1、山西省长治市2020届高三数学下学期5月质量检测试题 文（含解析）一、选择题1.已知集合，则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式得集合，再由交集定义求解【详解】，故选：B【点睛】本题考查集合的交集运算，掌握一元二次不等式的解法是解题关键本题属于基础题2.已知复数z=2+i，则A. B. C. 3D. 5【答案】D【解析】【分析】题先求得，然后根据复数的乘法运算法则即得.【详解】 故选D.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，共轭复数的定义等知识，属于基础题.3.如图所示的程序框图，若输入的数值是19，则输出的值为（ ）A. -124B. 124C. 26D.
2、0【答案】A【解析】【分析】模拟执行程序框图，即可容易求得结果.【详解】模拟执行程序框图如下：，满足，满足，满足，不满足，.故选：A.【点睛】本题考查由程序框图求输出结果，属基础题.4.由于疫情期间大多数上上课，我校高一、高二、高三共有学生1800名，为了了解同学们对“钉钉”授课软件的意见，计划采用分层抽样的方法从这1800名学生中抽取一个容量为72的样本，若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高三年级的人数为( )A. 800B. 750C. 700D. 650【答案】D【解析】【分析】设从高三年级抽取的学生人数为2x人，由题意利用分层抽样的定义和方法，求出x的值
3、，可得高三年级的学生人数.【详解】设从高三年级抽取的学生人数为2x人，则从高二、高一年级抽取的人数分别为2x- 2，2x- 4，由题意可得设我校高三年级的学生人数为N,再根据求得，故选：D【点睛】本题主要考查了分层抽样，样本容量，属于容易题.5.双曲线的焦距为，且其渐近线与圆相切，则双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式，结合双曲线的性质，即可得出答案.【详解】圆的圆心坐标为设渐近线方程为，即由渐近线与圆相切则双曲线的方程为故选：D【点睛】本题主要考查了求双曲线的方程，涉及了直线与圆位置关系的应用，属于中档题.6.一个
4、几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】该几何体为半圆柱，底面为半径为1的半圆，高为2，因此表面积为 ,选D.7.在中，已知，且的面积为，则边上的高等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据的面积为，解得，再由，利用余弦定理得到，两者联立求得边a，c，再利用求解.【详解】因为的面积为，所以，解得，又因为，由余弦定理得：，即，所以，解得或，又因为，所以，所以边上的高.故选：C【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8.定义在上的偶函数，对，且，有成立，已知，则，的大小关
5、系为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据偶函数的性质和单调性即可判断.【详解】解：对，且，有在上递增因为定义在上的偶函数所以在上递减又因为，所以故选：A【点睛】考查偶函数的性质以及单调性的应用，基础题.9.函数的图象可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求导，判断导函数函数值的正负，从而判断函数的单调性，通过单调性判断选项.【详解】解：当时，则，若，若，则恒成立，即当时，恒成立，则在上单调递减，故选：A.【点睛】本题主要考查函数的图象，可以通过函数的性质进行排除，属于中档题.10.已知奇函数对任意都有，现将图象向右平移个单位长度得到图象，则下列判
6、断错误的是( )A. 函数在区间上单调递增B. 图象关于直线对称C. 函数在区间上单调递减D 图象关于点对称【答案】C【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数为，根据奇函数的性质和周期性可求得解析式，根据三角函数平移变换得到解析式，利用代入检验的方式，对应正弦函数图象可确定结果.【详解】由得：，解得：.又为奇函数，解得：，.对于，当时，在上单调递增，正确；对于，当时，关于直线对称，正确；对于，当时，在上不单调，错误；对于，当时，且，关于点对称，正确.故选：.【点睛】本题考查正弦型函数的单调性、对称性的求解问题，涉及到辅助角公式化简三角函数、根据三角函数性质求解函数解析式、三角函数的平移变换等知识
7、；关键是能够熟练掌握代入检验的方式，通过整体对应的方式，对照正弦函数图象得到结果.11.学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为五个等级.某班共有名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如表所示.该班学生中，这两科等级均为的学生有人，这两科中仅有一科等级为的学生，其另外一科等级为.则该班（ ）等级科目ABCDE物理1016910化学819720A. 物理化学等级都是的学生至多有人B. 物理化学等级都是的学生至少有人C. 这两科只有一科等级为且最高等级为的学生至多有人D. 这两科只有一科等级为且最高等级为的学生至少有人【答案】C【解析】【分析】根据条件逐一推理验证即可.【详解
8、】因为两科等级均为的学生有人，这两科中仅有一科等级为的学生，其另外一科等级为,所以有5人物理A化学B，有3人物理B化学A，物理化学等级都是的学生至多为人，物理化学等级都是的学生至少有人，这两科只有一科等级为且最高等级为的学生至多有人，这两科只有一科等级为且最高等级为的学生至少有人故选：C【点睛】本题考查合情推理，考查基本分析判断能力，属中档题.12.已知抛物线的焦点为F，过F的直线与抛物线交于A，B两点，点O为坐标原点，则下列命题中正确的个数为（ ）面积的最小值为4；以为直径的圆与x轴相切；记，的斜率分别为，则；过焦点F作y轴的垂线与直线，分别交于点M，N，则以为直径的圆恒过定点.A. 1B.
