1、云南省砚山县第一中学2020-2021学年高二数学上学期第2次月考试题（含解析）注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、选择题(第小题5分，共60分)1. 已知集合P（，1（4，+），Q1，2，3，4，则（）Q（ ）A. 1，4B. 2，3C. 2，3，4D. x|1x4【答案】C【解析】【分析】首先求出，再利用集合的交运算即可求解.【详解】由集合P（，1（4，+），则，因为Q1，2，3，4，所以（）Q2，3，4.故选：C【点睛】本题考查了集合的交、补运算，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.2. 为了解1000名学生的学习情况，采
2、用系统抽样的方法，从中抽取容量为25的样本，则分组数和分段的间隔分别为（ ）A. 50，20B. 40，25C. 25，40D. 20，50【答案】C【解析】【分析】由抽取容量为25样本，得到分组数为25组，由此能求出分段的间隔【详解】为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为25的样本，分组数为25组，分段的间隔为：则分组数和分段的间隔分别为，；故选：C【点睛】本题考查分组数和分段的间隔的求法，考查系统抽样等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题.3. 已知等差数列an前n项和为Sn，且S728，则a4（ ）A. 4B. 7C. 8D. 14【答案
3、】A【解析】【分析】由等差数列的性质可知，再代入等差数列的前项和公式求解.【详解】数列an是等差数列， ，那么，所以.故选：A.【点睛】本题考查等差数列的性质和前项和，属于基础题型.4. 已知向量，则实数是的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先求出，然后分别判断由能否得到，和由能否得到，从而得到答案.【详解】因为向量，所以因为，所以可得，所以是的充分条件.因为，所以即.所以是的不必要条件.综上所述，实数是的充分而不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查根据向量的坐标求向量的模长，判断充分而不必要条件，属于简单题
4、.5. 已知四个命题：在回归分析中，可以用来刻画回归效果，的值越大，模型的拟合效果越好；在独立性检验中，随机变量的值越大，说明两个分类变量有关系的可能性越大；在回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量平均增加1个单位；两个随机变量相关性越弱，则相关系数的绝对值越接近于1；其中真命题是：A. B. C. D. 【答案】C【解析】对于，在回归分析中，可以用来刻画回归效果，的值越大，模型的拟合效果越好，正确；对于；在独立性检验中，随机变量的值越大，说明两个分类变量有关系的可能性越大，正确；对于，在回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量平均增加个单位，错误；对于，两个随机变量相关性越
5、强，则相关系数的绝对值越接近于1，错误；故选C.6. 如图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到12次的考试成绩依次记为.如图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图.那么算法流程图输出的结果是（ ）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】A【解析】【分析】首先根据程序框图的运行过程，判断程序框图的作用，结合茎叶图得到结果.【详解】由题意可知，模拟程序框图的运行过程，得到该程序框图运行的输出是茎叶图所有数据中大于90的数据的个数，由茎叶图可知，.故选：A【点睛】本题考查了茎叶图和程序框图的应用问题，解题的关键是读懂应模拟程序框图的运行过程，以便得出该程
6、序框图运行输出的是什么，属于基础题型.7. 安排4名志愿者完成5项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有A. 120种B. 180种C. 240种D. 480种【答案】C【解析】【分析】根据题意，分两步进行分析：先将5项工作分成4组，再将分好的4组进行全排，对应4名志愿者，分别求出每一步的情况数，由分步计数原理计算即可得到答案【详解】根据题意，分2步进行分析：（1）先将5项工作分成4组，有种分组方法；（2）将分好的4组进行全排，对应4名志愿者，有种情况；分步计数原理可得：种不同安排方式故答案选C【点睛】本题考查排列、组合的综合应用，注意题目中“每人至少完成1项，每项工
7、作由1人完成”的要求，属于基础题8. 已知变量，之间的线性回归方程为，且变量，之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法中错误的是（ ）681012632A. 变量，之间呈现负相关关系B. 的值等于5C. 变量，之间的相关系数D. 由表格数据知，该回归直线必过点【答案】C【解析】分析：根据平均数的计算公式，求得样本中心为，代入回归直线的方程，即可求解，得到样本中心，再根据之间的变化趋势，可得其负相关关系，即可得到答案. 详解：由题意，根据上表可知，即数据的样本中心为，把样本中心代入回归直线的方程，可得，解得，则，即数据的样本中心为，由上表中的数据可判定，变量之间随着的增大，值变小，所以呈现负相关
