1、第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）第九节离散型随机变量的均值与方差、正态分布(理)第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）主干知识梳理 一、均值1一般地，若离散型随机变量X的分布列为：Xx1x2xixnPp1p2pipn第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）则称E(X)为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的2若YaXb，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且E(aXb).3(1)若X服从两点分布，则E(X)；(2)若XB(n，p)，则E(X).x1p1x2p2xipixnpn平均水平aE(X)bpnp第十章 计数原理、概率、
2、随机变量及其分（理）概率（文）二、方差1设离散型随机变量X的分布列为：Xx1x2xixnPp1p2pipn第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）则描述了 xi(i1,2，n)相对于均值 E(X)的偏离程度，而 D(X)i1n(xiE(X)2pi 为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的称D(X)为随机变量 X 的方差，并称其算术平方根 DX为随机变量X 的标准差(xiE(X)2平均偏离程度第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）2D(aXb)3若X服从两点分布，则D(X)4若XB(n，p)，则D(X)a2D(X)p(1p)np(1p)第十
3、章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）三、正态分布 1正态曲线的特点：(1)曲线位于 x 轴，与 x 轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线对称；(3)曲线在处达到峰值1 2；(4)曲线与 x 轴之间的面积为；(5)当 一定时，曲线随着 的变化而沿 x 轴平移；上方xx1第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）(6)当 一 定 时，曲 线 的 形 状 由 确 定，越 小，曲 线越，表示总体的分布越集中；越大，曲线越，表示总体的分布越“瘦高”“矮胖”分散第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）2正态分布的三个常用数据：(1)P(X)；(2)P(2X2)；
4、(3)P(3X3).0.682 60.954 40.997 4第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）X 123P 35310110基础自测自评1(2013广东高考)已知离散型随机变量X的分布列为第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）则 X 的数学期望 E(X)()A.32 B2C.52D3A E(X)1352 3103 110151032.第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）2已知随机变量服从正态分布N(0，2)若P(2)0.023，则P(22)()A0.477B0.628C0.954D0.977C 0，P(2)P(2)0.023，P(22)1
5、20.0230.954.第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）3(教材习题改编)设随机变量XB(n，p)且E(X)1.6，D(X)1.28则()An8 p0.2Bn4 p0.4Cn5 p0.32Dn7 p0.45A XB(n，p)，E(X)np1.6，D(X)np(1p)1.28，解得n8，p0.2.第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）4有一批产品，其中有 12 件正品和 4 件次品，从中有放回地任取 3 件，若 X 表示取到次品的次数，则 D(X)_.解析 XB3，14，D(X)31434 916.答案 916第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率
6、（文）5两封信随机投入 A，B，C 三个空邮箱，则 A 邮箱的信件数 X的数学期望 E(X)_.解析 两封信投入 A，B，C 三个空邮箱，投法种数是 329，A 中没有信的投法种数是 224，概率为49，A 中仅有一封信的投法种数是 C1224，概率为49，A 中有两封信的投法种数是 1，概率为19，第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）故 A 邮箱的信件数 X 的数学期望是49049119223.答案 23第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）关键要点点拨1均值与方差：(1)均值E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即X作为随机变量是可变的，而E(X)是不
7、变的，它描述X值的取值平均状态(2)D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏散程度，D(X)越小，X的取值越集中，D(X)越大，X的取值越分散第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）2由正态分布计算实际问题中的概率百分比时，关键是把正态分布的两个重要参数、求出，然后确定三个区间(，(2，2，(3，3与已知概率值进行联系求解.第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）典题导入下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图空气质量指数小于 100 表示空气质量优良，空气质量指数大于 200 表示空气重度污染某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的某
8、一天到达该市，并停留 2 天离散型随机变量的均值与方差 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）听课记录 设 Ai 表示事件“此人于 3 月 i 日到达该市”(i1,2，13)根据题意，P(Ai)113，且 AiAj(ij)(1)设 B 为事件“此人到达当日空气重度污染”，则 BA5A8.所以 P(B)P(A5A8)P(A5)P(A8)213.第十
9、章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）(2)由题意可知，X 的所有可能取值为 0,1,2，且P(X1)P(A3A6A7A11)P(A3)P(A6)P(A7)P(A11)413，P(X2)P(A1A2A12A13)P(A1)P(A2)P(A12)P(A13)413，P(X0)1P(X1)P(X2)513.所以 X 的分布列为：第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）X 012P 513413413故 X 的期望 E(X)0 5131 4132 4131213.(3)从 3 月 5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）