9、 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】依次判断每个选项：的斜率为0时，所以错误，计算正确，证明，所以正确，根据等式令，得或3，所以正确，得到答案.【详解】当斜率为0时，所以错误.设的中点为E，作轴交x轴于点G，作准线交准线于点D，交x轴于点C，则，又，所以，所以正确.直线的方程为，联立，得.设，则，所以，所以正确.直线，所以.同理可得.所以以为直径的圆的方程为，即.令，得或3，所以正确.故选：.【点睛】本题考查了抛物线的面积，斜率，定值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.二、填空题13.已知向量，若与方向相同，则等于_.【答案】【解析】【分析】根据共线向量定理以及平面向量基本定
10、理可得答案.【详解】因为与方向相同，所以存在，使得，所以，所以，所以，所以，又，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查了共线向量定理，考查了平面向量基本定理，属于基础题.14.在三棱柱中，平面，则三棱柱的外接球的体积与三棱柱的体积之比为_.【答案】【解析】【分析】由题意画出图形，求出其外接球的半径，然后分别求出多面体的体积及其外接球的体积，即得答案【详解】如图，分别为三棱柱上、下底面的中心，为的中点，连接，则为三棱柱外接球的球心，为外接球的半径，在直角三角形中，求得，又故答案为： 【点睛】本题主要考查几何体体积的计算，考查几何体的外接球问题的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15.
11、各项均为正数且公比q1的等比数列an的前n项和为Sn，若a1a54，a2+a45，则的最小值为_【答案】8【解析】分析】先根据等比数列的性质求出首项、公比，然后将结论表示出来，最后利用换元法结合基本不等式求最小值，注意取最小值时等号要成立【详解】解：由题意：a1a5a2a44，又由a2+a45，又公比q1，a21，a44，故，故q2，令t2n11，2，22，23，则原式，当且仅当t2，即n2时取等号故答案为：8【点睛】本题考查等比数列的性质，考查等比数列的通项公式和前项和公式，考查用基本不等式求最值，求最值时要注意等号成立的条件16.已知函数，若，则的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】根据
12、函数的定义域结合函数的图象，分 ， ，五种情况讨论求解.【详解】函数的图象如图所示：当时，所以，因，所以，成立，此时，当时，所以，因为，所以，成立，此时，当时，所以，因为，所以，解得，此时，当时，所以，因为，所以，即，解得或，此时，当时，所以，因为，所以，即，解得，此时，综上：的取值范围为.故答案为：【点睛】本题主要考查函数与不等式问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于难题.三、解答题17.已知递增等比数列满足，且是和的等差中项.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由等差中项可得，将和化为首项和公比，联立可解得首项和公比，从而
13、可得；（2）化简后，利用进行裂项求和即可得到结果.【详解】（1）设数列的公比为，由题得所以，所以，所以，所以，即，所以，解得或（舍），所以，所以.（2）因为，.【点睛】本题考查了等比数列通项公式基本量的计算，考查了求等比数列通项公式，考查了裂项求和方法，属于基础题.18.中国诗词大会是中央电视台于2016年推出的大型益智类节目，中央电视台为了解该节目的收视情况，抽查北方与南方各5个城市，得到观看该节目的人数(单位：千人)如茎叶图所示，但其中一个数字被污损.（1）若将被污损的数字视为09中10个数字中的一个，求北方观众平均人数超过南方观众平均人数的概率；（2）该节目的播出极大激发了观众学习诗词的
14、热情,现在随机统计了4位观众每周学习诗词的平均时间（单位：小时）与年龄（单位：岁），并制作了对照表（如下表所示）：年龄20304050每周学习诗词的平均时间34由表中数据分析，与呈线性相关关系，试求线性回归方程，并预测年龄为60岁的观众每周学习诗词的平均时间.参考公式：，【答案】（1） （2）；小时【解析】【分析】（1）由题，列出不等式，解得x的取值范围，即可得到本题答案；（2）由，求得线性回归方程，然后令，即可得到本题答案.【详解】（1）设污损的数字为，由北方观众平均人数超过南方观众平均人数得，即，；（2），又，时，.答：年龄为60岁的观众每周学习诗词的平均时间大约为小时.【点睛】本题主要考
15、查与平均数相关的计算以及线性回归方程的求法，属基础题.19.如图，在四棱锥中，平面平面，是的中点，是上一点，且（1）求证:平面；（2）若求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取PA的中点M，连接MD，ME，证明四边形MDFE是平行四边形，则，再由直线与平面平行的判定可得面PAD；（2）过点P作于点H，则平面ABCD，以H为坐标原点，HA所在直线为y轴，过点H且平行于AB的直线为z轴，PH所在直线为x轴建立空间直角坐标系，求出平面ABCD的一个法向量与的坐标，再由两向量所成角的余弦值可得直线PB与平面ABCD所成角的正弦值.【详解】（1）如图，取的中
