，PCD，PDA 的重心，求证：E，F，G，H 四点共面导学号 64150648第三章 3.1 3.1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 证明 如图所示，分别连接 PE，PF，PG，PH 并延长交对边于 M，N，Q，R.E，F，G，H 分别是所在三角形的重心，M，N，Q，R 为所在边的中点顺次连接 M，N，Q，R所得四边形即为平行四边形，且有PE23PM，PF2
26、3PN，PG 23PQ，PH 23PR.第三章 3.1 3.1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 四边形 MNQR 为平行四边形，EG PGPE23PQ23PM 23MQ23(MN MR)23(PNPM)23(PRPM)23(32PF32PE)23(32PH 32PE)EFEH.由共面向量定理得，向量EG，EF，EH 共面又三个向量有公共点 E，E，F，G，H 四点共面.第三章 3.1 3.1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 对空间向量的两个基本定理理解不深刻，不能正确判断三点共线与四点共面问题空间四点 P，A，B，C 满足关系PA
27、2PBCP，下面说法其中正确的有_(写出所有正确的命题的序号)A，B，C 三点共线；P，A，B，C 四点共面；A，B，C 三点不共线；P，A，B，C 四点不共面导学号 64150649第三章 3.1 3.1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 错解 错因分析 误认为PA2PBCP满足PAxPByCP，且xy1，得出 A，B，C 三点共线，以及 P，A，B，C 四点共面正解 思路分析 关系式PA2PBCP 可以变形为PA2PBPC，显然满足PAxPByPC，但不满足 xy1，从而得出 A，B，C 三点不共线，但 P，A，B，C 四点共面.第三章 3.1 3.1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 空间向量的基本定理共线向量定理理解：两个向量共线的充要条件共面向量定理理解向量共面的定义共面向量定理空间向量分解定理理解空间向量分解定理基底第三章 3.1 3.1.2 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 课 时 作 业（点此链接）