10、规律方法1求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出其分布列，正确利用公式计算若随机变量服从二项分布，则可直接代入公式E(X)np，D(X)np(1p)计算2注意E(aXb)aE(X)b，D(aXb)a2D(X)的应用第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）跟踪训练1(2013重庆高考)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）其余情况无奖
11、且每次摸奖最多只能获得一个奖级(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望E(X)第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）解析 设Ai表示摸到i个红球，Bj表示摸到j个蓝球，则Ai(i0,1,2,3)与 Bj(j0,1)独立(1)恰好摸到 1 个红球的概率为 P(A1)C13C24C37 1835.(2)X 的所有可能值为：0,10,50,200，且P(X200)P(A3B1)P(A3)P(B1)C33C3713 1105，P(X50)P(A3B0)P(A3)P(B0)C33C3723 2105，第十章 计数原理、概率、随机变量及其分
12、（理）概率（文）P(X10)P(A2B1)P(A2)P(B1)C23C14C37 13 12105 435，P(X0)1 1105 2105 43567.综上知 X 的分布列为X01050200P6743521051105第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）从而有 E(X)06710 43550 2105200 11054(元)第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）典题导入(2012新课标全国卷)某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 10 元的价格出售如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理(1)若花店一天购进 16 枝玫瑰花，求当天
13、的利润 y(单位：元)关于当天需求量 n(单位：枝，nN)的函数解析式；(2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：均值与方差的实际应用 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）日需求量n14151617181920频数10201616151310第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差；若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由第十章 计数原理、概率、随机变量及其分
14、（理）概率（文）听课记录(1)当日需求量 n16 时，利润 y80.当日需求量 n16 时，利润 y10n80.所以 y 关于 n 的函数解析式为y10n80，n16，80，n16.(nN)第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）(2)X可能的取值为60,70,80，并且P(X60)0.1，P(X70)0.2，P(X80)0.7.X的分布列为：X607080P0.10.20.7第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）X的数学期望为E(X)600.1700.2800.776.X的方差为D(X)(6076)20.1(7076)20.2(8076)20.744.答案一：花
15、店一天应购进16枝玫瑰花理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为：第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）Y的数学期望为E(Y)550.1650.2750.16850.5476.4.Y的方差为D(Y)(5576.4)20.1(6576.4)20.2(7576.4)20.16(8576.4)20.54112.04.Y55657585P0.10.20.160.54第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）由以上的计算结果可以看出，D(X)D(Y)，即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小另外，虽然E(X)E(Y)，但两者相差不大故花
16、店一天应购进16枝玫瑰花答案二：花店一天应购进17枝玫瑰花理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为：Y55657585P0.10.20.160.54第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）Y的数学期望为E(Y)550.1650.2750.16850.5476.4.由以上的计算结果可以看出，E(X)E(Y)，即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润故花店一天应购进17枝玫瑰花第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）规律方法随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整
17、体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）跟踪训练2(2014济南模拟)某企业计划投资A，B两个项目，根据市场分析，A，B两个项目的利润率分别为随机变量X1和X2，X1和X2的分布列分别为X15%10%P0.80.2第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）(1)若在A，B两个项目上各投资1 000万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求利润的期望E(Y1)，E(Y2)和方差D(Y1)，D(Y2)；X22%8%12%P0.20.50.3第十章 计数
18、原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）(2)由于资金限制，企业只能将x(0 x1 000)万元投资A项目，1 000 x万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）解析(1)由题设可知Y1和Y2的分布列分别为E(Y1)500.81000.260，D(Y1)(5060)20.8(10060)20.2400，E(Y2)200.2800.51200.380，D(Y2)(2080)20.2(8080)20.5(12080)20.31200.Y15010
19、0P0.80.2Y22080120P0.20.50.3第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）(2)f(x)Dx1 000Y1 D1 000 x1 000 Y2 1106x2D(Y1)(1 000 x)2D(Y2)4104x23(1 000 x)2 4104(4x26 000 x3106)当 x6 00024750 时，f(x)300 为最小值第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）典题导入(2013湖北高考)假设每天从甲地去乙地的旅客人数 X 是服从正态分布 N(800,502)的随机变量记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过 900 的概率为 p0.(1)求 p0