16、点，连接.则，.又，所以，所以四边形是平行四边形，所以，因为面，面，所以 （2）过点作于点，则平面，以为坐标原点，所在直线为轴，过点且平行于的直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，在等腰三角形中，因为，所以，解得.则，所以，所以.易知平面的一个法向量为，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，属于中档题.20.已知点、分别在轴、轴上运动，点在线段上，且.（1）求点的轨迹方程；（2）动直线与交于不同的两点，且的面积为，其中为坐标原点，证明为定值.【答案】（1）（2）证明见解析；【解析】【
17、分析】（1）设，根据点在线段上，且，得到，的坐标，再由建立x，y方程即可所求.（2）当直线的斜率不存在时，、两点关于轴对称，根据在椭圆上和，求得坐标即可，当直线的斜率存在时，设直线方程为，将代入方程中，利用弦长公式求得，点到直线的距离，由得到k，m的关系，再利用韦达定理求解即可.【详解】（1）设，因为点在线段上，且，所以，因为，所以，即，所以点的轨迹的方程为.（2）当直线的斜率不存在时，、两点关于轴对称，所以，.因为，在椭圆上，所以有，又因为，所以，解得，此时，当直线的斜率存在时，设其方程为，由题意.将代入方程中，整理得，则.因为点到直线的距离为，所以，得且符合式，此时，所以，综上所述，（定值
18、）【点睛】本题主要考查椭圆轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系以及定值问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21.设.（1）讨论在上的单调性；（2）令，试证明在上有且仅有三个零点.【答案】（1）的单调递增区间是，递减区间是；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）首先求导得到，再根据导函数的正负性即可得到函数的单调区间.（2）首先根据，得到是的一个零点，再根据是偶函数得到在上的零点个数，只需确定时，的零点个数即可，再求出在时的单调性和最值，确定其零点个数即可.【详解】，令，则或.时，单调递增，时，单调递减，时，单调递增，时，单调递减.的单调递增区间是，递减区间是.（2），因为，所以是一个零
19、点. 所以是偶函数，即要确定在上的零点个数，需确定时，的零点个数即可.当时，令，即或.时，单调递减，且，时，单调递增，且在有唯一零点 当时，由于，.而在单调递增，所以恒成立，故在无零点，所以在有一个零点，由于是偶函数，所以在有一个零点，而，综上在有且仅有三个零点.【点睛】本题第一问考查利用导数求函数的单调区间，第二问考查利用导数求函数的零点，同时考查了分类讨论的思想，属于难题.22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，点的极坐标，直线经过点，且倾斜角为.（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的标准参数方程；（2）直线与曲线交于两点，直线的
20、参数方程为（t为参数），直线与曲线交于两点，求证:.【答案】（1），（t为参数）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用消参得到曲线的直角坐标方程，求点的直角坐标，再直接写成直线的标准参数方程；（2）首先将直线的参数方程和曲线联立，利用参数的几何意义可知,同理可得，利用根与系数的关系证明.【详解】（1）由（为参数）消去参数得由得点的直角坐标为 直线的标准参数方程为（t为参数） （2）将直线的标准参数方程（t为参数）代入得化简得设方程两根为，则由直线参数方程中的几何意义得同理将的参数方程代入的参数方程可得【点睛】本题考查直线参数方程中的几何意义的应用，以及参数方程，直角坐标方程，极坐标方程
21、的转化，重点考查基本公式，基本方法，属于基础题型.23.已知函数，记得最小值为.（1）解不等式；（2）若，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用零点分段法，分，三种情况去绝对值，解不等式；（2）利用含绝对值三角不等式求得，即，方法一，利用柯西不等式，求得的最小值，方法二，根据，代入 ，转化为关于的二次函数求最值.【详解】（1），原不等式可等价于，或，或解得：， 所以原不等式的解集为（2）由（1）可知， 当且仅当时等号成立，所以即方法一 由柯西不等式得， 当且仅当时取等号方法二 由题意得 当且仅当时等号成立.【点睛】本题考查含绝对值不等式的解法，以及含绝对值三角不等式的应用，柯西不等式求最值，意在考查转化与化归的思想，计算能力属于基础题型.