8、关系，由于回归方程可知，回归系数，而不是，所以C是错误的，故选C. 点睛：本题主要考查了数据的平均数的计算公式，回归直线方程的特点，以及相关关系的判定等基础知识的应用，其中熟记回归分析的基本知识点是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力. 9. 一个多面体的直观图和三视图如图，则此多面体外接球的表面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据三视图求得棱柱的棱长，再求棱柱外接球半径以及球体表面积即可.【详解】取的中点为M、的中点为N，连结，知的中点O即为此多面体外接球的球心，因为，可得，那么外接球的表面积是.故选：C.【点睛】本题考查由三视图求原几何体的棱长，涉及棱
9、柱外接球半径的求解，球体体积的求解，属综合中档题.10. 圆上存在两点关于直线对称，则的最小值为A. 8B. 9C. 16D. 18【答案】B【解析】由圆的对称性可得，直线必过圆心，所以.所以，当且仅当，即时取等号，故选B11. 已知坐标平面上的凸四边形满足，那么的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题设条件可设，在平面直角坐标系中通过向量数量积的坐标运算可求的取值范围.【详解】由题意可得，.由于是凸四边形，所以与相交于点，如下图，设，在直角坐标系中，则有，故，所以故选：C. 【点睛】方法点睛：向量的数量积的计算，有四种途径：（1）利用定义求解，此时需要知道向
10、量的模和向量的夹角；（2）利用坐标来求，把数量积的计算归结坐标的运算，必要时需建立直角坐标系；（3）利用基底向量来计算，也就是用基底向量来表示未知的向量，从而未知向量数量积的计算可归结为基底向量的数量积的计算；（4）靠边靠角，也就是利用向量的线性运算，把未知向量的数量积转化到题设中的角或边对应的向量12. 已知定义域为的奇函数的周期为2，且时，.若函数在区间（且）上至少有5个零点，则的最小值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】A【解析】【分析】先根据条件分析函数的性质，然后将问题转化为函数和的图象交点问题，再根据图象求解出的最小值.【详解】因为是奇函数，所以，又因为函数的周期为2，
11、所以，在同一坐标系中作出函数和的图象（如图），观察图象可知和的图象在上有五个交点，而函数在区间（且）上有至少有5个零点，所以，所以的最小值为.故选：A.【点睛】本题考查函数与方程的综合应用，着重考查函数性质以及数形结合思想，难度较难.数形结合思想的用处：（1）解决函数零点与方程根的个数问题；（2）解决函数图象问题；（3）求解参数范围与解不等式.第II卷（非选择题）二、填空题(每小题5分，共20分)13. 一条长椅上有7个座位，4个人坐，要求3个空位中，恰有2个空位相邻，共有_种不同的坐法.（用数字作答）【答案】480【解析】【分析】根据题意，分2步进行分析：可先让4人全排列坐在4个位置上，再把
12、“两个相邻的空位”与“单独的空位”视为两个元素，将其插入4个人形成的5个“空当”之间，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案.【详解】根据题意，分2步进行分析：先让4人全排列，坐4个位置上，有A44种排法，将3个空位看成2个元素，一个是“两个相邻空位”，另一个“单独的空位”，再将2个元素插入4个人形成的5个“空当”之间，有种插法，所以所求的坐法数为；故答案为：480.【点睛】本题主要考查排列、组合的综合应用，注意人与人之间是不同的，但空位是相同的，属于中档题.14. 设变量x,y满足约束条件则目标函数的最大值为 .【答案】5【解析】【分析】画出不等式组表示的平面区域，数形结合，即
13、可求得目标函数的最大值.【详解】画出不等式组表示的平面区域如下图所示：目标函数，可整理为，与直线平行.数形结合可知，当且仅当目标函数过点时取得最大值.则.故答案为：.【点睛】本题考查简单线性规划问题的求解，涉及数形结合，属基础题.15. 展开式的二项式系数之和为32，则展开式中的系数是_.（用数字填写答案）【答案】80【解析】【分析】先根据展开式的二项式系数之和为32求出的值，再利用二项式展开式的通项求解.【详解】因为展开式的二项式系数之和为32，所以.展开式的通项为，令.所以展开式中的系数是.故答案为：80【点睛】结论点睛：关于二项式的展开式的各项的二项式系数和为，系数和为.要正确区分这两个
14、概念，注意理解掌握这个结论，熟练灵活运用，提高解题效率.16. 已知A，B是球O的球面上两点，AOB=90，C为该球面上的动点，若三棱锥OABC体积的最大值为，则球O的表面积为_【答案】36【解析】如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥OABC的体积最大，设球O的半径为R，此时VOABC=VCAOB=，故R=3，则球O的表面积为4R2=36，故答案为36三、解答题(共70分)17. 已知a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且满足（1）求角A的大小；（2）若，求的面积【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)由可得，由余弦定理可得，结合范围，即可求得的值；(2)由及正弦定理可