20、 的值；(参考数据：若 XN(，2)，有 P(X)0.682 6，P(2X2)0.954 4，P(3X3)0.997 4.)正态分布 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）(2)某客运公司用A、B两种型号车辆承担甲、乙两地间的长途客运任务，每车每天往返一次，A、B两种车辆载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？第十章 计数原理、概率、随机变量及
21、其分（理）概率（文）听课记录(1)由于随机变量 X 服从正态分布 N(800,502)，故有 800，50，P(700X900)0.954 4.由正态分布的对称性，可得p0P(X900)P(X800)P(800X900)1212P(700X900)0.977 2.第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）(2)设 A 型、B 型车辆的数量分别为 x，y 辆，则相应的营运成本为 1 600 x2 400y.依题意，x，y 还需满足：xy21，yx7，P(X36x60y)p0.由(1)知，p0P(X900)，故 P(X36x60y)p0 等价于 36x60y900.第十章 计数原理、概
22、率、随机变量及其分（理）概率（文）于是问题等价于求满足约束条件xy21，yx7，36x60y900，x，y0，x，yN，且使目标函数 z1 600 x2 400y 达到最小的 x，y.作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为 P(5,12)，Q(7,14)，R(15,6)第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）由图可知，当直线 z1 600 x2 400y 经过可行域的点 P 时，直线z1 600 x2 400y 在 y 轴上截距z2 400最小，即 z 取得最小值故应配备 A 型车 5 辆、B 型车 12 辆第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）规律方法求正
23、态总体在某个区间内取值的概率时应注意：(1)熟记 P(X)，P(2X2)，P(3X3)的值；(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与 x 轴之间面积为 1.正态曲线关于直线 x 对称，从而在关于 x 对称的区间上概率相等P(Xa)1P(Xa)，P(Xa)P(Xa)第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）跟踪训练3(2014安徽模拟)在某市2013年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N(98,100)已知参加本次考试的全市理科学生约9 450人某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市前多少名左右？()A1 500 B1 700C4
24、500D8 000第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）A 因为学生的数学成绩 XN(98,100)，所以 P(X108)121P(88X108)121P(X)12(10.682 6)0.158 7，故该学生的数学成绩大约排在全市前 0.158 79 4501 500 名第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）【创新探究】离散型随机变量的期望与方差(2013陕西高考)在一场娱乐晚会上，有 5 位民间歌手(1 至 5 号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手各位观众须彼此独立地在选票上选 3 名歌手，其中观众甲是 1 号歌手的歌迷，他必选 1 号，不选 2
25、 号，另在 3 至5 号中随机选 2 名观众乙和丙对 5 位歌手的演唱没有偏爱，因此在 1 至 5 号中随机选 3 名歌手第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望【思路导析】甲选择3号和乙未选择3号是相互独立事件，先分别计算其概率，然后利用P(AB)P(A)P(B)可解答(1)；(2)分析X可能的取值，利用事件的独立性得到分布列及数学期望第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）【解析】(1)设 A 表示事件“观众甲选中 3 号歌手”，B 表
26、示事件“观众乙选中 3 号歌手”，则 P(A)C12C2323，P(B)C24C3535.事件 A 与 B 相互独立，观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率为 P(A B)P(A)P(B)P(A)1P(B)2325 415.或PA B C12C34C23C35 415.第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）(2)设 C 表示事件“观众丙选中 3 号歌手”，则 P(C)C24C3535.X 可能的取值为 0,1,2,3，且取这些值的概率分别为P(X0)P(ABC)132525 475，P(X1)P(A BC)P(A B C)P(AB C)2325251335251
27、325352075，第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）P(X2)P(AB C)P(A B C)P(A BC)2335252325351335353375，P(X3)P(ABC)2335351875，X 的分布列为X 0123P 475207533751875X 的数学期望 E(X)0 47512075233753187514075 2815.第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）【高手支招】期望和方差是离散型随机变量的两个重要数字特征，求其的一般步骤：第一步：确定随机变量的所有可能取值；第二步：求出每一个可能取值所对应的概率值；第三步：列出随机变量的分布列；
28、第四步：由期望与方差公式求出随机变量的期望与方差第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）体验高考(2013辽宁高考)现有 10 道题，其中 6 道甲类题，4 道乙类题，张同学从中任取 3 道题解答(1)求张同学至少取到 1 道乙类题的概率；(2)已知所取的 3 道题中有 2 道甲类题，1 道乙类题设张同学答对每道甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否相互独立用 X 表示张同学答对题的个数，求 X 的分布列和数学期望第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）解析(1)设事件 A“张同学所取的 3 道题至少有 1 道乙类题”，则有 A“张同学所
29、取的 3 道题都是甲类题”因为 P(A)C36C31016，所以 P(A)1P(A)56.(2)X 所有的可能取值为 0,1,2,3.P(X0)C0235025215 4125；P(X1)C1235125115C0235025245 28125；第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）P(X2)C2235225015C1235125145 57125；P(X3)C2235225045 36125；所以 X 的分布列为：X0123P4125281255712536125所以 E(X)0 41251 281252 571253 361252.第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）课时作业