15、得，又，由余弦定理可解得的值，利用三角形面积公式即可得结果.【详解】（1），可得：，由余弦定理可得：， 又，（2）由及正弦定理可得：，由余弦定理可得：，解得：，【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函数以及三角形面积公式的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.18. 在等差数列中，且、成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）若数列的公差不为，设，求数列的前项和【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）设数列的公差为通过，
16、成等比数列，结合，列出关于和的方程组，然后求解通项公式；（2）由（1）结合公差不为可知，得到，然后分组求和即可【详解】（1）设数列的公差为因为，成等比数列，所以，又，所以，即，解得或当时，当时，（2）因为公差不为，由（1）知，则，所以【点睛】本题考查等差数列与等比数列的综合运用，考查分组求和法的运用，考查学生的运算能力，难度一般.19. 十三届全国人大二次会议于2019年3月5日在京召开.为了了解某校大学生对两会的关注程度，学校媒体在开幕后的第二天，从学生中随机抽取了180人，对是否收看2019年两会开幕会情况进行了问卷调查，统计数据得到列联表如下：收看没收看合计男生40女生3060合计（1）
17、请完成列联表；（2）根据上表说明，能否有99%的把握认为该校大学生收看开幕会与性别有关？（结果精确到0.001）附：，其中.0.100.050.0250.010.0052.7063.8415.0246.6357.879【答案】（1）详见解析（2）没有99%的把握认为该校大学生收看开幕会与性别有关【解析】【分析】(1)根据表格给出的数据进行完善表格即可；(2)由（1）中数据代入公式，求出观测值进行判断，即可得出结论.【详解】（1）收看没收看合计男生8040120女生303060合计11070180（2），所以没有99%的把握认为该校大学生收看开幕会与性别有关.【点睛】本题主要考查独立性检验问题，
18、求出观测值进行判断是解决本题的关键.20. 如图，四棱锥中，底面为平行四边形，平面，是棱PD的中点，且，（1）求证：面； （2）求二面角的大小；【答案】（1）见详解；（2）.【解析】【分析】（1）根据题中条件，先得；再证明，根据线面垂直的判定定理，即可证明结论成立；（2）由（1）可得：，两两垂直；以点为坐标原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，分别求出两平面的法向量，由向量夹角公式，即可求出结果.【详解】（1）因为平面，平面，所以；又，所以，则；又底面为平行四边形，所以，则，又，平面，平面，所以面；（2）由（1）可得：，两两垂直；以点坐标原点，以所在直线为轴
19、，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系如下，因为，所以，因为是棱PD的中点，所以，则，设平面的一个法向量为，则，即，所以，不妨令，则，又平面，不妨取为平面的一个法向量，所以，因为二面角显然为锐角，记作，则，所以，即二面角的大小为.【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果.21. 某商店为了解气温对某产品销售
20、量的影响，随机记录了该商店3月份中5天的日销售量单位：千克与该地当日最低气温单位：的数据，如表所示：x258911y1210887（1）求y与x的回归方程；（2）判断y与x之间是正相关还是负相关；若该地3月份某天的最低气温为，请用（1）中的回归方程预测该商店当日的销售量参考公式：，【答案】（1）；（2）负相关，销售量为千克.【解析】【分析】（1）先由题中条件，求出，利用最小二乘法，求出和，即可得出回归方程；（2）根据（1）的结果，直接判断出y与x之间是负相关，再令，即可求出预测值.【详解】（1）由题中数据可得，所以，则，所以；（2）由（1）知，y与x之间是负相关；当时，即某天的最低气温为时，预
21、测该商店当日的销售量为千克.【点睛】思路点睛：利用最小二乘法求线性回归方程时，一般先根据题中条件，计算两相关变量的平均值，再根据最小二乘法对应的公式，计算和，即可求出回归方程.（此类问题通常情况下，计算量较大，对计算能力要求比较高.）22. 已知函数，是实数.(1)若函数是定义在上的奇函数，求的值，并求方程的解；(2)若对任意的恒成立，求的取值范围；(3)若，方程有解，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）；（3）或；【解析】【分析】（1）可根据奇函数性质，也可根据特殊点求，再进行验证即可；令结合一元二次方程的解法即可求解；（2）可采用分离常数法得对任意的恒成立，令，令，则，结合二次函数性
22、质即可求解；（3）时，化简得，采用构造函数法，令，转化为方程在上有解，再结合二次函数对称轴与增减性进一步求解即可【详解】(1)方法一：因为函数是定义在上的奇函数，所以对任意恒成立，即对任意恒成立，整理得对任意恒成立，所以.方法二：因为函数是定义在上的奇函数，所以，解得检验：当时，此时，所以此时.因为，即，整理得解得或 (舍).所以.(2)因为对任意的恒成立，所以，即对任意的恒成立.令，则，令，所以在上单调递增，所以所以，所以.(3)当时，因为，所以.令，则，转化为方程在上有解.令，当时，在为增函数所以，得.当时，需，即，解得，所以或.【点睛】本题考查根据奇函数性质求解参数，求解指数型函数方程的解，分离常数法求最值，构造函数法求最值，利用二次函数性质研究函数最值，逻辑推理能力，属于难题